Kurven untersuchen · Erklären & üben

Monotonie untersuchen

Monotonie beschreibt, wie sich Funktionswerte verändern, wenn x innerhalb eines Intervalls wächst. Die Ableitung hilft dabei, die passenden Intervalle zu finden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Nichtfallend oder streng steigend

Eine Funktion ist auf einem Intervall nichtfallend, wenn für alle $\mathsf{x_1<x_2}$ aus diesem Intervall gilt: $\mathsf{f(x_1)\le f(x_2)}$ . Gleiche Funktionswerte sind erlaubt.

Für streng steigendes Verhalten muss dagegen stets $\mathsf{f(x_1)<f(x_2)}$ gelten. Entsprechend bedeuten nichtsteigend und streng fallend die Vergleiche $\mathsf{f(x_1)\ge f(x_2)}$ beziehungsweise $\mathsf{f(x_1)>f(x_2)}$ .

In manchen Schulbüchern heißt nichtfallend auch monoton steigend. Achte deshalb auf das Wort „streng“ und auf das verwendete Vergleichszeichen.

Erklärung 02

Das Vorzeichen der Ableitung nutzen

Ist f auf einem Intervall differenzierbar und gilt überall $\mathsf{f^{\prime}(x)>0}$ , dann ist f dort streng steigend. Bei $\mathsf{f^{\prime}(x)<0}$ ist f streng fallend.

Bei $\mathsf{f^{\prime}(x)\ge0}$ ist f nichtfallend; bei $\mathsf{f^{\prime}(x)\le0}$ nichtsteigend. Diese Aussagen beziehen sich auf zusammenhängende Intervalle. An eingeschlossenen Randpunkten wird zusätzlich Stetigkeit vorausgesetzt.

Die Bedingung $\mathsf{f^{\prime}>0}$ überall ist hinreichend, aber nicht notwendig für strenges Steigen. Bei $\mathsf{f(x)=x^3}$ ist $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ , trotzdem wächst die Funktion streng auf ganz $\mathsf{\mathbb R}$ . Eine einzelne waagerechte Tangente ist kein konstantes Teilstück.

Erklärung 03

Intervalle systematisch bestimmen

Bestimme zuerst den Definitionsbereich. Berechne dann die Ableitung und ihre Nullstellen. Auch Stellen, an denen die Funktion oder ihre Ableitung nicht definiert ist, können Intervallgrenzen sein. Prüfe das Vorzeichen in jedem verbleibenden Intervall.

Graph von x³ minus 3x mit Hochpunkt bei minus 1 und Tiefpunkt bei 1; drei aufeinanderfolgende Monotonieintervalle.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{f(x)=x^3-3x}$ auf Monotonie.

$\mathsf{D_f=\mathbb R}$ — alle reellen Zahlen sind zulässig.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-3}$ — ableiten.

$\mathsf{3x^2-3=0}$ — mögliche Wechselstellen suchen.

$\mathsf{x^2=1}$ — vereinfachen.

$\mathsf{x=-1\quad\textsf{oder}\quad x=1}$ — Grenzen bestimmen.

Für x < −1 ist die Ableitung positiv; für −1 < x < 1 negativ; für x > 1 positiv.

Die Funktion ist stetig, daher können die Randstellen in die angrenzenden Monotonieintervalle aufgenommen werden.

Erklärung 04

Definitionslücken trennen Intervalle

Für $\mathsf{g(x)=1/x}$ ist $\mathsf{g^{\prime}(x)=-1/x^2}$ überall im Definitionsbereich negativ. Trotzdem darfst du daraus nicht „streng fallend auf dem gesamten Definitionsbereich“ folgern: 0 trennt zwei Intervalle.

Die Funktion ist jeweils auf $\mathsf{(-\infty;0)}$ und $\mathsf{(0;\infty)}$ streng fallend. Über die Lücke hinweg liefert etwa −1 < 1, aber g(−1) = −1 < 1 = g(1) einen Gegenbeweis zum globalen Fallen.

Erklärung 05

Nullstellen der Ableitung richtig deuten

Bei $\mathsf{h(x)=x^3}$ wechselt $\mathsf{h^{\prime}(x)=3x^2}$ an 0 nicht das Vorzeichen. Die Funktion bleibt streng steigend. Bei einer konstanten Funktion ist die Ableitung dagegen auf einem ganzen Intervall 0; dort ist sie nicht streng monoton.

Ein Graph kann auf verschiedenen Abschnitten unterschiedlich monoton sein. Nenne immer die Intervalle und die zugehörige Richtung.

Kubische Funktion mit waagerechter Tangente am Ursprung; der Graph steigt trotzdem streng.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{p(x)=(x-2)^2}$ .

$\mathsf{p^{\prime}(x)=2(x-2)}$ — ableiten.

$\mathsf{p^{\prime}(x)=0\iff x=2}$ — Grenze bestimmen.

