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Parabelformen · Erklären & üben

Normalform und Scheitelpunktform

Normalform und Scheitelpunktform beschreiben dieselbe quadratische Funktion auf unterschiedliche Weise. Je nach Darstellung kannst du andere Eigenschaften direkt ablesen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Darstellungen, ein Graph

Wir verwenden als vollständige Normalform f(x)=ax2+bx+c\mathsf{f(x)=ax^2+bx+c} mit a≠0\mathsf{a\ne0}. Der Koeffizient a muss nicht 1 sein. c ist der y-Achsenabschnitt.

Die Scheitelpunktform lautet f(x)=a(x−h)2+k\mathsf{f(x)=a(x-h)^2+k}. Der Scheitel ist S(h∣k)\mathsf{S(h\mid k)}, die Symmetrieachse x = h. Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnungsrichtung.

In (x+3)2\mathsf{(x+3)^2} ist h = −3. Das Vorzeichen innerhalb der Klammer muss beim Ablesen richtig zugeordnet werden.

Vergleich der beiden Formen und ihrer direkt ablesbaren Eigenschaften.

Erklärung 02

Vom Scheitel zur Normalform

Entwickle das Quadrat vollständig, multipliziere mit a und fasse zusammen. Der Faktor a wirkt auf alle Terme in der Klammer.

So geht es am Beispiel

Wandle f(x)=2(x−3)2−5\mathsf{f(x)=2(x-3)^2-5} in die Normalform um.

(x−3)2=x2−6x+9\mathsf{(x-3)^2=x^2-6x+9}
f(x)=2(x2−6x+9)−5\mathsf{f(x)=2(x^2-6x+9)-5}
f(x)=2x2−12x+18−5\mathsf{f(x)=2x^2-12x+18-5}
f(x)=2x2−12x+13\mathsf{f(x)=2x^2-12x+13}

f(0)=13\mathsf{f(0)=13} in beiden Formen.

Ergebnis

Normalform 2x2−12x+13\mathsf{2x^2-12x+13}; Scheitel S(3∣−5)\mathsf{S(3\mid-5)}.

Erklärung 03

Von der Normalform zum Scheitel

Klammere a zunächst aus den x-Term-Beiträgen aus. Ergänze dann innerhalb der Klammer ein Quadrat und ziehe denselben Betrag wieder ab. Beachte anschließend den äußeren Faktor.

Alternativ kannst du den Scheitel mit h=−b/(2a)\mathsf{h=-b/(2a)} und k=f(h)\mathsf{k=f(h)} bestimmen. Beide Wege liefern dieselbe Darstellung.

Parabel mit Achsenabschnitt und Scheitel für beide gleichwertigen Terme.

So geht es am Beispiel

Wandle f(x)=2x2−8x+3\mathsf{f(x)=2x^2-8x+3} in die Scheitelpunktform um.

f(x)=2(x2−4x)+3\mathsf{f(x)=2(x^2-4x)+3}
f(x)=2(x2−4x+4−4)+3\mathsf{f(x)=2(x^2-4x+4-4)+3}
f(x)=2((x−2)2−4)+3\mathsf{f(x)=2((x-2)^2-4)+3}
f(x)=2(x−2)2−8+3\mathsf{f(x)=2(x-2)^2-8+3}
f(x)=2(x−2)2−5\mathsf{f(x)=2(x-2)^2-5}
f(2)=8−16+3=−5\mathsf{f(2)=8-16+3=-5}

Ergebnis

Scheitelpunktform 2(x−2)2−5\mathsf{2(x-2)^2-5}; Scheitel S(2∣−5)\mathsf{S(2\mid-5)}.

Erklärung 04

Negative Faktoren und Proben

Auch bei a<0\mathsf{a<0} bleibt der Faktor beim Ergänzen erhalten. Ein negativer Faktor vor einem negativen Korrekturterm ergibt einen positiven Beitrag.

Durch Ausmultiplizieren prüfst du die Identität der Terme. Eine zusätzliche Punktprobe kann Rechenfehler aufdecken, beweist allein aber nicht die Gleichheit aller Funktionswerte.

So geht es am Beispiel

Wandle g(x)=−x2−6x+1\mathsf{g(x)=-x^2-6x+1} um.

g(x)=−(x2+6x)+1\mathsf{g(x)=-(x^2+6x)+1}
g(x)=−(x2+6x+9−9)+1\mathsf{g(x)=-(x^2+6x+9-9)+1}
g(x)=−(x+3)2+9+1\mathsf{g(x)=-(x+3)^2+9+1}
g(x)=−(x+3)2+10\mathsf{g(x)=-(x+3)^2+10}

Ergebnis

Scheitel S(−3∣10)\mathsf{S(-3\mid10)}; die Parabel ist nach unten geöffnet.

Erklärung 05

Eine Funktion aus Scheitel und Punkt

Ein Scheitel allein legt a nicht fest. Ein zusätzlicher Punkt außerhalb der Scheitelachse kann den Faktor bestimmen.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Parabel mit Scheitel S(1∣−2)\mathsf{S(1\mid-2)} durch P(3∣6)\mathsf{P(3\mid6)}.

f(x)=a(x−1)2−2\mathsf{f(x)=a(x-1)^2-2}
6=a(3−1)2−2\mathsf{6=a(3-1)^2-2}
8=4a\mathsf{8=4a}
a=2\mathsf{a=2}
f(x)=2(x−1)2−2\mathsf{f(x)=2(x-1)^2-2}
f(3)=8−2=6\mathsf{f(3)=8-2=6}

Ergebnis

Die Normalform lautet 2x2−4x\mathsf{2x^2-4x}.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Normalform und Scheitelpunktform · EinstiegLies Scheitel und Öffnungsrichtung aus f(x)=3(x+2)2−4\mathsf{f(x)=3(x+2)^2-4} ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      h=−2\mathsf{h=-2}, k=−4\mathsf{k=-4}.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      a=3>0\mathsf{a=3>0}.

