Lagebezeichnungen · Erklären & üben

Orthogonal

Orthogonal bedeutet rechtwinklig. In der Ebene prüfst du einen Winkel; im Raum musst du zusätzlich die Lage der betrachteten Objekte beachten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein rechter Winkel

Zwei Geraden der Ebene sind orthogonal, wenn sie sich unter 90° schneiden. Das Zeichen $\mathsf{\perp}$ bedeutet „steht senkrecht auf“.

Bestimme den Schnittpunkt.
Prüfe den rechten Winkel mit dem Geodreieck.

$\mathsf{g\perp h}$ bedeutet: g und h schneiden sich rechtwinklig.

Erklärung 02

Steigungen richtig verwenden

Für zwei Geraden mit endlichen Steigungen gilt $\mathsf{m_g\cdot m_h=-1}$ genau dann, wenn sie orthogonal sind. Eine horizontale und eine vertikale Gerade sind ebenfalls orthogonal; für die vertikale Gerade gibt es aber keine endliche Steigung.

Bei endlichen Steigungen: multipliziere.
Behandle horizontal und vertikal gesondert.

$\mathsf{m_h=-\frac{1}{m_g}}$ gilt nur für $\mathsf{m_g\ne0}$ .

Geraden g und h schneiden sich im Punkt P rechtwinklig.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{m_g=\frac12}$ : Bestimme die orthogonale Steigung.

\mathsf{m_h=-\frac{1}{1/2}=-2}

\mathsf{\frac12\cdot(-2)=-1}

Erklärung 03

Eine Orthogonale zeichnen

Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf g. Verschiebe es so, dass die Zeichenkante durch P geht. Zeichne die Senkrechte durch P und verlängere sie ausreichend.

Kontrolliere, dass P auf der neuen Geraden liegt.
Prüfe den Winkel zu g.

Durch einen Punkt der Ebene gibt es genau eine Orthogonale zu einer gegebenen Geraden.

Erklärung 04

Vertiefung: Richtungen im Raum

Vorkenntnisse: Punktkoordinaten, Richtungsvektoren und Skalarprodukt. Zwei von null verschiedene Richtungsvektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Räumliche Geraden mit solchen Richtungen müssen sich nicht schneiden: Für „rechtwinklig schneiden“ ist zusätzlich ein gemeinsamer Punkt nötig.

Prüfe das Skalarprodukt.
Prüfe getrennt, ob die Geraden einen gemeinsamen Punkt besitzen.

$\mathsf{u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3}$

Schrägbild: Eine angehobene x-parallele Gerade und die y-Achse haben orthogonale Richtungen, aber keinen Schnittpunkt.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{g(t)=(t,0,0)}$ und $\mathsf{h(s)=(0,s,1)}$ : Richtungen und Schnitt prüfen.

\mathsf{(1,0,0)\cdot(0,1,0)=0}

Auf g ist z immer 0, auf h immer 1. Ein gemeinsamer Punkt ist unmöglich.

Erklärung 05

Vertiefung: Gerade und Ebene

Vorkenntnisse zusätzlich: Normalenvektor einer Ebene. Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn ihre Richtung parallel zu deren Normalen ist. Senkrecht zu nur einer Geraden der Ebene zu sein genügt nicht. Zwei Ebenen sind orthogonal, wenn ihre Normalen orthogonal sind.

Gerade–Ebene: Vergleiche Richtung und Normale auf Parallelität.
Ebene–Ebene: Prüfe das Skalarprodukt der Normalen.

Die Kriterien für Gerade–Ebene und Ebene–Ebene unterscheiden sich.

Schematisches Schrägbild der xy-Ebene E und einer vertikalen Normalen n.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{E:z=0}$ und eine Gerade mit Richtung $\mathsf{(0,0,2)}$ : Prüfe Orthogonalität.

\mathsf{n_E=(0,0,1)}

\mathsf{(0,0,2)=2n_E}

So geht es am Beispiel

$\mathsf{E:z=0}$ und $\mathsf{F:y=0}$ : Prüfe die Ebenen.

\mathsf{n_E=(0,0,1),\quad n_F=(0,1,0)}

\mathsf{n_E\cdot n_F=0}

Erklärung 06

Messen und begründen

Ein gezeichneter rechter Winkel ist eine hilfreiche Kontrolle. Eine Rechnung oder Konstruktion begründet die Aussage unabhängig von der Genauigkeit des Bildes. Beim Winkelmessen muss die Nullmarke auf einem Schenkel liegen.

Lies die Skala ab, die am ersten Schenkel bei null beginnt.

Weiterlernen: Winkel messen und Senkrechte konstruieren verbinden Begriff und Werkzeug.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Orthogonal · AnwendenZwei Geraden der Ebene schneiden sich unter 89°. Sind sie orthogonal?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Orthogonalität verlangt exakt 90°.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  89° ist kleiner als 90°.
Ergebnis
1. EntscheidungNein, der Winkel ist nicht 90°.
02
Aufgabe 2Orthogonal · AnwendenPrüfe die Richtungen $\mathsf{u=(2,1)}$ und $\mathsf{v=(1,-2)}$ mit dem Skalarprodukt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Skalarprodukt
Richtungen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u\cdot v=2\cdot1+1\cdot(-2)=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Vektoren sind von null verschieden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Skalarprodukt $\mathsf{0}$
2. RichtungenDie Richtungen sind orthogonal.
03
Aufgabe 3Orthogonal · AnwendenZeichne durch P eine Orthogonale h zur Geraden g. Markiere den rechten Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gerade h und Winkelmarkierung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Gerade h und Winkelmarkierung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  g steigt pro Kästchen nach rechts um ein Kästchen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  h fällt pro Kästchen nach rechts um ein Kästchen und verläuft durch P.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zeichne h etwa durch die Gitterpunkte (2|6), P und (8|0).
Ergebnis
1. Gerade h und Winkelmarkierungh geht durch P und steht senkrecht auf g.
04
Aufgabe 4Orthogonal · AnwendenVertiefung: $\mathsf{g(t)=(t,0,0)}$ und $\mathsf{h(s)=(0,s,2)}$ . Prüfe Richtungen und Schnittpunkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Richtungen
Schnittpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(1,0,0)\cdot(0,1,0)=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die z-Koordinaten sind 0 beziehungsweise 2 und können nicht übereinstimmen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. RichtungenOrthogonal
2. SchnittpunktKeiner; die Geraden sind windschief.
05
Aufgabe 5Orthogonal · AnwendenVertiefung: $\mathsf{E:z=0}$ . Steht eine Gerade mit Richtung $\mathsf{u=(1,0,1)}$ senkrecht auf E?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründete Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_E=(0,0,1)}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  u ist kein Vielfaches von nE, denn seine erste Komponente ist 1.
Ergebnis
1. Begründete EntscheidungNein, die Richtung ist nicht parallel zur Ebenennormalen.
06
Aufgabe 6Orthogonal · AnwendenVertiefung: Die Normalen zweier Ebenen sind $\mathsf{n_1=(1,1,0)}$ und $\mathsf{n_2=(1,-1,0)}$ . Sind die Ebenen orthogonal?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Skalarprodukt
Ebenen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1\cdot n_2=1-1+0=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Normalen sind von null verschieden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Skalarprodukt $\mathsf{0}$
2. EbenenDie Ebenen sind orthogonal.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

AT Academy · Version 2026-10-21