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Tangenten und Näherungen · Erklären & üben

Sekante

Eine Sekante ist eine Gerade durch zwei Punkte eines Graphen. Ihre Steigung beschreibt die mittlere Änderung zwischen den beiden Eingaben.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Punkte legen eine Gerade fest

Für P(x1∣y1)\mathsf{P(x_1\mid y_1)} und Q(x2∣y2)\mathsf{Q(x_2\mid y_2)} mit x1≠x2\mathsf{x_1\ne x_2} ist die Sekantensteigung mS=y2−y1x2−x1\mathsf{m_S=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}. Bei Funktionsgraphen setzt du y₁ = f(x₁) und y₂ = f(x₂).

Zähler und Nenner müssen dieselbe Reihenfolge benutzen. Vertauschst du beide Punkte konsequent, bleibt die Steigung gleich. Gleiche x-Werte erlauben diese Division nicht.

Erklärung 02

Eine Sekantengleichung berechnen

Die Gerade lautet s(x)=mS(x−x1)+y1\mathsf{s(x)=m_S(x-x_1)+y_1}. Alternativ verwendest du den zweiten Punkt. Beide Formen beschreiben dieselbe Gerade.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Sekante an f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} durch die Stellen 1 und 3.

P(1∣1),Q(3∣9)\mathsf{P(1\mid1),\quad Q(3\mid9)} — Funktionswerte.

mS=9−13−1\mathsf{m_S=\frac{9-1}{3-1}} — Differenzenquotient.

mS=4\mathsf{m_S=4} — ausrechnen.

s(x)=4(x−1)+1\mathsf{s(x)=4(x-1)+1} — ersten Punkt nutzen.

s(x)=4x−3\mathsf{s(x)=4x-3} — vereinfachen.

Ergebnis

s(x)=4x−3\mathsf{s(x)=4x-3}

Erklärung 03

Mittlere Änderung und Tangentensteigung

Bei einer Wegfunktion in Metern und der Zeit in Sekunden hat die Sekantensteigung die Einheit m/s. Sie beschreibt eine mittlere Geschwindigkeit im betrachteten Zeitraum.

Die Tangente nutzt dagegen die Ableitung an einer einzelnen Stelle. Rückt der zweite Sekantenpunkt an den ersten heran, kann die Sekantensteigung gegen die Tangentensteigung streben. Das setzt die entsprechende Differenzierbarkeit voraus.

So geht es am Beispiel

Für f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} betrachte die Stellen 1 und 1+h mit h ≠ 0.

mS=(1+h)2−1h\mathsf{m_S=\frac{(1+h)^2-1}{h}}
mS=2h+h2h\mathsf{m_S=\frac{2h+h^2}{h}}
mS=2+h\mathsf{m_S=2+h}

Für h → 0 nähert sich die Steigung dem Wert 2.

Ergebnis

Der Grenzwert ist f′(1)=2\mathsf{f^{\prime}(1)=2}.

Erklärung 04

Sekanten an einem Kreis

Bei einem Kreis schneidet eine Sekante die Kreislinie in zwei verschiedenen Punkten. Die Verbindungsstrecke zwischen ihnen heißt Sehne; die Sekante ist die gesamte Gerade.

Eine Kreistangente hat genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, eine Passante keinen. Eine senkrechte Kreissekante kann x = c heißen; sie lässt sich nicht als y = mx + b schreiben.

