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Tangenten und Näherungen · Erklären & üben

Normale

Die Normale steht senkrecht auf der Tangente und geht durch denselben Punkt des Graphen. Deshalb berechnen wir zuerst die Tangentensteigung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Senkrecht zur Tangente

Die Normale im Punkt P(x0∣f(x0))\mathsf{P(x_0\mid f(x_0))} steht senkrecht auf der dortigen Tangente. Für endliche, von 0 verschiedene Tangentensteigung gilt mN=−1mT\mathsf{m_N=-\frac1{m_T}}.

Das Produkt der beiden Steigungen ist dann −1. Nur das Vorzeichen umzukehren reicht nicht: Zu mT = 2 gehört mN = −1/2, nicht −2.

Erklärung 02

Die Normale berechnen

Berechne y₀ = f(x₀) und mT=f′(x0)\mathsf{m_T=f^{\prime}(x_0)}. Prüfe zuerst, ob mT = 0 ist. Falls nicht, bilde den negativen Kehrwert und nutze n(x)=mN(x−x0)+y0\mathsf{n(x)=m_N(x-x_0)+y_0}.

So geht es am Beispiel

Berechne die Normale an f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} bei x₀ = 1.

f(1)=1\mathsf{f(1)=1} — Höhe.

f′(x)=2x\mathsf{f^{\prime}(x)=2x} — Ableitung.

mT=2\mathsf{m_T=2} — Tangentensteigung.

mN=−12\mathsf{m_N=-\frac12} — negativer Kehrwert.

n(x)=−12(x−1)+1\mathsf{n(x)=-\frac12(x-1)+1} — Punktsteigungsform.

n(x)=−12x+32\mathsf{n(x)=-\frac12x+\frac32} — vereinfachen.

Ergebnis

n(x)=−12x+32\mathsf{n(x)=-\frac12x+\frac32}

Erklärung 03

Sonderfall: waagerechte Tangente

Bei mT = 0 darfst du nicht durch 0 teilen. Die Tangente ist waagerecht, daher verläuft die Normale senkrecht. Ihre Gleichung ist x=x0\mathsf{x=x_0}.

Eine senkrechte Gerade hat keine endliche Steigung und keine Darstellung y = mx + b. Trotzdem ist sie eine eindeutig bestimmte Gerade.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Normale an g(x)=(x−2)2+1\mathsf{g(x)=(x-2)^2+1} bei x₀ = 2.

g(2)=1\mathsf{g(2)=1}
g′(x)=2(x−2)\mathsf{g^{\prime}(x)=2(x-2)}
mT=0\mathsf{m_T=0}

Die Normale ist die senkrechte Gerade durch (2 | 1).

Ergebnis

x=2\mathsf{x=2}

Erklärung 04

Zeichnen und kontrollieren

Markiere den Graphenpunkt. Für die Normale mit Steigung −1/2 gehst du beispielsweise zwei Einheiten nach rechts und eine nach unten. Bei einer senkrechten Normalen zeichnest du eine vertikale Gerade durch den Punkt.

Prüfe bei endlichen Steigungen mTmN=−1\mathsf{m_Tm_N=-1} sowie die Punktprobe. Für das Ablesen eines rechten Winkels müssen beide Achsen im selben Maßstab dargestellt sein.

Beschrifteter Graph von x² mit Normale bei x = 1 und zwei eingezeichneten Geradenpunkten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Normale · EinstiegBestimme die Normale an f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} bei x₀ = 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(2)=4\mathsf{f(2)=4}
      f′(x)=2x\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}
      mT=4\mathsf{m_T=4}
      mN=−14\mathsf{m_N=-\frac14}
      n(x)=−14(x−2)+4\mathsf{n(x)=-\frac14(x-2)+4}
      n(x)=−14x+92\mathsf{n(x)=-\frac14x+\frac92}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisn(x)=−14x+92\mathsf{n(x)=-\frac14x+\frac92}
  2. Aufgabe 2Normale · EinstiegBestimme die Normale an f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} bei x₀ = −1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(−1)=1\mathsf{f(-1)=1}
      mT=−2\mathsf{m_T=-2}
      mN=12\mathsf{m_N=\frac12}
      n(x)=12(x+1)+1\mathsf{n(x)=\frac12(x+1)+1}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisn(x)=12x+32\mathsf{n(x)=\frac12x+\frac32}
  3. Aufgabe 3Normale · StandardBestimme die Normale an f(x)=x3\mathsf{f(x)=x^3} bei x₀ = 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(0)=0\mathsf{f(0)=0}
      f′(x)=3x2\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2}
      mT=0\mathsf{m_T=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Tangente ist waagerecht, die Normale senkrecht.

