Quadratische Gleichungen · Erklären & üben

Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel und die abc-Formel sind zwei Namen für dasselbe Verfahren. Es löst quadratische Gleichungen mit beliebigen reellen Koeffizienten, sofern der Faktor vor dem Quadrat nicht 0 ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Nullform und Koeffizienten

Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite und fasse zusammen. Die allgemeine Nullform lautet:

\mathsf{ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0}

a steht vor dem Quadrat, b vor x und c ist der konstante Term. Ein fehlender Term hat den Koeffizienten 0. Vorzeichen gehören zum Koeffizienten.

Die Formel lautet:

\mathsf{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}

Der gesamte Zähler wird durch 2a geteilt. Für $\mathsf{a=0}$ liegt keine quadratische Gleichung vor.

Erklärung 02

Drei Fälle in den reellen Zahlen

Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel.

\mathsf{D=b^2-4ac}

Für $\mathsf{D>0}$ liefern Plus und Minus zwei verschiedene reelle Lösungen. Für $\mathsf{D=0}$ fallen beide zusammen. Für $\mathsf{D<0}$ gibt es keine reelle Lösung.

Die Lösungen sind die Nullstellen der Funktion $\mathsf{f(x)=ax^2+bx+c}$ : An diesen Stellen trifft ihr Graph die x-Achse.

Wähle die Grundmenge bewusst: Dieses Heft betrachtet nur reelle Lösungen. Komplexe Zahlen sind ein anderes Thema.

D>0: zwei, D=0: eine, D<0: keine reelle Nullstelle. Drei eigene Parabeln zeigen die Fälle.

Erklärung 03

Drei vollständig gerechnete Beispiele

Die drei Beispiele zeigen jeweils einen Diskriminantenfall. Die Probe erfolgt in der Ausgangsgleichung.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{3x^2-5x-2=0}$ über den reellen Zahlen.

Lies die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen ab.

\mathsf{a=3,\quad b=-5,\quad c=-2}

Berechne die Diskriminante.

\mathsf{D=(-5)^2-4\cdot(3)\cdot(-2)=49}

Setze in die allgemeine Lösungsformel ein.

\mathsf{x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2\cdot(3)}}

Werte zuerst das Pluszeichen aus.

\mathsf{x_1=2}

Werte danach das Minuszeichen aus.

\mathsf{x_2=-\frac{1}{3}}

Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.

\mathsf{3\cdot(-\frac{1}{3})^2+(-5)\cdot(-\frac{1}{3})+(-2)=0}

Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.

\mathsf{3\cdot(2)^2+(-5)\cdot(2)+(-2)=0}

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{4x^2+12x+9=0}$ über den reellen Zahlen.

Lies die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen ab.

\mathsf{a=4,\quad b=12,\quad c=9}

Berechne die Diskriminante.

\mathsf{D=(12)^2-4\cdot(4)\cdot(9)=0}

Setze in die allgemeine Lösungsformel ein.

\mathsf{x=\frac{-(12)\pm\sqrt{0}}{2\cdot(4)}}

Der Wurzelterm ist 0. Beide Vorzeichen liefern denselben Wert.

\mathsf{x=-\frac{3}{2}}

Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.

\mathsf{4\cdot(-\frac{3}{2})^2+(12)\cdot(-\frac{3}{2})+(9)=0}

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2x^2+2x+3=0}$ über den reellen Zahlen.

Lies die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen ab.

\mathsf{a=2,\quad b=2,\quad c=3}

Berechne die Diskriminante.

\mathsf{D=(2)^2-4\cdot(2)\cdot(3)=-20}

Der Radikand ist negativ. Eine reelle Quadratwurzel existiert hier nicht.

Erklärung 04

Warum die Formel gilt

Beginne mit der allgemeinen Nullform und $\mathsf{a\ne0}$ . Multipliziere beide Seiten mit 4a.

\mathsf{4a^2x^2+4abx+4ac=0}

Subtrahiere auf beiden Seiten 4ac.

\mathsf{4a^2x^2+4abx=-4ac}

Addiere auf beiden Seiten das Quadrat von b.

\mathsf{4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac}

Fasse die linke Seite mit der binomischen Formel zusammen.

\mathsf{(2ax+b)^2=D}

Für $\mathsf{D\ge0}$ ergeben sich beide möglichen Vorzeichen.

\mathsf{2ax+b=\pm\sqrt D}

Subtrahiere b.

\mathsf{2ax=-b\pm\sqrt D}

Teile durch den von 0 verschiedenen Faktor 2a.

\mathsf{x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}}

Erklärung 05

Grenzen und passende Vertiefungen

Die Formel gilt direkt für Gleichungen zweiten Grades. Bei manchen höheren Graden kannst du zuerst einen Faktor abspalten oder eine neue Variable einsetzen.

