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Kurven untersuchen · Erklären & üben

Verhalten im Unendlichen

Das Verhalten im Unendlichen beschreibt, wohin die Funktionswerte für sehr große positive oder negative Eingaben laufen. Die beiden Richtungen werden getrennt untersucht.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Richtungen, zwei Aussagen

x→+∞\mathsf{x\to+\infty} bedeutet: x wächst über jede feste Grenze. Bei x→−∞\mathsf{x\to-\infty} wird x immer stärker negativ. Unendlich ist keine reelle Zahl, die du einfach einsetzen kannst.

Ein endlicher Grenzwert L bedeutet, dass sich die Funktionswerte beliebig an L annähern. Die Aussage f(x)→+∞\mathsf{f(x)\to+\infty} beschreibt dagegen ein unbegrenztes Wachstum.

Erklärung 02

Bei Polynomen entscheidet der führende Term

Der Term mit der höchsten Potenz bestimmt das Verhalten. Für f(x)=axn+\mathsf{f(x)=ax^n+} Terme kleineren Grades entscheidet deshalb das Vorzeichen von a zusammen mit der geraden oder ungeraden Zahl n.

Gerader Grad: Beide Enden zeigen in dieselbe Richtung. Bei a > 0 nach oben, bei a < 0 nach unten. Ungerader Grad: Die Enden zeigen in entgegengesetzte Richtungen; bei a > 0 links nach unten und rechts nach oben.

So geht es am Beispiel

Untersuche f(x)=−2x4+7x2−3\mathsf{f(x)=-2x^4+7x^2-3}.

f(x)=x4(−2+7x2−3x4)\mathsf{f(x)=x^4\left(-2+\frac7{x^2}-\frac3{x^4}\right)} — höchste Potenz ausklammern.

Der Klammerausdruck nähert sich in beiden Richtungen −2.

x⁴ wächst in beiden Richtungen unbegrenzt positiv.

Ergebnis

Für x→−∞\mathsf{x\to-\infty} und x→+∞\mathsf{x\to+\infty} gilt f(x)→−∞\mathsf{f(x)\to-\infty}.

Erklärung 03

Ungerader Grad wechselt die Richtung

Bei negativen Eingaben ist eine ungerade Potenz negativ. Ein negativer Leitkoeffizient kehrt beide Richtungen um. Kleinere Terme können den Graphen in der Mitte verändern, aber nicht sein Endverhalten.

Graph von minus x hoch 3 plus 2: links wächst er nach oben, rechts fällt er nach unten.

So geht es am Beispiel

Bestimme das Endverhalten von g(x)=−3x5+x2+8\mathsf{g(x)=-3x^5+x^2+8}.

Der führende Term ist −3x⁵.

Für x → +∞ wächst x⁵ positiv; mit −3 multipliziert ergibt sich −∞.

Für x → −∞ wird x⁵ unbegrenzt negativ; mit −3 multipliziert ergibt sich +∞.

Ergebnis

Links: g(x)→+∞\mathsf{g(x)\to+\infty}. Rechts: g(x)→−∞\mathsf{g(x)\to-\infty}.

Erklärung 04

Zählergrad und Nennergrad vergleichen

Bei gebrochenrationalen Funktionen teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Nennerpotenz. Ist der Zählergrad kleiner, ist der Grenzwert 0. Bei gleichem Grad ergibt sich der Quotient der Leitkoeffizienten.

Ist der Zählergrad größer, ist kein pauschaler Grenzwert 0 erlaubt. Eine Polynomdivision oder das Verhältnis der führenden Terme zeigt das Verhalten. Definitionslücken bei endlichen x ändern die beiden Fernrichtungen nicht.

So geht es am Beispiel

Untersuche r(x)=3x2+12x2−5\mathsf{r(x)=\frac{3x^2+1}{2x^2-5}}.

r(x)=3+1/x22−5/x2\mathsf{r(x)=\frac{3+1/x^2}{2-5/x^2}} — durch x² teilen.

1/x² und 5/x² nähern sich in beiden Richtungen 0.

3+02−0=32\mathsf{\frac{3+0}{2-0}=\frac32} — Grenzwert bestimmen.

Ergebnis

In beiden Richtungen nähert sich r(x) dem Wert 3/2. Die Gerade y = 3/2 ist eine waagerechte Asymptote.

Erklärung 05

Exponentialfunktionen beachten

ex→+∞\mathsf{e^x\to+\infty} für x→+∞\mathsf{x\to+\infty}, während ex→0\mathsf{e^x\to0} für x→−∞\mathsf{x\to-\infty}. Bei e−x\mathsf{e^{-x}} vertauschen sich die Richtungen. Eine additive Konstante verschiebt den endlichen Grenzwert.

Der Graph muss einen Grenzwert nicht erreichen. Beispielsweise ist 2+e−x\mathsf{2+e^{-x}} immer größer als 2, nähert sich aber nach rechts dem Wert 2.

Fallende Exponentialfunktion 2 plus e hoch minus x, die sich nach rechts der gestrichelten Geraden y gleich 2 von oben nähert.

So geht es am Beispiel

Untersuche h(x)=2+e−x\mathsf{h(x)=2+e^{-x}}.

Für x → +∞ gilt −x → −∞ und damit e⁻ˣ → 0.

h(x)→2\mathsf{h(x)\to2} — die Konstante bleibt.

