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Prismen und Zylinder · Erklären & üben

Oberfläche Zylinder

Die Oberfläche eines geschlossenen geraden Kreiszylinders enthält zwei Kreisflächen und den Mantel. Bei offenen Behältern musst du die tatsächlich vorhandenen Flächen gesondert zählen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche Flächen gehören dazu?

Beim geschlossenen Zylinder sind Grundfläche, Deckfläche und Mantel außen vorhanden. Bei einem oben offenen, dünnwandig idealisierten Behälter entfällt die Deckfläche. Hier zählen wir die Fläche jeder idealisierten Wand einmal; tatsächliche Materialdicke, Innen- und Außenbeschichtung sind weitere Sachfragen.

  1. Vor der Rechnung klären: geschlossen oder offen?

Die Oberfläche hat eine Quadrateinheit.

Gerader Kreiszylinder mit r und h.

Erklärung 02

Grund- und Deckfläche

Beide Kreise sind gleich groß. Eine Kreisfläche beträgt πr²; zusammen ergeben sie 2πr².

  1. Durchmesser gegeben? Erst halbieren.

G=πr2,G+D=2πr2\mathsf{G=\pi r^2,\quad G+D=2\pi r^2}

Erklärung 03

Mantel als Rechteck

Abgewickelt hat der Mantel die Breite des Kreisumfangs und die Höhe h. Die Kreisflächen sind im Mantel nicht enthalten.

  1. Breite 2πr mit Höheh multiplizieren.

M=2πrh\mathsf{M=2\pi rh}

Zylindernetz mit zwei Kreisen und Mantelrechteck.

Erklärung 04

Flächen addieren

Für den geschlossenen Zylinder addierst du zwei Kreisflächen zum Mantel. Beim oben offenen Behälter bleibt nur eine Kreisfläche.

  1. Bestimme die einzelnen Flächenteile.

  2. Addiere nur die tatsächlich vorhandenen Teile.

O=2πr2+2πrh\mathsf{O=2\pi r^2+2\pi rh}

So geht es am Beispiel

r = 2 cm und h = 7 cm. Berechne G, M und O für den geschlossenen Zylinder.

G=4π cm2\mathsf{G=4\pi\,\mathsf{cm}^2}
M=28π cm2\mathsf{M=28\pi\,\mathsf{cm}^2}
O=8π+28π=36π cm2\mathsf{O=8\pi+28\pi=36\pi\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

G = 4π cm², M = 28π cm², O = 36π cm²

So geht es am Beispiel

Ein oben offener Behälter besitzt dieselben Maße. Berechne die Fläche seiner idealisierten Wände jeweils einmal.

Ooffen=G+M=4π+28π=32π cm2\mathsf{O_{\mathsf{offen}}=G+M=4\pi+28\pi=32\pi\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

32π cm2\mathsf{32\pi\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 05

Weiter zum Volumen

Die Füllmenge folgt aus V = πr²h. Die Oberfläche berechnet Materialfläche und wird in cm² angegeben, das Volumen in cm³.

  1. Weiterlernen: Volumen Zylinder für Kapazitäten und Füllhöhen.

Mit einer Oberflächenzahl allein ist ohne weitere Maße nicht jede Volumenfrage eindeutig lösbar.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Oberfläche Zylinder · Anwendenr = 3 cm. Berechne den Inhalt einer Grundfläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G=9π cm2\mathsf{G=9\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Grundfläche9π cm2\mathsf{9\pi\,\mathsf{cm}^2}
  2. Aufgabe 2Oberfläche Zylinder · Anwendenr = 3 cm, h = 4 cm. Berechne M.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      M=2π⋅3⋅4=24π cm2\mathsf{M=2\pi\cdot3\cdot4=24\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Mantelfläche24π cm2\mathsf{24\pi\,\mathsf{cm}^2}
  3. Aufgabe 3Oberfläche Zylinder · AnwendenGeschlossener Zylinder: r = 3 cm, h = 4 cm. Berechne O.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      O=18π+24π=42π cm2\mathsf{O=18\pi+24\pi=42\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche42π cm2\mathsf{42\pi\,\mathsf{cm}^2}
  4. Aufgabe 4Oberfläche Zylinder · AnwendenEin oben offener idealisierter Behälter hat r = 3 cm und h = 4 cm. Berechne Boden plus Mantel; Materialdicke wird vernachlässigt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G+M=9π+24π=33π cm2\mathsf{G+M=9\pi+24\pi=33\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Fläche der Wände33π cm2\mathsf{33\pi\,\mathsf{cm}^2}
  5. Aufgabe 5Oberfläche Zylinder · AnwendenMarkiere im Netz nur die beiden Kreisflächen. Sie müssen zur Mantelfläche addiert werden, wenn der Zylinder geschlossen ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Grund- und Deckfläche

    Vollständiges Zylindernetz ohne Hervorhebung der Grund- und Deckfläche.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Grund- und Deckfläche sind G₁ und G₂.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Das Rechteck M bleibt unmarkiert.

    Ergebnis

    1. Grund- und DeckflächeBeide Kreise sind markiert; das Rechteck bleibt frei.
  6. Aufgabe 6Oberfläche Zylinder · AnwendenAlle gegebenen Längen stehen in Millimetern. Welche Einheit erhält die berechnete Zylinderoberfläche?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      O ist eine Summe von Flächenprodukten aus je zwei Längen.

    Ergebnis

    1. Einheitmm²

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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