Differentialrechnung · Erklären & üben

Momentane Änderungsrate und Differentialquotient

Ein Tachometer zeigt eine Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. Eine solche lokale Rate beschreibt die Ableitung: Sie misst die Änderung an einer Stelle statt über ein festes Intervall.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vom Intervall zur Stelle

Die momentane Änderungsrate an $\mathsf{x_0}$ ist der Differentialquotient:

\mathsf{f^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}

Der Quotient wird zunächst nur für $\mathsf{x\ne x_0}$ gebildet. Einsetzen von $\mathsf{x=x_0}$ ergäbe 0 durch 0 und liefert keinen Wert. Existiert der endliche Grenzwert, ist f dort differenzierbar.

Geometrisch nähern sich die Sekanten einer Tangente am Punkt $\mathsf{(x_0\mid f(x_0))}$ . Deren Steigung ist die lokale Rate. Die h-Methode und die Grenzen der Differenzierbarkeit werden separat vertieft.

Erklärung 02

Eine Geschwindigkeit annähern

Für $\mathsf{s(t)=t^2}$ in Metern betrachten wir den Zeitpunkt $\mathsf{t_0=2}$ Sekunden. Die mittlere Rate zum benachbarten Zeitpunkt t lautet:

\mathsf{\frac{t^2-4}{t-2}=t+2\quad(t\ne2)}

Für t nahe 2 liegt die Rate nahe 4. Von links und von rechts entsteht derselbe Grenzwert.

Weg-Zeit-Graph mit Tangente im Punkt (2|4).

Näherungstabelle des Differenzenquotienten von beiden Seiten.

So geht es am Beispiel

Berechne die momentane Geschwindigkeit bei 2 Sekunden für $\mathsf{s(t)=t^2}$ .

\mathsf{s^{\prime}(t)=2t}

\mathsf{s^{\prime}(2)=2\cdot2}

\mathsf{s^{\prime}(2)=4\,\mathsf{m/s}}

Erklärung 03

Lokale Rate mit Einheiten deuten

Eine Temperaturfunktion T in Grad Celsius mit Zeit t in Minuten hat eine Ableitung in Grad Celsius pro Minute. Ein negatives Vorzeichen beschreibt lokales Abkühlen.

Bei Kosten K in Euro und Menge q in Stück misst $\mathsf{K^{\prime}(q)}$ Euro pro Stück. In einem stetigen Modell schätzt diese Grenzkostenrate die Kosten eines kleinen Mengenzuwachses; sie ist nicht automatisch die exakte Differenz zum nächsten ganzen Stück.

So geht es am Beispiel

Für $\mathsf{K(q)=200+4q+0{,}05q^2}$ : Bestimme die Grenzkosten bei 20 Stück und vergleiche mit dem nächsten Stück.

\mathsf{K^{\prime}(q)=4+0{,}1q}

\mathsf{K^{\prime}(20)=6\,\mathsf{Euro/Stueck}}

\mathsf{K(20)=300\,\mathsf{Euro}}

\mathsf{K(21)=306{,}05\,\mathsf{Euro}}

\mathsf{K(21)-K(20)=6{,}05\,\mathsf{Euro}}

Erklärung 04

Tangentenschätzung für kleine Änderungen

Für ein kleines $\mathsf{\Delta x}$ hilft die Näherung:

\mathsf{\Delta f\approx f^{\prime}(x_0)\Delta x}

\mathsf{f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime}(x_0)\Delta x}

Die Tangente ist ein lokales lineares Modell. Je nach Krümmung und Schrittweite kann die Abweichung unterschiedlich groß sein.

So geht es am Beispiel

Für $\mathsf{s(t)=t^2}$ : Schätze $\mathsf{s(2{,}1)}$ aus dem Wert und der Rate bei 2.

\mathsf{s(2)=4\,\mathsf m}

\mathsf{s^{\prime}(2)=4\,\mathsf{m/s}}

\mathsf{\Delta t=0{,}1\,\mathsf s}

\mathsf{s(2{,}1)\approx4+4\cdot0{,}1=4{,}4\,\mathsf m}

\mathsf{s(2{,}1)=4{,}41\,\mathsf m}

Erklärung 05

Messwerte und typische Grundfunktionen

Aus wenigen Messwerten erhältst du nur eine Schätzung der lokalen Rate. Ein symmetrischer Differenzenquotient nutzt möglichst nahe Stellen beidseits des Zeitpunkts.

Bekannte Regeln liefern zum Beispiel $\mathsf{(x^3)^{\prime}=3x^2}$ , $\mathsf{(\sqrt x)^{\prime}=1/(2\sqrt x)}$ für $\mathsf{x>0}$ und $\mathsf{(1/x)^{\prime}=-1/x^2}$ für $\mathsf{x\ne0}$ . Die passenden Regeln werden in den Ableitungsthemen ausführlich behandelt.