Wenn alle Terme einer kubischen Gleichung x enthalten, kannst du x ausklammern. Die Lösung 0 bleibt dadurch erhalten. Der übrige Faktor kann quadratisch sein.

Bei einer biquadratischen Gleichung kommen nur $\mathsf{x^4}$ , $\mathsf{x^2}$ und ein konstanter Term vor. Mit $\mathsf{u=x^2}$ entsteht eine quadratische Gleichung in u. Nach dem Lösen musst du zurücksetzen. Negative u-Werte liefern keine reellen x-Werte.

Die Aufgaben 9 und 10 zeigen diese Sonderformen. Eine beliebige Gleichung dritten oder vierten Grades ist damit noch nicht gelöst. Für bereits normierte quadratische Gleichungen ist die pq-Formel eine Alternative.

Begrenzte Sonderformen: Faktor x bei Grad 3; u=x² bei biquadratischen Gleichungen; Rücksetzen und Probe.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Mitternachtsformel · EinstiegBringe $\mathsf{5x^2=3x+2}$ in die allgemeine Nullform. Notiere getrennt a) Nullform, b) a, c) b und d) c.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Nullform
b) Koeffizient a
c) Koeffizient b
d) Koeffizient c
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Subtrahiere auf beiden Seiten 3x.
  $\mathsf{5x^2-3x=2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Subtrahiere auf beiden Seiten 2.
  $\mathsf{5x^2-3x-2=0}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Lies die Koeffizienten einschließlich Vorzeichen ab.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Nullform $\mathsf{5x^2-3x-2=0}$
2. b) Koeffizient a $\mathsf{a=5}$
3. c) Koeffizient b $\mathsf{b=-3}$
4. d) Koeffizient c $\mathsf{c=-2}$
02
Aufgabe 2Mitternachtsformel · EinstiegLöse $\mathsf{1x^2-9x+20=0}$ und prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=1,\quad b=-9,\quad c=20}$ — Lies die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen ab.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=(-9)^2-4\cdot(1)\cdot(20)=1}$ — Berechne die Diskriminante.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{1}}{2\cdot(1)}}$ — Setze in die allgemeine Lösungsformel ein.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1=5}$ — Werte zuerst das Pluszeichen aus.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=4}$ — Werte danach das Minuszeichen aus.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(4)^2+(-9)\cdot(4)+(20)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(5)^2+(-9)\cdot(5)+(20)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{4,5\}}$
03
Aufgabe 3Mitternachtsformel · StandardLöse $\mathsf{2x^2+7x+3=0}$ und prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=2,\quad b=7,\quad c=3}$ — Lies die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen ab.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=(7)^2-4\cdot(2)\cdot(3)=25}$ — Berechne die Diskriminante.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac{-(7)\pm\sqrt{25}}{2\cdot(2)}}$ — Setze in die allgemeine Lösungsformel ein.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1=-\frac{1}{2}}$ — Werte zuerst das Pluszeichen aus.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=-3}$ — Werte danach das Minuszeichen aus.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(-3)^2+(7)\cdot(-3)+(3)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(-\frac{1}{2})^2+(7)\cdot(-\frac{1}{2})+(3)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-3,-\frac{1}{2}\}}$
04
Aufgabe 4Mitternachtsformel · StandardLöse $\mathsf{1x^2+6x+9=0}$ und prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Lies die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen ab.
  $\mathsf{a=1,\quad b=6,\quad c=9}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Berechne die Diskriminante.
  $\mathsf{D=(6)^2-4\cdot(1)\cdot(9)=0}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Setze in die allgemeine Lösungsformel ein.
  $\mathsf{x=\frac{-(6)\pm\sqrt{0}}{2\cdot(1)}}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Der Wurzelterm ist 0. Beide Vorzeichen liefern denselben Wert.
  $\mathsf{x=-3}$
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
  $\mathsf{1\cdot(-3)^2+(6)\cdot(-3)+(9)=0}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-3\}}$
05
Aufgabe 5Mitternachtsformel · StandardLöse $\mathsf{1x^2-2x+6=0}$ und prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Lies die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen ab.
  $\mathsf{a=1,\quad b=-2,\quad c=6}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Berechne die Diskriminante.
  $\mathsf{D=(-2)^2-4\cdot(1)\cdot(6)=-20}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Der Radikand ist negativ. Eine reelle Quadratwurzel existiert hier nicht.
Ergebnis
1. Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\varnothing}$
06
Aufgabe 6Mitternachtsformel · StandardLöse $\mathsf{3x^2+6=9x}$ und prüfe die gefundenen Werte in dieser Gleichung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x^2-9x+6=0}$ — Subtrahiere auf beiden Seiten 9x.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=3,\quad b=-9,\quad c=6}$ — Lies die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen ab.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=(-9)^2-4\cdot(3)\cdot(6)=9}$ — Berechne die Diskriminante.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{9}}{2\cdot(3)}}$ — Setze in die allgemeine Lösungsformel ein.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1=2}$ — Werte zuerst das Pluszeichen aus.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=1}$ — Werte danach das Minuszeichen aus.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot(1)^2+(-9)\cdot(1)+(6)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot(2)^2+(-9)\cdot(2)+(6)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot1^2+6=9\cdot1}$ — Prüfe auch in der gegebenen Schreibweise.
