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Differentialrechnung · Erklären & üben

Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient

Wie stark verändert sich eine Größe im Durchschnitt pro Einheit der Eingabe? Die mittlere Änderungsrate verbindet die gesamte Veränderung mit der Länge des betrachteten Intervalls.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Änderungen ins Verhältnis setzen

Für zwei verschiedene Stellen a und b berechnest du den Differenzenquotienten:

m=f(b)−f(a)b−a\mathsf{m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}

Der Zähler ist die Änderung der Funktionswerte, der Nenner die Änderung der Eingabe. Verwende in beiden Differenzen dieselbe Reihenfolge. Die Einheit ist „Einheit von f pro Einheit von x“.

So geht es am Beispiel

Ein Fahrzeug hat nach 2 Sekunden 6 Meter und nach 5 Sekunden 30 Meter in gleicher Richtung zurückgelegt. Berechne die mittlere Geschwindigkeit.

Δs=30−6=24 m\mathsf{\Delta s=30-6=24\,\mathsf{m}}
Δt=5−2=3 s\mathsf{\Delta t=5-2=3\,\mathsf{s}}
v‾=24 m3 s=8 m/s\mathsf{\overline v=\frac{24\,\mathsf{m}}{3\,\mathsf{s}}=8\,\mathsf{m/s}}

Ergebnis

Zwischen der 2. und der 5. Sekunde fährt es im Mittel 8 Meter pro Sekunde.

Erklärung 02

Sekante im Graphen

Die Gerade durch A(a∣f(a))\mathsf{A(a\mid f(a))} und B(b∣f(b))\mathsf{B(b\mid f(b))} heißt Sekante. Ihre Steigung ist die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall.

Die Sekante beschreibt eine durchschnittliche Veränderung. Der Graph muss zwischen den Endpunkten nicht geradlinig verlaufen.

Weg-Zeit-Graph mit Sekante und zwei markierten Endpunkten.

So geht es am Beispiel

Für s(t)=t2\mathsf{s(t)=t^2} (t in Sekunden, s in Metern, t≥0\mathsf{t\ge0}): Bestimme die mittlere Rate von 1 bis 3 Sekunden.

s(1)=1 m\mathsf{s(1)=1\,\mathsf m}
s(3)=9 m\mathsf{s(3)=9\,\mathsf m}
Δs=9−1=8 m\mathsf{\Delta s=9-1=8\,\mathsf m}
Δt=3−1=2 s\mathsf{\Delta t=3-1=2\,\mathsf s}
v‾=8/2=4 m/s\mathsf{\overline v=8/2=4\,\mathsf{m/s}}

Ergebnis

Die Sekante durch (1∣1)\mathsf{(1\mid1)} und (3∣9)\mathsf{(3\mid9)} hat die Steigung 4 Meter pro Sekunde.

Erklärung 03

Negative und verschwindende Raten

Eine negative Rate bedeutet eine Abnahme im Intervallmittel. Bei einer Temperaturabnahme um 12 Grad Celsius in 4 Minuten ist die Rate −3 Grad Celsius pro Minute.

Eine mittlere Rate von 0 bedeutet nur gleiche Endwerte. Dazwischen kann die Größe gestiegen und wieder gefallen sein.

So geht es am Beispiel

Die Höhe eines Balls sei h(t)=4t−t2\mathsf{h(t)=4t-t^2} in Metern für 0≤t≤4\mathsf{0\le t\le4} Sekunden. Bestimme die mittlere Rate auf [0,4].

h(0)=0\mathsf{h(0)=0}
h(4)=16−16=0\mathsf{h(4)=16-16=0}
h(4)−h(0)4−0=0 m/s\mathsf{\frac{h(4)-h(0)}{4-0}=0\,\mathsf{m/s}}
h(2)=8−4=4 m\mathsf{h(2)=8-4=4\,\mathsf m}

Ergebnis

Die mittlere Höhenänderungsrate ist 0, obwohl der Ball zwischenzeitlich 4 Meter hoch ist.

Erklärung 04

Tabellen und Sachmodelle

Bei einer Tabelle brauchst du die zwei zum Intervall gehörenden Wertepaarungen. Bei ungleichen Zeitabständen darfst du einzelne Intervallraten nicht ungewichtet mitteln.

In einem Kostenmodell K(q)\mathsf{K(q)} mit Kosten in Euro und Menge q in Stück hat die Rate die Einheit Euro pro Stück. Sie beschreibt zusätzliche Kosten pro zusätzlichem Stück im betrachteten Mengenintervall, nicht die Durchschnittskosten K(q)/q\mathsf{K(q)/q}.

Messwerttabelle mit unterschiedlichen Zeitabständen.

Erklärung 05

Abgrenzung zur momentanen Rate

Der Differenzenquotient gehört zu einem Intervall mit zwei verschiedenen Stellen. Die momentane Rate gehört dagegen zu einer Stelle und entsteht, wenn die benachbarte Stelle gegen sie rückt und der Quotient einen Grenzwert besitzt.

