Mathematik entdecken · Erklären & üben

Mathe

Mathematik hilft dir, Mengen, Formen und Zusammenhänge genau zu beschreiben. Du stellst eine Frage, wählst eine passende Darstellung und prüfst, ob deine Antwort zur Situation passt.

Lernziele: Alltagssituationen in Rechnungen übersetzen, Rechengebiete unterscheiden und Ergebnisse mit Einheiten begründen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vom Alltag zur Rechnung

Eine Anzahl sagt, wie viele Dinge du betrachtest. Beim Einkauf helfen Addition und Multiplikation. Erst klärst du, was gesucht ist; dann rechnest du mit den passenden Angaben.

Notiere die gesuchte Größe.
Wähle die benötigten Angaben und rechne.
Prüfe Einheit und Größenordnung.

Ein Ergebnis beantwortet erst mit seiner Bedeutung die Frage.

So geht es am Beispiel

Drei Hefte kosten je 2 Euro. Du bezahlst mit 10 Euro. Wie viel Geld bleibt?

Drei gleiche Preise werden addiert: $\mathsf{3\cdot2=6}$

Ziehe den Gesamtpreis vom gegebenen Geld ab: $\mathsf{10-6=4}$

Erklärung 02

Formen und Größen

Die Geometrie untersucht Formen und Lagebeziehungen. Ein Umfang misst den Rand, eine Fläche das Innere. Ein Rechteck lässt sich mit gleich großen Einheitsquadraten auslegen.

Benenne die gesuchte Größe: Rand oder Innenfläche.
Nutze für die Fläche Reihen mal Quadrate je Reihe.

Längen und Flächen haben unterschiedliche Einheiten.

Rechteck aus 15 Einheitsquadraten, fünf Spalten und drei Reihen.

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck ist 5 cm lang und 3 cm breit. Bestimme Fläche und Umfang.

Drei Reihen mit je fünf Einheitsquadraten ergeben $\mathsf{A=5\cdot3=15\,\mathsf{cm}^2}$

Addiere die vier Seiten: $\mathsf{U=5+3+5+3=16\,\mathsf{cm}}$

Erklärung 03

Zusammenhänge und Daten

In der Algebra können Buchstaben unbekannte oder veränderliche Zahlen vertreten. Funktionen ordnen Eingaben Ausgaben zu. Statistik beschreibt Daten, etwa Häufigkeiten. Eine kleine Beobachtung allein beweist noch keine allgemeine Regel.

Suche einen festen Anteil und einen Anteil pro Stück.
Zähle bei Daten jede Beobachtung genau einmal.

Eine Regel muss zu den Angaben passen; überprüfe sie an einem Beispiel.

Kostenmodell aus Grundpreis und zwei Stundenanteilen.

So geht es am Beispiel

Ein Fahrradverleih verlangt 4 Euro Grundpreis und 3 Euro je Stunde. Was kosten zwei Stunden?

Für zwei Stunden beträgt der Zeitanteil $\mathsf{2\cdot3=6}$

Der Grundpreis kommt einmal hinzu: $\mathsf{4+6=10}$

So geht es am Beispiel

Fünf Kinder nennen ihr Lieblingsobst: Apfel, Birne, Apfel, Banane, Apfel. Wie häufig ist Apfel?

Zähle die drei Nennungen von Apfel.

Vergleiche mit allen fünf Nennungen: $\mathsf{\frac{3}{5}}$

Erklärung 04

Wie lerne ich Mathe?

Rechnen, Zeichnen und Begründen gehören zusammen. Ein Fehler kann zeigen, welche Annahme du prüfen musst. Weiterlernen: Eine Kurvendiskussion untersucht später unter anderem Nullstellen, Steigung und Extrempunkte von Funktionen. Dafür brauchst du weitere Kenntnisse; dieses Einstiegsheft führt sie nicht vollständig ein.

Erkläre einen Rechenschritt mit eigenen Worten.
Prüfe eine Antwort durch Rückrechnung oder Schätzung.