Für x → −∞ gilt −x → +∞ und damit e⁻ˣ → +∞.

Ergebnis

Links wächst h unbegrenzt; rechts nähert sich h dem Wert 2 von oben.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Verhalten im Unendlichen · EinstiegBestimme beide Fernrichtungen von f(x)=4x6−10x+1\mathsf{f(x)=4x^6-10x+1}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der führende Term ist 4x⁶.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Gerader Grad und positiver Leitkoeffizient: beide Enden nach oben.

    Ergebnis

    1. Links und rechtsFür x→±∞\mathsf{x\to\pm\infty} gilt f(x)→+∞\mathsf{f(x)\to+\infty}.
  2. Aufgabe 2Verhalten im Unendlichen · EinstiegBestimme beide Fernrichtungen von g(x)=2x3−7x2+5\mathsf{g(x)=2x^3-7x^2+5}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der führende Term ist 2x³.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Ungerader Grad, positiver Leitkoeffizient.

    Ergebnis

    1. Links und rechtsLinks −∞, rechts +∞.
  3. Aufgabe 3Verhalten im Unendlichen · StandardBestimme beide Fernrichtungen von p(x)=−x7+100x4\mathsf{p(x)=-x^7+100x^4}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der führende Term ist −x⁷; der große Faktor 100 beim kleineren Grad ändert das Endverhalten nicht.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Ungerader Grad und negativer Leitkoeffizient.

    Ergebnis

    1. Links und rechtsLinks +∞, rechts −∞.
  4. Aufgabe 4Verhalten im Unendlichen · StandardBestimme die Grenzwerte von r(x)=2x+1x2+3\mathsf{r(x)=\frac{2x+1}{x^2+3}} für x → ±∞.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      r(x)=2/x+1/x21+3/x2\mathsf{r(x)=\frac{2/x+1/x^2}{1+3/x^2}} — durch x² teilen.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Zähler nähert sich 0, der Nenner 1.

    Ergebnis

    1. Beide GrenzwerteIn beiden Richtungen 0.
  5. Aufgabe 5Verhalten im Unendlichen · StandardUntersuche s(x)=−5x3+22x3−1\mathsf{s(x)=\frac{-5x^3+2}{2x^3-1}} im Unendlichen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      s(x)=−5+2/x32−1/x3\mathsf{s(x)=\frac{-5+2/x^3}{2-1/x^3}} — durch x³ teilen.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      −5+02−0=−52\mathsf{\frac{-5+0}{2-0}=-\frac52} — Grenzwert.

    Ergebnis

    1. Grenzwerte und waagerechte AsymptoteBeide Grenzwerte sind −5/2; Asymptote y=−5/2\mathsf{y=-5/2}.
  6. Aufgabe 6Verhalten im Unendlichen · StandardUntersuche q(x)=x2+1x\mathsf{q(x)=\frac{x^2+1}{x}} im Unendlichen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      q(x)=x+1x\mathsf{q(x)=x+\frac1x} — Bruch aufteilen.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      1/x nähert sich 0, der lineare Term entscheidet.

    Ergebnis

    1. Links und rechtsLinks −∞, rechts +∞. Die Gerade y = x beschreibt das asymptotische Verhalten.
  7. Aufgabe 7Verhalten im Unendlichen · StandardBestimme beide Fernrichtungen von h(x)=3−ex\mathsf{h(x)=3-e^x}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Nach rechts wächst eˣ unbegrenzt; das Minus kehrt die Richtung um.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Nach links nähert sich eˣ dem Wert 0.

    Ergebnis

    1. Links und rechtsLinks nähert sich h dem Wert 3 von unten; rechts −∞.
  8. Aufgabe 8Verhalten im Unendlichen · VertiefungBestimme beide Fernrichtungen von k(x)=−1+2e−x\mathsf{k(x)=-1+2e^{-x}}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Nach rechts nähert sich e⁻ˣ dem Wert 0.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Nach links wächst e⁻ˣ unbegrenzt.

    Ergebnis

    1. Links und rechtsLinks +∞; rechts Grenzwert −1 von oben.
  9. Aufgabe 9Verhalten im Unendlichen · VertiefungEine Person behauptet: „Jeder Bruch hat im Unendlichen den Grenzwert 0.“ Widerlege das mit zwei unterschiedlichen Beispielen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Bei x²/x² ist der Wert für x ≠ 0 stets 1.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Bei x²/x = x wächst der Betrag unbegrenzt.

    Ergebnis

    1. Zwei Gegenbeispielex2/x2→1\mathsf{x^2/x^2\to1}; x2/x\mathsf{x^2/x} geht rechts gegen +∞ und links gegen −∞.
  10. Aufgabe 10Verhalten im Unendlichen · VertiefungFinde ein Polynom dritten Grades, dessen Graph links nach oben und rechts nach unten verläuft und dessen y-Achsenabschnitt 2 ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Leitkoeffizient muss negativ sein.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der konstante Term muss 2 sein.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      f(x)=−x3+2\mathsf{f(x)=-x^3+2} — eine mögliche Wahl.

    Ergebnis

    1. Funktion und Begründungf(x)=−x3+2\mathsf{f(x)=-x^3+2} erfüllt alle Bedingungen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich untersuche beide Richtungen getrennt.
  • Ich erkenne führenden Term und Leitkoeffizienten.
  • Ich unterscheide endlichen Grenzwert und unbegrenztes Wachstum.

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