Bei einer linearen Funktion stimmen alle Intervallraten mit der konstanten Steigung überein. Bei nichtlinearen Funktionen hängt das Ergebnis im Allgemeinen vom Intervall ab.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient · EinstiegDer Wasserstand steigt in 3 Stunden von 14 auf 26 Zentimeter. Berechne und deute die mittlere Rate.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Δh=26−14=12 cm\mathsf{\Delta h=26-14=12\,\mathsf{cm}}
      Δt=3 h\mathsf{\Delta t=3\,\mathsf h}
      m=12/3=4 cm/h\mathsf{m=12/3=4\,\mathsf{cm/h}}

    Ergebnis

    1. Rechnung und DeutungDer Wasserstand steigt im Mittel um 4 Zentimeter pro Stunde.
  2. Aufgabe 2Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient · EinstiegEin Getränk kühlt in 6 Minuten von 72 auf 54 Grad Celsius ab. Bestimme die mittlere Rate.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ΔT=54−72=−18\mathsf{\Delta T=54-72=-18}
      m=−18/6=−3\mathsf{m=-18/6=-3}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Deutung−3 Grad Celsius pro Minute: durchschnittlich 3 Grad Abkühlung je Minute.
  3. Aufgabe 3Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient · StandardBerechne die mittlere Rate von f(x)=x2+1\mathsf{f(x)=x^2+1} auf [−1,2].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(−1)=2\mathsf{f(-1)=2}
      f(2)=5\mathsf{f(2)=5}
      m=(5−2)/(2−(−1))\mathsf{m=(5-2)/(2-(-1))}
      m=3/3=1\mathsf{m=3/3=1}

    Ergebnis

    1. Rechnung und DeutungDie mittlere Rate ist 1.
  4. Aufgabe 4Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient · StandardFür s(t)=2t2\mathsf{s(t)=2t^2} in Metern und t in Sekunden: Bestimme die mittlere Geschwindigkeit auf [1,4].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      s(1)=2\mathsf{s(1)=2}
      s(4)=32\mathsf{s(4)=32}
      v‾=(32−2)/(4−1)\mathsf{\overline v=(32-2)/(4-1)}
      v‾=30/3=10 m/s\mathsf{\overline v=30/3=10\,\mathsf{m/s}}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Deutung10 Meter pro Sekunde.
  5. Aufgabe 5Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient · StandardEin Messprotokoll enthält (t,V)=(0,10),(2,18),(5,24)\mathsf{(t,V)=(0,10),(2,18),(5,24)}, t in Minuten, V in Litern. Bestimme die Raten auf [0,2], [2,5] und [0,5].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m1=(18−10)/2=4 L/min\mathsf{m_1=(18-10)/2=4\,\mathsf{L/min}}
      m2=(24−18)/3=2 L/min\mathsf{m_2=(24-18)/3=2\,\mathsf{L/min}}
      m=(24−10)/5=2,8 L/min\mathsf{m=(24-10)/5=2{,}8\,\mathsf{L/min}}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Deutung4, 2 und 2,8 Liter pro Minute. Der Gesamtdurchschnitt ist nicht das ungewichtete Mittel 3.
  6. Aufgabe 6Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient · StandardGegeben ist K(q)=100+5q+0,1q2\mathsf{K(q)=100+5q+0{,}1q^2} in Euro. Berechne die mittlere Kostenänderungsrate von 10 auf 20 Stück.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      K(10)=100+50+10=160\mathsf{K(10)=100+50+10=160}
      K(20)=100+100+40=240\mathsf{K(20)=100+100+40=240}
      m=(240−160)/(20−10)=8\mathsf{m=(240-160)/(20-10)=8}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Deutung8 Euro zusätzliche Kosten pro zusätzlichem Stück im Mengenintervall.
  7. Aufgabe 7Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient · StandardBestimme die mittlere Rate von f(x)=(x−2)2\mathsf{f(x)=(x-2)^2} auf [0,4]. Bedeutet das, dass f konstant ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(0)=4\mathsf{f(0)=4}
      f(4)=4\mathsf{f(4)=4}
      m=0/4=0\mathsf{m=0/4=0}
      f(2)=0\mathsf{f(2)=0}

    Ergebnis

    1. Rechnung und DeutungRate 0; nicht konstant, da der Zwischenwert 0 von den Endwerten abweicht.
  8. Aufgabe 8Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient · VertiefungEin Fahrzeug fährt zunächst 1 Stunde mit 30 km/h, danach 2 Stunden mit 60 km/h in gleicher Richtung. Berechne die mittlere Geschwindigkeit der ganzen Fahrt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      s1=30⋅1=30 km\mathsf{s_1=30\cdot1=30\,\mathsf{km}}
      s2=60⋅2=120 km\mathsf{s_2=60\cdot2=120\,\mathsf{km}}
      s=150 km\mathsf{s=150\,\mathsf{km}}
      v‾=150/3=50 km/h\mathsf{\overline v=150/3=50\,\mathsf{km/h}}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Deutung50 km/h; die Zeitabschnitte sind unterschiedlich lang.
  9. Aufgabe 9Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient · VertiefungDie mittlere Rate auf [2,6] beträgt 3 und f(2)=5\mathsf{f(2)=5}. Bestimme f(6)\mathsf{f(6)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(6)−56−2=3\mathsf{\frac{f(6)-5}{6-2}=3}
      f(6)−5=12\mathsf{f(6)-5=12}
      f(6)=17\mathsf{f(6)=17}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Deutungf(6)=17\mathsf{f(6)=17}.
  10. Aufgabe 10Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient · VertiefungEine Rechnung setzt für das Intervall [1,4] den Quotienten (f(4)−f(1))/(1−4)\mathsf{(f(4)-f(1))/(1-4)} an. Korrigiere den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Zähler und Nenner verwenden unterschiedliche Reihenfolgen.

      m=f(4)−f(1)4−1\mathsf{m=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}}

    Ergebnis

    1. Rechnung und DeutungBeide Differenzen müssen gleich orientiert sein; sonst wird das Vorzeichen umgekehrt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Intervall und einzelne Stelle.
  • Ich rechne Veränderungen und Raten mit passenden Einheiten.
  • Ich deute Vorzeichen und Ergebnis im Sachzusammenhang.

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