Beschrifteter Graph von x² mit Sekante durch zwei Graphenpunkte und zwei eingezeichneten Geradenpunkten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Sekante · EinstiegBestimme die Gerade durch P(0 | 1) und Q(2 | 5).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=5−12−0=2\mathsf{m=\frac{5-1}{2-0}=2}
      s(x)=2(x−0)+1\mathsf{s(x)=2(x-0)+1}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebniss(x)=2x+1\mathsf{s(x)=2x+1}
  2. Aufgabe 2Sekante · EinstiegBestimme die Sekante an f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} zu x₁ = −1 und x₂ = 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(−1)=1\mathsf{f(-1)=1}
      f(2)=4\mathsf{f(2)=4}
      m=4−12−(−1)=1\mathsf{m=\frac{4-1}{2-(-1)}=1}
      s(x)=1(x+1)+1\mathsf{s(x)=1(x+1)+1}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebniss(x)=x+2\mathsf{s(x)=x+2}
  3. Aufgabe 3Sekante · StandardBestimme die Sekante an f(x)=x3\mathsf{f(x)=x^3} zu den Stellen 0 und 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(0∣0),Q(2∣8)\mathsf{P(0\mid0),\quad Q(2\mid8)}
      m=8−02−0=4\mathsf{m=\frac{8-0}{2-0}=4}
      s(x)=4x\mathsf{s(x)=4x}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebniss(x)=4x\mathsf{s(x)=4x}
  4. Aufgabe 4Sekante · StandardBestimme die Gerade durch P(−2 | 3) und Q(1 | 3).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=3−31−(−2)=0\mathsf{m=\frac{3-3}{1-(-2)}=0}
      s(x)=0(x+2)+3\mathsf{s(x)=0(x+2)+3}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWaagerechte Gerade y = 3.
  5. Aufgabe 5Sekante · StandardFür P(1 | 4) und Q(3 | 0) wurde m = (0−4)/(1−3) = 2 berechnet. Korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Im Zähler steht Q minus P, im Nenner muss ebenfalls Q minus P stehen.

      m=0−43−1=−2\mathsf{m=\frac{0-4}{3-1}=-2}
      s(x)=−2(x−1)+4\mathsf{s(x)=-2(x-1)+4}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebniss(x)=−2x+6\mathsf{s(x)=-2x+6}
  6. Aufgabe 6Sekante · StandardDas Wegmodell lautet s(t) = t² Meter. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit zwischen t = 1 s und t = 4 s.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      s(1)=1\mathsf{s(1)=1}
      s(4)=16\mathsf{s(4)=16}
      16−14−1=5\mathsf{\frac{16-1}{4-1}=5}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisMittlere Geschwindigkeit: 5 m/s.
  7. Aufgabe 7Sekante · StandardEin Kreis hat Mittelpunkt (0 | 0) und Radius 3. Ordne die Geraden x = 0, x = 3 und x = 4 als Sekante, Tangente oder Passante ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      x = 0 trifft den Kreis bei (0 | −3) und (0 | 3).

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      x = 3 trifft ihn nur bei (3 | 0).

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      x = 4 hat größeren Abstand vom Mittelpunkt als der Radius.

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisx = 0: Sekante; x = 3: Tangente; x = 4: Passante.
  8. Aufgabe 8Sekante · VertiefungWarum kann man für P(2 | 1) und Q(2 | 5) keine Steigung als Differenzenquotient berechnen? Gib dennoch die Geradengleichung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x2−x1=0\mathsf{x_2-x_1=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Eine Division durch 0 ist nicht definiert. Beide Punkte liegen auf derselben senkrechten Geraden.

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisx=2\mathsf{x=2}
  9. Aufgabe 9Sekante · VertiefungZeichne zum vorgegebenen Graphen f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} die Sekante durch die Stellen −1 und 2. Berechne ihre Gleichung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Leeres Koordinatengitter zum Ergänzen der gesuchten Geraden; der vorgegebene Graph f(x) = x² bleibt sichtbar.

    Rechnung und Ergebnis

    Leeres Koordinatengitter zum Ergänzen der gesuchten Geraden; der vorgegebene Graph f(x) = x² bleibt sichtbar.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(−1∣1),Q(2∣4)\mathsf{P(-1\mid1),\quad Q(2\mid4)}
      m=4−12−(−1)=1\mathsf{m=\frac{4-1}{2-(-1)}=1}
      s(x)=x+2\mathsf{s(x)=x+2}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Gerade durch P und Q zeichnen und über beide Punkte hinaus verlängern.

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebniss(x)=x+2\mathsf{s(x)=x+2}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich verwende zwei verschiedene x-Werte.
  • Ich bilde beide Differenzen in derselben Reihenfolge.
  • Ich unterscheide Sekante, Sehne und Tangente.

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