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisx=0\mathsf{x=0}
  4. Aufgabe 4Normale · StandardEin Graph enthält P(3 | −1), die Tangentensteigung beträgt −1/2. Bestimme die Normale.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      mN=−1−1/2=2\mathsf{m_N=-\frac1{-1/2}=2}
      n(x)=2(x−3)−1\mathsf{n(x)=2(x-3)-1}
      n(x)=2x−7\mathsf{n(x)=2x-7}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisn(x)=2x−7\mathsf{n(x)=2x-7}
  5. Aufgabe 5Normale · StandardKorrigiere: Zur Tangentensteigung 3 gehört die Normalensteigung −3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      3⋅(−3)=−9\mathsf{3\cdot(-3)=-9} — das Produkt ist nicht −1.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      mN=−13\mathsf{m_N=-\frac13} — negativer Kehrwert.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      3⋅(−13)=−1\mathsf{3\cdot(-\frac13)=-1} — richtige Kontrolle.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnismN=−13\mathsf{m_N=-\frac13}
  6. Aufgabe 6Normale · StandardBestimme die Normale an f(x)=−x2+4x\mathsf{f(x)=-x^2+4x} bei x₀ = 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(2)=4\mathsf{f(2)=4}
      f′(x)=−2x+4\mathsf{f^{\prime}(x)=-2x+4}
      mT=0\mathsf{m_T=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die senkrechte Normale geht durch (2 | 4).

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisx=2\mathsf{x=2}
  7. Aufgabe 7Normale · StandardBestimme Tangente und Normale an f(x)=2x+1\mathsf{f(x)=2x+1} bei x₀ = 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(0∣1)\mathsf{P(0\mid1)}
      mT=2\mathsf{m_T=2}
      t(x)=2x+1\mathsf{t(x)=2x+1}
      mN=−12\mathsf{m_N=-\frac12}
      n(x)=−12x+1\mathsf{n(x)=-\frac12x+1}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnist(x)=2x+1,n(x)=−12x+1\mathsf{t(x)=2x+1,\quad n(x)=-\frac12x+1}
  8. Aufgabe 8Normale · VertiefungGeht die Gerade n(x) = −x/2 + 2 als Normale durch den Punkt P(1 | 1) mit Tangentensteigung 2?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      2⋅(−12)=−1\mathsf{2\cdot(-\frac12)=-1} — die Richtung stimmt.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      n(1)=32\mathsf{n(1)=\frac32} — der Punkt stimmt nicht.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      b=1+12=32\mathsf{b=1+\frac12=\frac32} — richtigen Achsenabschnitt finden.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisRichtig: n(x)=−12x+32\mathsf{\textsf{Richtig: }n(x)=-\frac12x+\frac32}
  9. Aufgabe 9Normale · VertiefungBerechne und zeichne die Normale an den vorgegebenen Graphen f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} bei x₀ = 1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Leeres Koordinatengitter zum Ergänzen der gesuchten Geraden; der vorgegebene Graph f(x) = x² bleibt sichtbar.

    Rechnung und Ergebnis

    Leeres Koordinatengitter zum Ergänzen der gesuchten Geraden; der vorgegebene Graph f(x) = x² bleibt sichtbar.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(1∣1)\mathsf{P(1\mid1)}
      mT=2\mathsf{m_T=2}
      mN=−12\mathsf{m_N=-\frac12}
      n(x)=−12x+32\mathsf{n(x)=-\frac12x+\frac32}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Zweiter Normalenpunkt: Q(3 | 0).

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisn(x)=−12x+32\mathsf{n(x)=-\frac12x+\frac32}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich bestimme zuerst die Tangentensteigung.
  • Ich verwende den negativen Kehrwert nur bei mT ≠ 0.
  • Ich kann eine senkrechte Normale als x = x₀ angeben.

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