Quadratische Gleichungen · Erklären & üben

pq-Formel

Die pq-Formel löst quadratische Gleichungen, wenn vor dem Quadrat genau 1 steht. Du lernst zu normieren, die Vorzeichen sicher einzusetzen und alle reellen Lösungen zu prüfen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zuerst normieren

Bringe die Gleichung auf die Form $\mathsf{ax^2+bx+c=0}$ mit $\mathsf{a\ne0}$ . Teile jeden Term durch a.

\mathsf{x^2+\frac ba x+\frac ca=0}

Jetzt gilt $\mathsf{p=\frac ba}$ und $\mathsf{q=\frac ca}$ . Die normierte Form lautet:

\mathsf{x^2+px+q=0}

Nur in dieser Form darfst du p und q direkt ablesen. Die Formel lautet:

\mathsf{x=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}}

Zuerst p halbieren, dann das Vorzeichen vor diesem halben Wert beachten. Beim Quadrat unter der Wurzel verschwindet ein negatives Vorzeichen.

Normierung teilt jeden Koeffizienten durch den von null verschiedenen Leitkoeffizienten.

Erklärung 02

Der Radikand entscheidet

Nenne den Ausdruck unter der Wurzel R.

\mathsf{R=\left(\frac p2\right)^2-q}

Für $\mathsf{R>0}$ gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Sie liegen gleich weit links und rechts von $\mathsf{-\frac p2}$ . Für $\mathsf{R=0}$ bleibt genau dieser eine Wert. Für $\mathsf{R<0}$ gibt es keine reelle Lösung.

Die Lösungen sind die Nullstellen von $\mathsf{f(x)=x^2+px+q}$ . Dort trifft der Graph die x-Achse.

Der Radikand R ist bei einer normierten Gleichung ein Viertel der abc-Diskriminante. Beide entscheiden deshalb gleich über die Anzahl reeller Lösungen.

Die Lösungen liegen im Abstand Wurzel R links und rechts vom Mittelpunkt −p/2, wenn R positiv ist.

Erklärung 03

Einsetzen und vollständig prüfen

Die Beispiele behandeln zwei, eine und keine reelle Lösung. Beim ersten Beispiel wird zunächst durch den Leitkoeffizienten geteilt.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2x^2-10x+12=0}$ über den reellen Zahlen.

Teile jeden Term durch den von 0 verschiedenen Koeffizienten vor dem Quadrat.

\mathsf{x^2+(-5)x+(6)=0}

Lies p und q aus der normierten Gleichung ab.

\mathsf{p=-5,\quad q=6}

Berechne den Radikanden.

\mathsf{R=\left(\frac{-5}{2}\right)^2-(6)=\frac{1}{4}}

Setze in die pq-Formel ein.

\mathsf{x=-\frac{-5}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}}}

Werte zuerst das Pluszeichen aus.

\mathsf{x_1=3}

Werte danach das Minuszeichen aus.

\mathsf{x_2=2}

Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.

\mathsf{2\cdot(2)^2+(-10)\cdot(2)+(12)=0}

Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.

\mathsf{2\cdot(3)^2+(-10)\cdot(3)+(12)=0}

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{1x^2+8x+16=0}$ über den reellen Zahlen.

Lies p und q aus der normierten Gleichung ab.

\mathsf{p=8,\quad q=16}

Berechne den Radikanden.

\mathsf{R=\left(\frac{8}{2}\right)^2-(16)=0}

Setze in die pq-Formel ein.

\mathsf{x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{0}}

Der Wurzelterm ist 0. Beide Vorzeichen liefern denselben Wert.

\mathsf{x=-4}

Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.

\mathsf{1\cdot(-4)^2+(8)\cdot(-4)+(16)=0}

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{1x^2+2x+5=0}$ über den reellen Zahlen.

Lies p und q aus der normierten Gleichung ab.

\mathsf{p=2,\quad q=5}

Berechne den Radikanden.

\mathsf{R=\left(\frac{2}{2}\right)^2-(5)=-4}

Der Radikand ist negativ. Eine reelle Quadratwurzel existiert hier nicht.

Erklärung 04

Herleitung durch Ergänzen

Beginne mit $\mathsf{x^2+px+q=0}$ . Subtrahiere q auf beiden Seiten.

\mathsf{x^2+px=-q}

Addiere auf beiden Seiten das Quadrat des halben p.

\mathsf{x^2+px+\left(\frac p2\right)^2=\left(\frac p2\right)^2-q}

Fasse links mit der binomischen Formel zusammen.

\mathsf{\left(x+\frac p2\right)^2=R}

Für $\mathsf{R\ge0}$ ziehst du die Wurzel und berücksichtigst beide Vorzeichen.

\mathsf{x+\frac p2=\pm\sqrt R}

Subtrahiere das halbe p.

