Lagebezeichnungen · Erklären & üben

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte verbindet zwei Bedingungen: Sie halbiert eine Strecke und steht senkrecht auf ihr. Ihre Punkte haben zu beiden Endpunkten denselben Abstand.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Halbieren und senkrecht stehen

Die Mittelsenkrechte einer Strecke verläuft durch deren Mittelpunkt und bildet mit der Strecke einen rechten Winkel. Nur eine der beiden Eigenschaften reicht nicht.

Bestimme den Mittelpunkt M.
Prüfe den rechten Winkel bei M.

$\mathsf{AM=MB}$ und $\mathsf{m\perp AB}$

So geht es am Beispiel

AB ist 6 cm lang. Wo liegt M?

\mathsf{AM=MB=\frac{6}{2}=3\,\mathsf{cm}}

Erklärung 02

Mit Zirkel und Lineal

Wähle denselben Radius um A und B. Er muss größer als die halbe Streckenlänge sein; sonst entstehen keine zwei Kreisschnittpunkte.

Zeichne um A und B Kreise oder ausreichend lange Bögen mit gleicher Zirkelöffnung.
Verbinde die beiden Schnittpunkte S und T.

Die Gerade ST ist die Mittelsenkrechte.

Zwei gleich große Kreise um A und B; ihre Schnittpunkte S und T bestimmen die Mittelsenkrechte m.

Erklärung 03

Alle Punkte mit gleichem Abstand

Ein Punkt liegt genau dann auf der Mittelsenkrechten, wenn seine Abstände zu A und B gleich sind. Das gilt auch außerhalb der Strecke.

Vergleiche PA und PB.
Bei Gleichheit liegt P auf der Mittelsenkrechten.

$\mathsf{PA=PB\iff P\in m}$

P liegt auf x gleich 3 und hat zu A und B jeweils Abstand 5.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(6|0)}$ und $\mathsf{P(3|4)}$ : Vergleiche die Abstände.

\mathsf{PA=\sqrt{3^2+4^2}=5}

\mathsf{PB=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5}

Erklärung 04

Der Umkreismittelpunkt

Die drei Mittelsenkrechten eines echten Dreiecks treffen sich im Umkreismittelpunkt U. Er ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt. Zwei Mittelsenkrechten genügen zur Konstruktion. U kann innen, auf einer Seite oder außerhalb liegen.

Konstruiere zwei Mittelsenkrechten.
Ihr Schnittpunkt U ist Mittelpunkt des Kreises durch die drei Ecken.

Beim rechtwinkligen Dreieck ist U der Mittelpunkt der Hypotenuse.

Umkreismittelpunkt U als Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten und Mittelpunkt der Hypotenuse BC.

So geht es am Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten 6 cm und 8 cm. Bestimme den Umkreisradius.

\mathsf{c=\sqrt{6^2+8^2}=10\,\mathsf{cm}}

\mathsf{r=\frac{c}{2}=5\,\mathsf{cm}}

Erklärung 05

Nicht mit der Winkelhalbierenden verwechseln

Die Mittelsenkrechte gehört zu einer Strecke. Eine Winkelhalbierende gehört zu einem Winkel und teilt ihn in zwei gleich große Winkel. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks treffen sich im Inkreismittelpunkt.

Frage: Soll eine Strecke halbiert oder ein Winkel geteilt werden?

Weiterlernen: Beim Thema Inkreis und Umkreis im Dreieck werden beide Mittelpunkte gegenübergestellt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Mittelsenkrechte · AnwendenAB ist 9 cm lang. Bestimme AM für den Mittelpunkt M.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Länge AM
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{AM=\frac{9}{2}=4{,}5\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Länge AM4,5 cm
02
Aufgabe 2Mittelsenkrechte · AnwendenKonstruiere in der Vorlage die Mittelsenkrechte von AB. Lass die Hilfskreise sichtbar; beschrifte M und m. Die angegebene Länge ist die Modelllänge, der Ausdruck kann skaliert sein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstruktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Konstruktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Stelle den Zirkel weiter als die halbe dargestellte Strecke AB ein.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeichne gleich große Kreise um A und B. Verbinde ihre beiden Schnittpunkte.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Markiere M am Schnitt mit AB und beschrifte die Gerade m.
Ergebnis
1. KonstruktionM liegt in der Mitte von AB; m steht senkrecht auf AB und verbindet die Kreisschnittpunkte.
03
Aufgabe 3Mittelsenkrechte · Anwenden $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(8|0)}$ und $\mathsf{P(4|3)}$ : Berechne beide Abstände und entscheide, ob P auf der Mittelsenkrechten liegt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Abstand PA
Abstand PB
Lage von P
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{PA=\sqrt{4^2+3^2}=5}$
  $\mathsf{PB=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Abstände sind gleich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Abstand PA5 Längeneinheiten
2. Abstand PB5 Längeneinheiten
3. Lage von PP liegt auf der Mittelsenkrechten.
04
Aufgabe 4Mittelsenkrechte · AnwendenEine Gerade geht durch den Mittelpunkt von AB und bildet mit AB einen Winkel von 70°. Ist sie die Mittelsenkrechte?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründete Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Mittelpunktbedingung ist erfüllt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  70° ist kein rechter Winkel; die zweite Bedingung fehlt.
Ergebnis
1. Begründete EntscheidungNein, sie müsste senkrecht auf AB stehen.
05
Aufgabe 5Mittelsenkrechte · AnwendenEin rechtwinkliges Dreieck hat eine 14 cm lange Hypotenuse. Gib Lage des Umkreismittelpunkts und Umkreisradius an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lage von U
Umkreisradius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Mittelpunkt der Hypotenuse hat zu allen drei Ecken denselben Abstand.
  $\mathsf{r=\frac{14}{2}=7\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Lage von UMittelpunkt der Hypotenuse
2. Umkreisradius7 cm
06
Aufgabe 6Mittelsenkrechte · AnwendenWelche Konstruktion liefert den Inkreismittelpunkt eines Dreiecks: Mittelsenkrechten oder Winkelhalbierende? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstruktion und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Inkreismittelpunkt hat zu allen drei Seiten denselben Abstand.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Diesen Ort bestimmen die Winkelhalbierenden; Mittelsenkrechten vergleichen Abstände zu Ecken.
Ergebnis
1. Konstruktion und BegründungWinkelhalbierende, weil ihr Schnittpunkt von den drei Seiten gleich weit entfernt ist.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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