AT Academy
Zum Mathematik-Inhalt

Parabelformen · Erklären & üben

Nullstellenform

Die Nullstellenform macht die Schnittstellen einer Parabel mit der x-Achse sichtbar. Sie enthält zusätzlich einen Faktor a, der die Öffnung und die Form der Parabel festlegt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei reelle Nullstellen einsetzen

Besitzt eine quadratische Funktion zwei reelle Nullstellen r1\mathsf{r_1} und r2\mathsf{r_2}, lautet ihre Nullstellenform:

f(x)=a(x−r1)(x−r2),a≠0\mathsf{f(x)=a(x-r_1)(x-r_2),\quad a\ne0}

Beim Einsetzen einer Nullstelle wird ein Faktor 0. Die Reihenfolge der beiden Faktoren spielt keine Rolle. Der Faktor a bleibt auch bei bekannten Nullstellen noch zu bestimmen.

So geht es am Beispiel

Gib die Funktion mit Nullstellen −2 und 3 sowie a = 2 an.

r1=−2,r2=3\mathsf{r_1=-2,\quad r_2=3}
f(x)=2(x+2)(x−3)\mathsf{f(x)=2(x+2)(x-3)}
f(−2)=2⋅0⋅(−5)=0\mathsf{f(-2)=2\cdot0\cdot(-5)=0}
f(3)=2⋅5⋅0=0\mathsf{f(3)=2\cdot5\cdot0=0}

Ergebnis

Die Form lautet 2(x+2)(x−3)\mathsf{2(x+2)(x-3)}.

Erklärung 02

Doppelte Nullstelle oder keine reelle Nullstelle

Bei einer doppelten Nullstelle r sind beide Faktoren gleich: f(x)=a(x−r)2\mathsf{f(x)=a(x-r)^2}. Der Graph berührt die x-Achse im Scheitel.

Hat die Parabel keine reelle Nullstelle, gibt es keine Zerlegung in zwei reelle Linearfaktoren dieser Form. Beispiel: x2+1>0\mathsf{x^2+1>0} für alle reellen x.

In der Normalform entscheidet b2−4ac\mathsf{b^2-4ac}: größer als 0 bedeutet zwei verschiedene reelle Nullstellen, gleich 0 eine doppelte, kleiner als 0 keine reelle Nullstelle.

Drei Fälle der reellen Faktorisierung quadratischer Funktionen.

Erklärung 03

Den Faktor aus einem Punkt bestimmen

Setze einen zusätzlichen Punkt P(p∣q)\mathsf{P(p\mid q)} ein. Falls p keine Nullstelle ist, kannst du nach a auflösen. Ein Punkt auf einer bereits bekannten Nullstelle liefert keine neue Information über a.

Der erhaltene Faktor muss ungleich 0 sein, damit die Funktion quadratisch bleibt. Widersprüchliche Angaben ergeben keine passende quadratische Funktion.

So geht es am Beispiel

Eine Parabel hat Nullstellen 1 und 4 und geht durch P(0∣8)\mathsf{P(0\mid8)}. Bestimme a.

f(x)=a(x−1)(x−4)\mathsf{f(x)=a(x-1)(x-4)}
8=a(0−1)(0−4)\mathsf{8=a(0-1)(0-4)}
8=4a\mathsf{8=4a}
a=2\mathsf{a=2}
f(x)=2(x−1)(x−4)\mathsf{f(x)=2(x-1)(x-4)}
f(0)=2⋅(−1)⋅(−4)=8\mathsf{f(0)=2\cdot(-1)\cdot(-4)=8}

Ergebnis

Zusätzlich gilt f(1)=f(4)=0\mathsf{f(1)=f(4)=0}.

Erklärung 04

Zwischen den Formen wechseln

Durch Ausmultiplizieren erhältst du die Normalform. Die Symmetrieachse liegt bei h=(r1+r2)/2\mathsf{h=(r_1+r_2)/2}. Der Scheitelwert folgt durch Einsetzen von h.

Das gilt auch für eine Doppelnullstelle: Dann ist h = r und der Scheitelwert 0.

Parabel mit zwei Nullstellen und dem Scheitel auf ihrer Mittelachse.

So geht es am Beispiel

Wandle f(x)=2(x−1)(x−4)\mathsf{f(x)=2(x-1)(x-4)} in Normal- und Scheitelpunktform um.

(x−1)(x−4)=x2−5x+4\mathsf{(x-1)(x-4)=x^2-5x+4}
f(x)=2x2−10x+8\mathsf{f(x)=2x^2-10x+8}
h=(1+4)/2=5/2\mathsf{h=(1+4)/2=5/2}
k=f(5/2)=2⋅(3/2)⋅(−3/2)=−9/2\mathsf{k=f(5/2)=2\cdot(3/2)\cdot(-3/2)=-9/2}
f(x)=2(x−5/2)2−9/2\mathsf{f(x)=2(x-5/2)^2-9/2}

Ergebnis

Scheitel S(5/2∣−9/2)\mathsf{S(5/2\mid-9/2)}; die drei Formen beschreiben dieselbe Parabel.

Erklärung 05

Aus einer Normalform faktorisieren

Berechne zuerst die reellen Nullstellen und übernimm den ursprünglichen Leitkoeffizienten a. Ohne diesen Faktor entsteht meist eine andere Funktion.

Prüfe die Zerlegung durch Ausmultiplizieren. Eine Kontrolle der Nullstellen allein bestätigt den Faktor a nicht.