\mathsf{x=-\frac p2\pm\sqrt R}

Erklärung 05

Fehlende Terme und Alternativen

Fehlt der lineare Term, gilt $\mathsf{p=0}$ . Dann vereinfacht sich die Formel zu $\mathsf{x=\pm\sqrt{-q}}$ , sofern $\mathsf{q\le0}$ . Fehlt der konstante Term, gilt $\mathsf{q=0}$ ; dann ist 0 immer eine Lösung. Ausklammern ist in diesem Fall oft kürzer.

Mit Vieta kannst du die Ergebnisse über Summe $\mathsf{-p}$ und Produkt q kontrollieren. Die Mitternachtsformel arbeitet direkt mit a, b und c. Beide Formeln liefern dieselbe Lösungsmenge.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1pq-Formel · EinstiegNormiere $\mathsf{3x^2-12x+9=0}$ . Notiere a) Normalform, b) p, c) q.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Normalform
b) Koeffizient p
c) Koeffizient q
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Teile jeden Term durch 3.
  $\mathsf{x^2-4x+3=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Lies p und q mit Vorzeichen ab.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Normalform $\mathsf{x^2-4x+3=0}$
2. b) Koeffizient p $\mathsf{p=-4}$
3. c) Koeffizient q $\mathsf{q=3}$
02
Aufgabe 2pq-Formel · EinstiegLöse $\mathsf{1x^2-7x+10=0}$ und prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=-7,\quad q=10}$ — Lies p und q aus der normierten Gleichung ab.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R=\left(\frac{-7}{2}\right)^2-(10)=\frac{9}{4}}$ — Berechne den Radikanden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-\frac{-7}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}}}$ — Setze in die pq-Formel ein.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1=5}$ — Werte zuerst das Pluszeichen aus.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=2}$ — Werte danach das Minuszeichen aus.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(2)^2+(-7)\cdot(2)+(10)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(5)^2+(-7)\cdot(5)+(10)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{2,5\}}$
03
Aufgabe 3pq-Formel · StandardLöse $\mathsf{2x^2+4x-6=0}$ und prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+(2)x+(-3)=0}$ — Teile jeden Term durch den von 0 verschiedenen Koeffizienten vor dem Quadrat.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=2,\quad q=-3}$ — Lies p und q aus der normierten Gleichung ab.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R=\left(\frac{2}{2}\right)^2-(-3)=4}$ — Berechne den Radikanden.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-\frac{2}{2}\pm\sqrt{4}}$ — Setze in die pq-Formel ein.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1=1}$ — Werte zuerst das Pluszeichen aus.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=-3}$ — Werte danach das Minuszeichen aus.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(-3)^2+(4)\cdot(-3)+(-6)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(1)^2+(4)\cdot(1)+(-6)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-3,1\}}$
04
Aufgabe 4pq-Formel · StandardLöse $\mathsf{1x^2-6x+9=0}$ und prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Lies p und q aus der normierten Gleichung ab.
  $\mathsf{p=-6,\quad q=9}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Berechne den Radikanden.
  $\mathsf{R=\left(\frac{-6}{2}\right)^2-(9)=0}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Setze in die pq-Formel ein.
  $\mathsf{x=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{0}}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Der Wurzelterm ist 0. Beide Vorzeichen liefern denselben Wert.
  $\mathsf{x=3}$
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
  $\mathsf{1\cdot(3)^2+(-6)\cdot(3)+(9)=0}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{3\}}$
05
Aufgabe 5pq-Formel · StandardLöse $\mathsf{1x^2+0x-25=0}$ und prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=0,\quad q=-25}$ — Lies p und q aus der normierten Gleichung ab.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R=\left(\frac{0}{2}\right)^2-(-25)=25}$ — Berechne den Radikanden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{25}}$ — Setze in die pq-Formel ein.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1=5}$ — Werte zuerst das Pluszeichen aus.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=-5}$ — Werte danach das Minuszeichen aus.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(-5)^2+(0)\cdot(-5)+(-25)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(5)^2+(0)\cdot(5)+(-25)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-5,5\}}$
06
Aufgabe 6pq-Formel · StandardLöse $\mathsf{1x^2+6x+0=0}$ und prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=6,\quad q=0}$ — Lies p und q aus der normierten Gleichung ab.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R=\left(\frac{6}{2}\right)^2-(0)=9}$ — Berechne den Radikanden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-\frac{6}{2}\pm\sqrt{9}}$ — Setze in die pq-Formel ein.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1=0}$ — Werte zuerst das Pluszeichen aus.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=-6}$ — Werte danach das Minuszeichen aus.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(-6)^2+(6)\cdot(-6)+(0)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(0)^2+(6)\cdot(0)+(0)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-6,0\}}$