Eine momentane Rate von 0 bedeutet eine waagerechte Tangente; daraus folgt nicht, dass die Funktion in einer Umgebung konstant ist.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Momentane Änderungsrate und Differentialquotient · EinstiegFür $\mathsf{s(t)=3t^2}$ in Metern und t in Sekunden: Bestimme die Geschwindigkeit bei 2 Sekunden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s^{\prime}(t)=6t}$
  $\mathsf{s^{\prime}(2)=12\,\mathsf{m/s}}$
Ergebnis
1. Rechnung und DeutungZum Zeitpunkt 2 Sekunden beträgt die Geschwindigkeit 12 Meter pro Sekunde.
02
Aufgabe 2Momentane Änderungsrate und Differentialquotient · EinstiegEine Temperatur folgt $\mathsf{T(t)=80-6t+0{,}2t^2}$ für $\mathsf{0\le t\le10}$ Minuten. Bestimme und deute $\mathsf{T^{\prime}(5)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{T^{\prime}(t)=-6+0{,}4t}$
  $\mathsf{T^{\prime}(5)=-6+2=-4}$
Ergebnis
1. Rechnung und DeutungBei 5 Minuten kühlt die Temperatur mit einer lokalen Rate von 4 Grad Celsius pro Minute ab.
03
Aufgabe 3Momentane Änderungsrate und Differentialquotient · StandardFür $\mathsf{s(t)=t^2}$ in Metern: Vergleiche die mittlere Geschwindigkeit auf [1,2] mit der momentanen bei 2 Sekunden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overline v=(4-1)/(2-1)=3\,\mathsf{m/s}}$
  $\mathsf{s^{\prime}(2)=2\cdot2=4\,\mathsf{m/s}}$
Ergebnis
1. Rechnung und DeutungIntervallmittel 3 m/s; lokale Rate am rechten Rand 4 m/s.
04
Aufgabe 4Momentane Änderungsrate und Differentialquotient · StandardBestimme die lokale Rate von $\mathsf{f(x)=x^3}$ bei $\mathsf{x_0=-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2}$
  $\mathsf{f^{\prime}(-2)=3\cdot4=12}$
Ergebnis
1. Rechnung und DeutungDie lokale Rate ist 12; sie ist trotz negativer Stelle positiv.
05
Aufgabe 5Momentane Änderungsrate und Differentialquotient · StandardFür $\mathsf{V(t)=10+2t^2}$ in Litern und t in Minuten: Schätze $\mathsf{V(3{,}1)}$ aus der Tangente bei 3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V(3)=28\,\mathsf L}$
  $\mathsf{V^{\prime}(t)=4t}$
  $\mathsf{V^{\prime}(3)=12\,\mathsf{L/min}}$
  $\mathsf{V(3{,}1)\approx28+12\cdot0{,}1=29{,}2\,\mathsf L}$
Ergebnis
1. Rechnung und DeutungEtwa 29,2 Liter; eine Tangentenschätzung, kein exakter Wert.
06
Aufgabe 6Momentane Änderungsrate und Differentialquotient · StandardEin Sensor misst $\mathsf{T(4{,}9)=20{,}3}$ und $\mathsf{T(5{,}1)=19{,}7}$ Grad Celsius, t in Minuten. Schätze die lokale Rate bei 5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta T=19{,}7-20{,}3=-0{,}6}$
  $\mathsf{\Delta t=5{,}1-4{,}9=0{,}2}$
  $\mathsf{m=-0{,}6/0{,}2=-3}$
Ergebnis
1. Rechnung und DeutungGeschätzt −3 Grad Celsius pro Minute. Die zwei Messwerte liefern keinen exakten Grenzwert.
07
Aufgabe 7Momentane Änderungsrate und Differentialquotient · StandardFür $\mathsf{K(q)=50+2q+0{,}2q^2}$ in Euro: Berechne die Grenzkosten bei 10 Stück.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{K^{\prime}(q)=2+0{,}4q}$
  $\mathsf{K^{\prime}(10)=6}$
Ergebnis
1. Rechnung und Deutung6 Euro pro Stück im stetigen Kostenmodell.
08
Aufgabe 8Momentane Änderungsrate und Differentialquotient · VertiefungBestimme die lokale Rate von $\mathsf{f(x)=\sqrt x}$ bei 4 und von $\mathsf{g(x)=1/x}$ bei 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=1/(2\sqrt x)}$
  $\mathsf{f^{\prime}(4)=1/4}$
  $\mathsf{g^{\prime}(x)=-1/x^2}$
  $\mathsf{g^{\prime}(2)=-1/4}$
Ergebnis
1. Rechnung und Deutung $\mathsf{f^{\prime}(4)=1/4}$ , $\mathsf{g^{\prime}(2)=-1/4}$ .
09
Aufgabe 9Momentane Änderungsrate und Differentialquotient · VertiefungFür $\mathsf{f(x)=x^2}$ : Ist aus $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ zu schließen, dass f konstant ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=0}$ , aber $\mathsf{f(1)=1}$ .
Ergebnis
1. Rechnung und DeutungNein. Nur die Tangente an der Stelle 0 ist waagerecht.
10
Aufgabe 10Momentane Änderungsrate und Differentialquotient · VertiefungFür $\mathsf{s(t)=t^2}$ nähert sich der Differenzenquotient zwischen 2 und t dem Wert 4. Zeige das für $\mathsf{t=1{,}9}$ und $\mathsf{t=2{,}1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m_1=(1{,}9^2-4)/(1{,}9-2)=3{,}9}$
  $\mathsf{m_2=(2{,}1^2-4)/(2{,}1-2)=4{,}1}$
  $\mathsf{m=t+2\quad(t\ne2)}$
  $\mathsf{\lim_{t\to2}(t+2)=4}$
Ergebnis
1. Rechnung und DeutungDie Näherungen 3,9 und 4,1 m/s führen zum Grenzwert 4 m/s.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Intervall und einzelne Stelle.
Ich rechne Veränderungen und Raten mit passenden Einheiten.
Ich deute Vorzeichen und Ergebnis im Sachzusammenhang.

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