So geht es am Beispiel

Faktorisiere f(x)=3x2−12x+9\mathsf{f(x)=3x^2-12x+9}.

f(x)=3(x2−4x+3)\mathsf{f(x)=3(x^2-4x+3)}
x2−4x+3=(x−1)(x−3)\mathsf{x^2-4x+3=(x-1)(x-3)}
f(x)=3(x−1)(x−3)\mathsf{f(x)=3(x-1)(x-3)}

Ergebnis

Die Nullstellen sind 1 und 3, der Leitkoeffizient bleibt 3.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Nullstellenform · EinstiegLies die Nullstellen und a aus f(x)=−2(x+1)(x−5)\mathsf{f(x)=-2(x+1)(x-5)} ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x+1=0⇒x=−1\mathsf{x+1=0\Rightarrow x=-1}
      x−5=0⇒x=5\mathsf{x-5=0\Rightarrow x=5}

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisNullstellen −1 und 5; a = −2, Öffnung nach unten.
  2. Aufgabe 2Nullstellenform · EinstiegStelle die Nullstellenform zu r₁ = −3, r₂ = 2 und a = 1 auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x−r1=x+3\mathsf{x-r_1=x+3}
      x−r2=x−2\mathsf{x-r_2=x-2}

    Ergebnis

    1. Umformung und Ergebnisf(x)=(x+3)(x−2)\mathsf{f(x)=(x+3)(x-2)}.
  3. Aufgabe 3Nullstellenform · StandardMultipliziere f(x)=2(x+1)(x−3)\mathsf{f(x)=2(x+1)(x-3)} aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (x+1)(x−3)=x2−2x−3\mathsf{(x+1)(x-3)=x^2-2x-3}
      f(x)=2x2−4x−6\mathsf{f(x)=2x^2-4x-6}

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisNormalform 2x2−4x−6\mathsf{2x^2-4x-6}.
  4. Aufgabe 4Nullstellenform · StandardEine Parabel hat Nullstellen 0 und 4 und enthält P(2∣−8)\mathsf{P(2\mid-8)}. Bestimme a.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=ax(x−4)\mathsf{f(x)=ax(x-4)}
      −8=a⋅2⋅(−2)\mathsf{-8=a\cdot2\cdot(-2)}
      a=2\mathsf{a=2}

    Ergebnis

    1. Umformung und Ergebnisf(x)=2x(x−4)\mathsf{f(x)=2x(x-4)}.
  5. Aufgabe 5Nullstellenform · StandardEine Parabel hat die doppelte Nullstelle 3 und a = −1. Gib ihren Term und Scheitel an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=−(x−3)2\mathsf{f(x)=-(x-3)^2}
      f(3)=0\mathsf{f(3)=0}

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisS(3∣0)\mathsf{S(3\mid0)}; Berührung der x-Achse, Öffnung nach unten.
  6. Aufgabe 6Nullstellenform · StandardKann f(x)=2x2+8\mathsf{f(x)=2x^2+8} in zwei reelle Linearfaktoren zerlegt werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      2x2+8=0⇒x2=−4\mathsf{2x^2+8=0\Rightarrow x^2=-4}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Es gibt keine reellen Lösungen.

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisNein, keine reelle Nullstellenform der behandelten Art.
  7. Aufgabe 7Nullstellenform · StandardFaktorisiere f(x)=x2−7x+12\mathsf{f(x)=x^2-7x+12} und führe die Probe durch Ausmultiplizieren aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=(x−3)(x−4)\mathsf{f(x)=(x-3)(x-4)}
      (x−3)(x−4)=x2−7x+12\mathsf{(x-3)(x-4)=x^2-7x+12}

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisNullstellen 3 und 4.
  8. Aufgabe 8Nullstellenform · VertiefungBestimme den Scheitel von f(x)=(x+2)(x−4)\mathsf{f(x)=(x+2)(x-4)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=(−2+4)/2=1\mathsf{h=(-2+4)/2=1}
      k=f(1)=3⋅(−3)=−9\mathsf{k=f(1)=3\cdot(-3)=-9}

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisS(1∣−9)\mathsf{S(1\mid-9)}; Scheitelform (x−1)2−9\mathsf{(x-1)^2-9}.
  9. Aufgabe 9Nullstellenform · VertiefungDie Nullstellen 1 und 3 sowie der Punkt (1∣0)\mathsf{(1\mid0)} sind bekannt. Ist a dadurch festgelegt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Punkt bestätigt nur die Nullstelle 1.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      0=a⋅0⋅(−2)\mathsf{0=a\cdot0\cdot(-2)} gilt für jedes a.

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisNein. Jeder Faktor a≠0\mathsf{a\ne0} passt zu diesen Angaben.
  10. Aufgabe 10Nullstellenform · VertiefungFür f(x)=2x2−8x+6\mathsf{f(x)=2x^2-8x+6} wurde (x−1)(x−3)\mathsf{(x-1)(x-3)} angegeben. Korrigiere und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (x−1)(x−3)=x2−4x+3\mathsf{(x-1)(x-3)=x^2-4x+3}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der ursprüngliche Leitkoeffizient ist 2.

    Ergebnis

    1. Umformung und ErgebnisRichtig: 2(x−1)(x−3)\mathsf{2(x-1)(x-3)}; ohne Faktor 2 stimmen nur die Nullstellen, nicht die Funktion.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese die zur Darstellungsform passenden Eigenschaften ab.
  • Ich führe Formwechsel mit vollständigem Faktor a aus.
  • Ich unterscheide zwei, doppelte und fehlende reelle Nullstellen.

AT Academy · Version 2026-10-21

Nullstellenform | AT Academy