Links von 2 ist die Ableitung negativ, rechts positiv.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Monotonie untersuchen · EinstiegUntersuche $\mathsf{f(x)=3x-2}$ auf Monotonie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Monotonie mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Ableitung ist für jedes reelle x positiv.
Ergebnis
1. Monotonie mit BegründungStreng steigend auf ganz ℝ.
02
Aufgabe 2Monotonie untersuchen · EinstiegUntersuche $\mathsf{f(x)=-x^2+4}$ und nenne die Intervalle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Intervalle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-2x}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=0\iff x=0}$ — Grenze.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Links von 0 ist die Ableitung positiv, rechts negativ.
Ergebnis
1. IntervalleStreng steigend auf $\mathsf{(-\infty;0]}$ , streng fallend auf $\mathsf{[0;\infty)}$ .
03
Aufgabe 3Monotonie untersuchen · StandardBestimme die Monotonieintervalle von $\mathsf{g(x)=x^3-12x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Intervalle mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}(x)=3x^2-12}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=4}$ — Nullstellenbedingung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-2\quad\textsf{oder}\quad x=2}$ — Grenzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Außerhalb der Grenzen ist die Ableitung positiv, dazwischen negativ.
Ergebnis
1. Intervalle mit RechnungStreng steigend auf $\mathsf{(-\infty;-2]}$ und $\mathsf{[2;\infty)}$ ; streng fallend auf $\mathsf{[-2;2]}$ .
04
Aufgabe 4Monotonie untersuchen · StandardEine Person sagt: „Weil die Ableitung von x³ an 0 gleich 0 ist, kann x³ nicht streng steigen.“ Erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine einzelne Ableitungsnullstelle bedeutet nur eine waagerechte Tangente.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für zwei verschiedene reelle Zahlen x₁ < x₂ gilt stets x₁³ < x₂³.
Ergebnis
1. Begründungx³ ist streng steigend auf ℝ; eine überall positive Ableitung ist dafür keine notwendige Bedingung.
05
Aufgabe 5Monotonie untersuchen · StandardOrdne $\mathsf{h(x)=5}$ auf ℝ ein: nichtfallend, nichtsteigend, streng steigend oder streng fallend?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Einordnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^{\prime}(x)=0}$ — konstant.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für je zwei Eingaben sind die Funktionswerte gleich.
Ergebnis
1. EinordnungNichtfallend und nichtsteigend; weder streng steigend noch streng fallend.
06
Aufgabe 6Monotonie untersuchen · StandardUntersuche $\mathsf{f(x)=1/(x-2)}$ unter Beachtung des Definitionsbereichs.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsbereich und Intervalle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D_f=\mathbb R\setminus\{2\}}$ — Nenner darf nicht 0 sein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-\frac1{(x-2)^2}}$ — ableiten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Die Ableitung ist auf beiden Definitionsintervallen negativ.
Ergebnis
1. Definitionsbereich und IntervalleStreng fallend auf $\mathsf{(-\infty;2)}$ und $\mathsf{(2;\infty)}$ , getrennt betrachtet.
07
Aufgabe 7Monotonie untersuchen · StandardBestimme die Monotonieintervalle von $\mathsf{q(x)=x^4-2x^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Alle Intervalle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q^{\prime}(x)=4x^3-4x}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q^{\prime}(x)=4x(x-1)(x+1)}$ — faktorisieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Nullstellen: −1, 0 und 1. Die Vorzeichen von links nach rechts sind −, +, −, +.
Ergebnis
1. Alle IntervalleStreng fallend auf $\mathsf{(-\infty;-1]}$ und $\mathsf{[0;1]}$ ; streng steigend auf $\mathsf{[-1;0]}$ und $\mathsf{[1;\infty)}$ .
08
Aufgabe 8Monotonie untersuchen · VertiefungFür welche Werte von a ist $\mathsf{f(x)=ax+2}$ auf ℝ streng steigend? Wann ist sie nur konstant?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameterfälle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=a}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Das Vorzeichen von a bestimmt die Richtung.
Ergebnis
1. ParameterfälleStreng steigend für a > 0; konstant für a = 0. Für a < 0 streng fallend.
09
Aufgabe 9Monotonie untersuchen · VertiefungGegeben ist $\mathsf{f^{\prime}(x)=(x-1)^2}$ . Beurteile, ob f auf ℝ streng steigend sein kann, und nenne ein Beispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beispiel und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Ableitung ist positiv außer an 1.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Stammfunktion ist f(x) = (x−1)³/3; sie ist als verschobene kubische Funktion streng steigend.
Ergebnis
1. Beispiel und Begründung $\mathsf{f(x)=\frac13(x-1)^3}$ ist auf ℝ streng steigend.
10
Aufgabe 10Monotonie untersuchen · VertiefungUntersuche $\mathsf{f(x)=x^2}$ nur auf dem vorgegebenen Intervall [−3; −1].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis mit Intervall
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für jedes x zwischen −3 und −1 ist 2x negativ.
Ergebnis
1. Ergebnis mit IntervallAuf [−3; −1] streng fallend.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide strenges und nichtstrenges Verhalten.
Ich gebe zusammenhängende Intervalle an.
Ich behandle Ableitungsnullstellen und Definitionslücken unterschiedlich.

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