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisS(−2∣−4)\mathsf{S(-2\mid-4)}; nach oben geöffnet.
  2. Aufgabe 2Normalform und Scheitelpunktform · EinstiegWandle f(x)=(x−4)2+2\mathsf{f(x)=(x-4)^2+2} in die Normalform um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (x−4)2=x2−8x+16\mathsf{(x-4)^2=x^2-8x+16}
      f(x)=x2−8x+18\mathsf{f(x)=x^2-8x+18}

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisNormalform x2−8x+18\mathsf{x^2-8x+18}.
  3. Aufgabe 3Normalform und Scheitelpunktform · StandardWandle f(x)=−2(x+1)2+3\mathsf{f(x)=-2(x+1)^2+3} in die Normalform um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=−2(x2+2x+1)+3\mathsf{f(x)=-2(x^2+2x+1)+3}
      f(x)=−2x2−4x−2+3\mathsf{f(x)=-2x^2-4x-2+3}

    Ergebnis

    1. Umformung und Ergebnisf(x)=−2x2−4x+1\mathsf{f(x)=-2x^2-4x+1}.
  4. Aufgabe 4Normalform und Scheitelpunktform · StandardWandle f(x)=x2+6x+5\mathsf{f(x)=x^2+6x+5} in die Scheitelpunktform um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=x2+6x+9−9+5\mathsf{f(x)=x^2+6x+9-9+5}
      f(x)=(x+3)2−4\mathsf{f(x)=(x+3)^2-4}

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisS(−3∣−4)\mathsf{S(-3\mid-4)}; Form (x+3)2−4\mathsf{(x+3)^2-4}.
  5. Aufgabe 5Normalform und Scheitelpunktform · StandardWandle f(x)=3x2−12x+7\mathsf{f(x)=3x^2-12x+7} in die Scheitelpunktform um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=3(x2−4x)+7\mathsf{f(x)=3(x^2-4x)+7}
      f(x)=3((x−2)2−4)+7\mathsf{f(x)=3((x-2)^2-4)+7}
      f(x)=3(x−2)2−5\mathsf{f(x)=3(x-2)^2-5}

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisS(2∣−5)\mathsf{S(2\mid-5)}.
  6. Aufgabe 6Normalform und Scheitelpunktform · StandardBestimme den Scheitel von f(x)=−2x2+8x−1\mathsf{f(x)=-2x^2+8x-1} mit h=−b/(2a)\mathsf{h=-b/(2a)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=−8/(2⋅(−2))=2\mathsf{h=-8/(2\cdot(-2))=2}
      k=f(2)=−8+16−1=7\mathsf{k=f(2)=-8+16-1=7}

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisS(2∣7)\mathsf{S(2\mid7)}; f(x)=−2(x−2)2+7\mathsf{f(x)=-2(x-2)^2+7}.
  7. Aufgabe 7Normalform und Scheitelpunktform · StandardBestimme die Parabel mit S(−1∣2)\mathsf{S(-1\mid2)} durch P(1∣10)\mathsf{P(1\mid10)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=a(x+1)2+2\mathsf{f(x)=a(x+1)^2+2}
      10=4a+2\mathsf{10=4a+2}
      a=2\mathsf{a=2}
      f(1)=2⋅4+2=10\mathsf{f(1)=2\cdot4+2=10}

    Ergebnis

    1. Umformung und Ergebnisf(x)=2(x+1)2+2\mathsf{f(x)=2(x+1)^2+2}.
  8. Aufgabe 8Normalform und Scheitelpunktform · VertiefungPrüfe durch Ausmultiplizieren, ob 2(x−1)2+3\mathsf{2(x-1)^2+3} und 2x2−4x+5\mathsf{2x^2-4x+5} gleich sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      2(x−1)2+3=2(x2−2x+1)+3\mathsf{2(x-1)^2+3=2(x^2-2x+1)+3}
      =2x2−4x+5\mathsf{=2x^2-4x+5}

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisJa, die Terme beschreiben dieselbe Funktion.
  9. Aufgabe 9Normalform und Scheitelpunktform · VertiefungIn f(x)=4x2+8x+6\mathsf{f(x)=4x^2+8x+6} wurde fälschlich (x+1)2+2\mathsf{(x+1)^2+2} als Scheitelform genannt. Korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=4(x2+2x)+6\mathsf{f(x)=4(x^2+2x)+6}
      f(x)=4((x+1)2−1)+6\mathsf{f(x)=4((x+1)^2-1)+6}

    Ergebnis

    1. Umformung und Ergebnisf(x)=4(x+1)2+2\mathsf{f(x)=4(x+1)^2+2}; der Faktor 4 darf nicht fehlen.
  10. Aufgabe 10Normalform und Scheitelpunktform · VertiefungBestimme Scheitelpunktform und Scheitel von f(x)=(x−1)(x−5)\mathsf{f(x)=(x-1)(x-5)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=x2−6x+5\mathsf{f(x)=x^2-6x+5}
      f(x)=x2−6x+9−4\mathsf{f(x)=x^2-6x+9-4}
      f(x)=(x−3)2−4\mathsf{f(x)=(x-3)^2-4}

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisS(3∣−4)\mathsf{S(3\mid-4)}.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese die zur Darstellungsform passenden Eigenschaften ab.
  • Ich führe Formwechsel mit vollständigem Faktor a aus.
  • Ich unterscheide zwei, doppelte und fehlende reelle Nullstellen.

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