07
Aufgabe 7pq-Formel · StandardJemand liest aus $\mathsf{2x^2-8x+6=0}$ die Werte $\mathsf{p=-8}$ , $\mathsf{q=6}$ ab. a) Erkläre den Fehler. b) Löse die Gleichung mit der pq-Formel und prüfe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Fehlererklärung
b) Rechenweg, Proben und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Gleichung wurde noch nicht normiert. Der Faktor vor dem Quadrat muss 1 sein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+(-4)x+(3)=0}$ — Teile jeden Term durch den von 0 verschiedenen Koeffizienten vor dem Quadrat.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=-4,\quad q=3}$ — Lies p und q aus der normierten Gleichung ab.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R=\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(3)=1}$ — Berechne den Radikanden.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{1}}$ — Setze in die pq-Formel ein.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1=3}$ — Werte zuerst das Pluszeichen aus.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=1}$ — Werte danach das Minuszeichen aus.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(1)^2+(-8)\cdot(1)+(6)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(3)^2+(-8)\cdot(3)+(6)=0}$ — Prüfe den Wert in der ursprünglichen Gleichung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) FehlererklärungZuerst alle Terme durch 2 teilen. Richtig sind $\mathsf{p=-4}$ und $\mathsf{q=3}$ .
2. b) Rechenweg, Proben und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{1,3\}}$
08
Aufgabe 8pq-Formel · VertiefungLöse $\mathsf{1x^2+4x+8=0}$ und prüfe alle gefundenen Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Probe und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Lies p und q aus der normierten Gleichung ab.
  $\mathsf{p=4,\quad q=8}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Berechne den Radikanden.
  $\mathsf{R=\left(\frac{4}{2}\right)^2-(8)=-4}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Der Radikand ist negativ. Eine reelle Quadratwurzel existiert hier nicht.
Ergebnis
1. Rechenweg, Probe und Lösungsmenge $\mathsf{L=\varnothing}$
09
Aufgabe 9pq-Formel · VertiefungBetrachte $\mathsf{x^2+6x+q=0}$ mit reellem q. Für welche q gibt es a) zwei, b) eine, c) keine reelle Lösung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Bedingung für zwei Lösungen
b) Bedingung für eine Lösung
c) Bedingung für keine Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R=3^2-q=9-q}$ — Berechne den Radikanden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-q>-9}$ — Zwei Lösungen erfordern $\mathsf{9-q>0}$ . Subtrahiere 9.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q<9}$ — Multipliziere mit −1 und kehre das Vergleichszeichen um.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-q=-9}$ — Für genau eine Lösung gilt $\mathsf{9-q=0}$ . Subtrahiere 9.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q=9}$ — Multipliziere mit −1.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-q<-9}$ — Für keine reelle Lösung gilt $\mathsf{9-q<0}$ . Subtrahiere 9.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q>9}$ — Multipliziere mit −1 und kehre das Vergleichszeichen um.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Bedingung für zwei Lösungen $\mathsf{q<9}$
2. b) Bedingung für eine Lösung $\mathsf{q=9}$
3. c) Bedingung für keine Lösung $\mathsf{q>9}$
10
Aufgabe 10pq-Formel · VertiefungEin Rechteck ist 2 cm länger als breit und hat 48 cm² Fläche. Die Breite ist x cm. a) Stelle eine Gleichung auf. b) Löse sie über den reellen Zahlen. c) Bestimme die sinnvollen Maße.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Gleichung
b) Rechenweg und reelle Lösungsmenge
c) Maße des Rechtecks
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x+2)=48}$ — Multipliziere Breite und Länge.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+2x=48}$ — Multipliziere aus.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+2x-48=0}$ — Subtrahiere auf beiden Seiten 48.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R=1-(-48)=49}$ — Lies $\mathsf{p=2}$ und $\mathsf{q=-48}$ ab. Berechne den Radikanden.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-1\pm7}$ — Setze in die pq-Formel ein.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  Das Pluszeichen liefert 6, das Minuszeichen −8.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{6(6+2)=48}$ — Prüfe beide Werte in der ursprünglichen Flächengleichung.
  $\mathsf{(-8)(-8+2)=48}$
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{6+2=8}$ — Als Breite ist nur die positive Lösung 6 cm sinnvoll. Die Länge ist 2 cm größer.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  Die Maße 6 cm und 8 cm ergeben die geforderte Fläche.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Gleichung $\mathsf{x(x+2)=48}$
2. b) Rechenweg und reelle Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-8,6\}}$
3. c) Maße des RechtecksBreite 6 cm, Länge 8 cm.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich bringe die Gleichung vor dem Einsetzen in die passende Form.
Ich unterscheide die drei Fälle des Radikanden.
Ich prüfe gefundene Lösungen in der Ausgangsgleichung.

AT Academy · Version 2026-10-21