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Ebenen · Erklären & üben

Normalenvektor

Ein Normalenvektor ist ein von null verschiedener Vektor, der senkrecht auf einer gegebenen Richtung oder Ebene steht. Seine Länge ist zunächst beliebig; zum Einheitsnormalen wird er erst durch Normieren.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Senkrecht bedeutet Skalarprodukt null

Zwei von null verschiedene Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Für eine Ebenennormale muss das mit beiden unabhängigen Spannvektoren gelten. Der Nullvektor erfüllt zwar jedes solche Produkt, gilt aber nicht als Normalenvektor.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

n⃗⋅u⃗=0\mathsf{\vec n\cdot\vec u=0}

Ebene z = 2

So geht es am Beispiel

Prüfe n⃗=(2,−1,0)\mathsf{\vec n=(2,-1,0)} zu u⃗=(1,2,0)\mathsf{\vec u=(1,2,0)}.

n⃗⋅u⃗=2⋅1−1⋅2+0=0\mathsf{\vec n\cdot\vec u=2\cdot1-1\cdot2+0=0}

Ergebnis

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

Erklärung 02

Koeffizienten oder Kreuzprodukt

In der Koordinatenform liest du die Normale aus den Koeffizienten ab. Aus zwei unabhängigen Spannvektoren erhältst du sie mit dem Kreuzprodukt oder durch Lösen der beiden Orthogonalitätsgleichungen. Nichtnullvielfache beschreiben dieselbe Normalenrichtung.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

n⃗=u⃗×v⃗\mathsf{\vec n=\vec u\times\vec v}

Gerade 2x + y = 6 in der xy-Ebene

So geht es am Beispiel

Bestimme eine Normale zu u⃗=(1,0,1)\mathsf{\vec u=(1,0,1)} und v⃗=(0,1,1)\mathsf{\vec v=(0,1,1)}.

n⃗=(−1,−1,1)\mathsf{\vec n=(-1,-1,1)}
n⃗⋅u⃗=−1+1=0\mathsf{\vec n\cdot\vec u=-1+1=0}
n⃗⋅v⃗=−1+1=0\mathsf{\vec n\cdot\vec v=-1+1=0}

Ergebnis

n⃗=(−1,−1,1)\mathsf{\vec n=(-1,-1,1)}

Erklärung 03

Geraden in zwei und drei Dimensionen

Zu einer ebenen Geraden mit Richtung (u1,u2)\mathsf{(u_1,u_2)} ist (−u2,u1)\mathsf{(-u_2,u_1)} normal. In drei Dimensionen hat eine Gerade dagegen mehrere unabhängige Normalenrichtungen: Ein einzelner Vektor senkrecht zur Geraden legt noch keine eindeutig bestimmte Ebene fest.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

u⃗=(u1,u2)⇒n⃗=(−u2,u1)\mathsf{\vec u=(u_1,u_2)\quad\Rightarrow\quad\vec n=(-u_2,u_1)}

So geht es am Beispiel

Finde eine Normale zur ebenen Geradenrichtung (3,4)\mathsf{(3,4)}.

n⃗=(−4,3)\mathsf{\vec n=(-4,3)}
3(−4)+4⋅3=0\mathsf{3(-4)+4\cdot3=0}

Ergebnis

n⃗=(−4,3)\mathsf{\vec n=(-4,3)}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Normalenvektor · standardPrüfe, ob (1,2,0)\mathsf{(1,2,0)} und (2,−1,3)\mathsf{(2,-1,3)} orthogonal sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      1⋅2+2(−1)+0⋅3=0\mathsf{1\cdot2+2(-1)+0\cdot3=0}

    Ergebnis

    1. ErgebnisJa, das Skalarprodukt ist null.
  2. Aufgabe 2Normalenvektor · standardGib eine Normale zu x−3y+2z=5\mathsf{x-3y+2z=5} an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Koeffizienten bilden n⃗=(1,−3,2)\mathsf{\vec n=(1,-3,2)}.

    Ergebnis

    1. Normalen⃗=(1,−3,2)\mathsf{\vec n=(1,-3,2)}
  3. Aufgabe 3Normalenvektor · standardFinde eine Normale zu (1,0,0)\mathsf{(1,0,0)} und (0,1,0)\mathsf{(0,1,0)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (1,0,0)×(0,1,0)=(0,0,1)\mathsf{(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1)}

    Ergebnis

    1. Normalen⃗=(0,0,1)\mathsf{\vec n=(0,0,1)}
  4. Aufgabe 4Normalenvektor · standardDie Vorlage zeigt A(0∣0∣2)\mathsf{A(0|0|2)}, B(2∣0∣2)\mathsf{B(2|0|2)} und C(0∣2∣2)\mathsf{C(0|2|2)} sowie N(0∣0∣3)\mathsf{N(0|0|3)}. Zeichne das Ebenendreieck ABC und einen Normalenpfeil von A nach N. Beschrifte ihn.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Normalenzeichnung

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung
      AN→=(0,0,1)\mathsf{\overrightarrow{AN}=(0,0,1)}
    2. Schritt 2 · Erklärung

      Dieser Vektor steht auf den Richtungen AB und AC senkrecht.

    Ergebnis

    1. NormalenzeichnungDreieck ABC und Pfeil A→N mit n⃗=(0,0,1)\mathsf{\vec n=(0,0,1)}.
  5. Aufgabe 5Normalenvektor · standardWarum darf der Nullvektor nicht als Normalenvektor einer Ebene verwendet werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Er besitzt keine Richtung.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Gleichung mit Nullnormalem würde keine eindeutige Ebene festlegen.

    Ergebnis

    1. BegründungEine Normale muss eine von null verschiedene senkrechte Richtung angeben.
  6. Aufgabe 6Normalenvektor · standardIst (−2,−4,−6)\mathsf{(-2,-4,-6)} ebenfalls eine Normale, wenn (1,2,3)\mathsf{(1,2,3)} eine Normale ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (−2,−4,−6)=−2(1,2,3)\mathsf{(-2,-4,-6)=-2(1,2,3)}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Das Vielfache ist von null verschieden.

    Ergebnis

    1. ErgebnisJa; dieselbe Normalenrichtung mit umgekehrter Orientierung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Punkt, Richtungsvektor und Normalenvektor.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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