Verstehen heißt auch sagen können, warum ein Schritt passt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Mathe · BasisVier Karten kosten je 3 Euro. Bestimme den Gesamtpreis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gesamtpreis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vier gleiche Preise: $\mathsf{4\cdot3=12}$
Ergebnis
1. Gesamtpreis12 Euro
02
Aufgabe 2Mathe · BasisDu hast 20 Euro und kaufst zwei Bücher zu je 7 Euro. Berechne das Restgeld.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Restgeld
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gesamtpreis: $\mathsf{2\cdot7=14}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Restgeld: $\mathsf{20-14=6}$
Ergebnis
1. Restgeld6 Euro
03
Aufgabe 3Mathe · BasisOrdne zu: A untersucht Dreiecke; B löst eine Gleichung mit einer unbekannten Zahl; C zählt die Stimmen einer Umfrage. Verwende Geometrie, Algebra, Statistik.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
A
B
C
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Dreiecke sind Formen, Gleichungen gehören zur Algebra und Stimmen sind Daten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. AGeometrie
2. BAlgebra
3. CStatistik
04
Aufgabe 4Mathe · BasisEin Rechteck ist 6 cm lang und 2 cm breit. Berechne Fläche und Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Fläche: $\mathsf{6\cdot2=12\,\mathsf{cm}^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rand: $\mathsf{6+2+6+2=16\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fläche12 Quadratzentimeter
2. Umfang16 Zentimeter
05
Aufgabe 5Mathe · BasisZeichne auf dem Kästchenraster ein Rechteck mit 4 Kästchen Länge und 3 Kästchen Breite ab dem markierten Startpunkt. Ein Kästchen entspricht 1 cm. Beschrifte die Seiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechteck und Beschriftung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Rechteck und Beschriftung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vom Start vier Kästchen nach rechts und drei nach oben.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Schließe das Rechteck; gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
Ergebnis
1. Rechteck und BeschriftungRechteck mit vier und drei Kästchen Seitenlänge; Beschriftung 4 cm und 3 cm.
06
Aufgabe 6Mathe · AufbauEin Verleih verlangt 5 Euro Grundpreis und 2 Euro je Stunde. Berechne den Preis für drei Stunden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Preis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zeitanteil: $\mathsf{3\cdot2=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Gesamtpreis: $\mathsf{5+6=11}$
Ergebnis
1. Preis11 Euro
07
Aufgabe 7Mathe · BasisEine Umfrage ergibt: Rad, Bus, Rad, Fuß, Bus, Rad. Bestimme die Häufigkeiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rad
Bus
Fuß
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zähle Rad dreimal, Bus zweimal und Fuß einmal.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kontrolle: $\mathsf{3+2+1=6}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rad3 Stimmen
2. Bus2 Stimmen
3. Fuß1 Stimme
08
Aufgabe 8Mathe · AufbauMia schreibt: Ein Quadrat mit 4 cm Seitenlänge hat 16 cm Fläche. Verbessere die Aussage und erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrigierte Aussage
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Rechnung $\mathsf{4\cdot4=16}$ ist richtig.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Fläche zählt Einheitsquadrate und braucht deshalb eine Flächeneinheit.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Korrigierte AussageDie Fläche beträgt 16 Quadratzentimeter.
2. BegründungEine Fläche zählt Einheitsquadrate und braucht eine Flächeneinheit. Zentimeter allein ist eine Längeneinheit.
09
Aufgabe 9Mathe · TransferEin Tarif kostet 4 Euro Grundpreis und 3 Euro pro Stunde. Du hast 19 Euro. Wie viele volle Stunden sind höchstens möglich? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volle Stunden
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nach Abzug des Grundpreises: $\mathsf{19-4=15}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Mögliche Stunden: $\mathsf{15:3=5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{4+3\cdot5=19}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Sechs Stunden kosten $\mathsf{4+3\cdot6=22}$ und sind zu teuer.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Volle Stunden5
2. Begründung5 Stunden kosten 19 Euro. 6 Stunden kosten bereits 22 Euro und überschreiten das Budget.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Zahl, Länge und Fläche.
Ich kann eine Alltagssituation als Rechnung darstellen.
Ich begründe eine Antwort und prüfe ihre Einheit.

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