Logarithmus · Erklären & üben

Natürlicher Logarithmus

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e. Er macht die Exponentialfunktion zur Basis e rückgängig und wird mit ln abgekürzt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Basis e und Umkehrung

Die Eulersche Zahl e ist eine feste positive Zahl mit $\mathsf{e\approx2{,}71828}$ . Es gilt $\mathsf{\ln(a)=x}$ genau dann, wenn $\mathsf{e^x=a}$ , wobei a positiv sein muss. Daraus folgen $\mathsf{\ln(e)=1}$ und $\mathsf{\ln(1)=0}$ . Für jedes reelle x gilt $\mathsf{\ln(e^x)=x}$ ; für positives a gilt $\mathsf{e^{\ln(a)}=a}$ .

Schreibe die ln-Frage als Potenzgleichung zur Basis e
Nutze die Umkehrbeziehung.

ln ist der Logarithmus zur Basis e.

a > 0; x reell eˣ = a entspricht ln(a) = x ln(eˣ) = x e hoch ln(a) = a Beispiel: ln(e⁴) = 4

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\ln(e^4)}$ .

$\mathsf{\ln(e^4)=4}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{e^{\ln(7)}}$ .

$\mathsf{e^{\ln(7)}=7}$

Erklärung 02

Exakte und näherungsweise Werte

Werte wie ln(e²) lassen sich exakt bestimmen. Für ln(2) ist ln(2) selbst ein exakter Ausdruck; eine Dezimaldarstellung aus dem Rechner ist eine Näherung. Zum Beispiel gilt $\mathsf{\ln(2)\approx0{,}693}$ . Ein positiver Wert unter eins hat einen negativen ln-Wert. Null und negative Argumente sind im Reellen nicht erlaubt.

Behalte den exakten Ausdruck bis zum Schluss
Runde nur den verlangten Dezimalwert.

Ein Näherungswert erhält ein Näherungszeichen.

e⁻² entspricht −2; e⁻¹ entspricht −1; 1 entspricht 0; e entspricht 1; e² entspricht 2

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\ln(e^{-2})}$ .

$\mathsf{\ln(e^{-2})=-2}$

So geht es am Beispiel

Gib $\mathsf{\ln(5)}$ auf drei Nachkommastellen an.

$\mathsf{\ln(5)\approx1{,}609}$

Erklärung 03

Rechnen mit ln

Für positive u und v gilt $\mathsf{\ln(uv)=\ln u+\ln v}$ und $\mathsf{\ln(u/v)=\ln u-\ln v}$ . Für positives u und reelles r gilt $\mathsf{\ln(u^r)=r\ln u}$ . Eine Wurzel kann als Potenz geschrieben werden. Keine dieser Regeln erlaubt, ln einer Summe einfach auf die Summanden zu verteilen. Die vollständige gemeinsame Regelsammlung steht bei Logarithmusgesetze.

Prüfe die Argumente
Nutze die passende Produkt-, Quotienten- oder Potenzregel.

Die ln-Regeln sind Logarithmusgesetze mit Basis e.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\ln(e^3/\sqrt e)}$ .

$\mathsf{\ln(e^3/\sqrt e)=\ln(e^3)-\ln(e^{1/2})}$

$\mathsf{3-\tfrac12=\tfrac52}$

Erklärung 04

Einfache Gleichungen und Sonderfälle

Bei $\mathsf{\ln(x)=c}$ folgt $\mathsf{x=e^c}$ und damit automatisch x positiv. Steht ein anderer Ausdruck im Argument, muss dessen Positivität zuerst festgehalten werden. Hier genügen einfache Umkehrungen; mehrstufige Gleichungen behandelt Logarithmus auflösen. Den Verlauf des ln-Graphen behandelt Logarithmusfunktion.

Notiere die Bedingung an das Argument
Wende die e-Funktion an und prüfe den Wert im Original.

ln(0) ist nicht null; ln(1) ist null.

ln(x − 1) = 2 Bedingung: x − 1 > 0, also x > 1 Umkehrung: x − 1 = e² Lösung: x = 1 + e² Probe: ln(e²) = 2

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\ln(x-1)=2}$ .

$\mathsf{x-1>0}$

$\mathsf{x>1}$

$\mathsf{x-1=e^2}$

$\mathsf{x=1+e^2}$

$\mathsf{\ln((1+e^2)-1)=\ln(e^2)}$

$\mathsf{\ln(e^2)=2}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Natürlicher Logarithmus · 1Berechne $\mathsf{\ln(e^6)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\ln(e^6)=6}$
Ergebnis
1. Wert6
02
Aufgabe 2Natürlicher Logarithmus · 1Berechne $\mathsf{\ln(1)}$ und begründe mit einer Potenz von e.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{e^0=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert0
2. Begründung $\mathsf{e^0=1}$
03
Aufgabe 3Natürlicher Logarithmus · 1Berechne $\mathsf{\ln(1/e^3)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{1/e^3=e^{-3}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\ln(e^{-3})=-3}$
Ergebnis
1. Wert−3
04
Aufgabe 4Natürlicher Logarithmus · 1Berechne $\mathsf{e^{\ln(12)}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{e^{\ln(12)}=12}$
Ergebnis
1. Wert12
05
Aufgabe 5Natürlicher Logarithmus · 2Gib ln(3) als exakten Ausdruck und als Näherungswert auf drei Nachkommastellen an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Exakter Ausdruck
Näherungswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\ln(3)\approx1{,}099}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Exakter Ausdruck $\mathsf{\ln3}$
2. Näherungswert1,099
06
Aufgabe 6Natürlicher Logarithmus · 2Berechne $\mathsf{\ln(e^7/e^2)}$ und $\mathsf{\ln(\sqrt{e^{10}})}$ getrennt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotientenwert
Wurzelwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\ln(e^7/e^2)=7-2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{7-2=5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\ln(\sqrt{e^{10}})=\tfrac12\cdot10}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{\tfrac12\cdot10=5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quotientenwert5
2. Wurzelwert5
07
Aufgabe 7Natürlicher Logarithmus · 2Löse $\mathsf{\ln(x+2)=1}$ . Gib die Definitionsbedingung und die exakte Lösung getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsbedingung
Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{x+2>0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{x>-2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{x+2=e}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{x=e-2}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{\ln((e-2)+2)=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsbedingung $\mathsf{x>-2}$
2. Lösung $\mathsf{x=e-2}$
08
Aufgabe 8Natürlicher Logarithmus · 3Ist ln(0) gleich null? Begründe und nenne das Argument, dessen ln-Wert null ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Argument mit ln-Wert null
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Jede Potenz von e ist positiv und deshalb niemals null. Dagegen ist die nullte Potenz von e gleich eins.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Begründungln(0) ist im Reellen nicht definiert; das Argument muss positiv sein.
3. Argument mit ln-Wert null1
09
Aufgabe 9Natürlicher Logarithmus · 3Ein Modell lautet N(t) = 5e^t mit reellem t. Bei welchem t gilt N(t) = 20? Gib eine exakte Lösung und eine Näherung auf drei Nachkommastellen an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Exakter Zeitpunkt
Näherungswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{5e^t=20}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{e^t=4}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{t=\ln4}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{t\approx1{,}386}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{5e^{\ln4}=20}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Exakter Zeitpunkt $\mathsf{t=\ln4}$
2. Näherungswertt ≈ 1,386

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe Basis und Argument.
Ich unterscheide exakte Werte und Näherungen.
Ich wende keine Produktregel auf eine Summe an.

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