  $\mathsf{3\cdot2^2+6=9\cdot2}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{1,2\}}$
07
Aufgabe 7Mitternachtsformel · StandardBei $\mathsf{x^2-4x+3=0}$ schreibt jemand $\mathsf{x=\frac{-4\pm\sqrt4}{2}}$ . a) Erkläre den Fehler. b) Bestimme die richtige Lösungsmenge und prüfe sie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Fehlererklärung
b) Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Koeffizient b ist −4. Im Zähler steht −b, also +4.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=1,\quad b=-4,\quad c=3}$ — Lies die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen ab.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=(-4)^2-4\cdot(1)\cdot(3)=4}$ — Berechne die Diskriminante.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{4}}{2\cdot(1)}}$ — Setze in die allgemeine Lösungsformel ein.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1=3}$ — Werte zuerst das Pluszeichen aus.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=1}$ — Werte danach das Minuszeichen aus.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(1)^2+(-4)\cdot(1)+(3)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(3)^2+(-4)\cdot(3)+(3)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) FehlererklärungIm Zähler muss $\mathsf{-b=-(-4)=4}$ stehen.
2. b) Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{1,3\}}$
08
Aufgabe 8Mitternachtsformel · VertiefungUntersuche $\mathsf{x^2-4x+k=0}$ mit reellem k. Für welche k gibt es a) zwei, b) eine, c) keine reelle Lösung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Bedingung für zwei Lösungen
b) Bedingung für eine Lösung
c) Bedingung für keine Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=(-4)^2-4k=16-4k}$ — Berechne die Diskriminante.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-4k>-16}$ — Zwei Lösungen erfordern $\mathsf{16-4k>0}$ . Subtrahiere 16.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k<4}$ — Teile durch −4 und kehre das Vergleichszeichen um.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-4k=-16}$ — Für genau eine Lösung gilt $\mathsf{16-4k=0}$ . Subtrahiere 16.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=4}$ — Teile durch −4.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-4k<-16}$ — Für keine reelle Lösung gilt $\mathsf{16-4k<0}$ . Subtrahiere 16.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k>4}$ — Teile durch −4 und kehre das Vergleichszeichen um.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Bedingung für zwei Lösungen $\mathsf{k<4}$
2. b) Bedingung für eine Lösung $\mathsf{k=4}$
3. c) Bedingung für keine Lösung $\mathsf{k>4}$
09
Aufgabe 9Mitternachtsformel · VertiefungLöse $\mathsf{x^3-5x^2+6x=0}$ . Prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Proben und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x^2-5x+6)=0}$ — Klammere x aus.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0\quad\textsf{oder}\quad x^2-5x+6=0}$ — Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=25-24=1}$ — Berechne für den quadratischen Faktor die Diskriminante.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac{5\pm1}{2}}$ — Setze in die Formel ein.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Das Pluszeichen liefert 3, das Minuszeichen 2.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0^3-5\cdot0^2+6\cdot0=0}$ — Prüfe alle drei Werte in der kubischen Ausgangsgleichung.
  $\mathsf{2^3-5\cdot2^2+6\cdot2=0}$
  $\mathsf{3^3-5\cdot3^2+6\cdot3=0}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Proben und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{0,2,3\}}$
10
Aufgabe 10Mitternachtsformel · VertiefungLöse $\mathsf{x^4-13x^2+36=0}$ über den reellen Zahlen. Prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Proben und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^2-13u+36=0}$ — Setze $\mathsf{u=x^2}$ . Damit gilt $\mathsf{u\ge0}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=169-144=25}$ — Berechne die Diskriminante.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=\frac{13\pm5}{2}}$ — Setze in die Formel ein.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Das Pluszeichen liefert 9, das Minuszeichen 4.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=9\quad\textsf{oder}\quad x^2=4}$ — Setze beide u-Werte zurück.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pm3\quad\textsf{oder}\quad x=\pm2}$ — Berücksichtige bei beiden Quadraten beide Vorzeichen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(\pm3)^4-13(\pm3)^2+36=81-117+36=0}$ — Probe für beide Vorzeichen von 3.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(\pm2)^4-13(\pm2)^2+36=16-52+36=0}$ — Probe für beide Vorzeichen von 2.
Ergebnis
1. Rechenweg, Proben und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-3,-2,2,3\}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich bringe die Gleichung vor dem Einsetzen in die passende Form.
Ich unterscheide die drei Fälle des Radikanden.
Ich prüfe gefundene Lösungen in der Ausgangsgleichung.

AT Academy · Version 2026-10-21