Geraden zeichnen · Erklären & üben

Nullstelle einer linearen Funktion

An der Nullstelle hat die Gerade den Funktionswert 0. Du setzt deshalb y gleich 0 und löst die lineare Gleichung nach x – mit einem gesonderten Blick auf konstante Funktionen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Formel aus einer Gleichung gewinnen

Für $\mathsf{f(x)=mx+b}$ mit $\mathsf{m\ne0}$ gilt:

\mathsf{mx+b=0}

\mathsf{mx=-b}

\mathsf{x_0=-\frac bm}

Der Wert $\mathsf{x_0}$ ist die Nullstelle. Der zugehörige Punkt ist $\mathsf{(x_0\mid0)}$ . Setze $\mathsf{x_0}$ zur Probe in die ursprüngliche Funktion ein.

Gerade mit getrennt markiertem Achsenabschnitt und Nullstelle.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=2x-6}$ .

\mathsf{2x-6=0}

\mathsf{2x=6}

\mathsf{x=3}

\mathsf{f(3)=6-6=0}

Erklärung 02

Negative Werte und Brüche richtig behandeln

Der Ausdruck −b enthält das entgegengesetzte Vorzeichen von b. Ist b schon negativ, wird −b positiv.

Eine Nullstelle muss keine ganze Zahl und auch nicht positiv sein. Bruchwerte kannst du exakt stehen lassen.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=-\frac32x-2}$ .

\mathsf{-\frac32x-2=0}

\mathsf{-\frac32x=2}

\mathsf{x=2\cdot(-\frac23)=-\frac43}

\mathsf{f(-4/3)=2-2=0}

Erklärung 03

Konstante Funktionen: m = 0

Bei m = 0 darfst du nicht durch m teilen. Die Funktion hat den konstanten Wert b.

Für $\mathsf{b\ne0}$ ist der Graph eine waagerechte Gerade oberhalb oder unterhalb der x-Achse. Es gibt keine Nullstelle.

Für $\mathsf{b=0}$ liegt der Graph auf der x-Achse. Jede Eingabe aus D ist eine Nullstelle. Bei $\mathsf{D=\mathbb R}$ sind das unendlich viele; bei endlichem D nur dessen Elemente.

Fallübersicht für genau eine, keine oder alle erlaubten Nullstellen.

Erklärung 04

Definitionsbereich und Sachbedeutung

Ein rechnerisch gefundener Wert zählt nur dann als Nullstelle der gegebenen Funktion, wenn er in D liegt. Ein Modell kann einen eingeschränkten Zeitraum oder nur ganze Eingaben erlauben.

Im Sachkontext bedeutet der Funktionswert 0 zum Beispiel „Tank leer“ oder „Gewinnschwelle“. Ein negatives Ergebnis kann außerhalb des sinnvoll betrachteten Bereichs liegen.

So geht es am Beispiel

Ein Tank enthält $\mathsf{V(t)=24-3t}$ Liter für $\mathsf{0\le t\le8}$ Minuten. Wann ist er leer?

\mathsf{24-3t=0}

\mathsf{-3t=-24}

\mathsf{t=8}

\mathsf{V(8)=24-24=0}

\mathsf{8\in[0,8]}

Erklärung 05

Sonderfälle vor der Formel erkennen

Bei $\mathsf{b=0}$ und $\mathsf{m\ne0}$ liegt die einzige Nullstelle bei 0. Bei m = b = 0 gilt dagegen jeder erlaubte Wert.

Für Modelle mit Parametern prüfst du zuerst, ob der Parameter m zu 0 werden kann. Erst danach verwendest du die Bruchformel.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{f_a(x)=ax-4}$ auf $\mathsf{\mathbb R}$ .

Für $\mathsf{a=0}$ : $\mathsf{f_0(x)=-4}$ . Keine Nullstelle.

Für $\mathsf{a\ne0}$ : $\mathsf{ax-4=0}$ .

\mathsf{x=4/a}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Nullstelle einer linearen Funktion · EinstiegBestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=4x-12}$ mit Probe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4x=12}$
  $\mathsf{x=3}$
  $\mathsf{f(3)=12-12=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungNullstelle 3; Punkt $\mathsf{(3\mid0)}$ .
02
Aufgabe 2Nullstelle einer linearen Funktion · EinstiegBestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=-2x+10}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x=-10}$
  $\mathsf{x=5}$
  $\mathsf{f(5)=-10+10=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungNullstelle 5.
03
Aufgabe 3Nullstelle einer linearen Funktion · StandardBestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=3x+7}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x=-7}$
  $\mathsf{x=-7/3}$
  $\mathsf{f(-7/3)=-7+7=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungNullstelle $\mathsf{-7/3}$ .
04
Aufgabe 4Nullstelle einer linearen Funktion · StandardBestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=\frac14x-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x/4=2}$
  $\mathsf{x=8}$
  $\mathsf{f(8)=2-2=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungNullstelle 8.
05
Aufgabe 5Nullstelle einer linearen Funktion · StandardWie viele Nullstellen besitzen $\mathsf{f(x)=6}$ und $\mathsf{g(x)=0}$ jeweils auf $\mathsf{\mathbb R}$ ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei beiden ist m = 0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  6 ist niemals 0.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  g ist für jede Eingabe 0.
Ergebnis
1. Rechnung und Darstellungf besitzt keine, g unendlich viele Nullstellen.
06
Aufgabe 6Nullstelle einer linearen Funktion · StandardBestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=-5x}$ und vergleiche sie mit der Nullfunktion.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-5x=0}$
  $\mathsf{x=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungGenau eine Nullstelle 0. Die Nullfunktion hätte dagegen jede erlaubte Eingabe als Nullstelle.
07
Aufgabe 7Nullstelle einer linearen Funktion · StandardUntersuche $\mathsf{f(x)=x+3}$ mit $\mathsf{D=[0,\infty)}$ auf Nullstellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+3=0\Rightarrow x=-3}$
  $\mathsf{-3\notin D}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungKeine Nullstelle im vorgegebenen Definitionsbereich.
08
Aufgabe 8Nullstelle einer linearen Funktion · VertiefungEin Akku-Modell lautet $\mathsf{Q(t)=90-15t}$ Prozent für $\mathsf{0\le t\le6}$ Stunden. Wann ist Q gleich 0?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{90-15t=0}$
  $\mathsf{15t=90}$
  $\mathsf{t=6}$
  $\mathsf{Q(6)=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungNach 6 Stunden; der Wert liegt im Modellbereich.
09
Aufgabe 9Nullstelle einer linearen Funktion · VertiefungDer Gewinn beträgt $\mathsf{G(q)=5q-40}$ Euro bei q verkauften Artikeln. Welche ganzzahlige Menge liefert Gewinn 0?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5q-40=0}$
  $\mathsf{q=8}$
  $\mathsf{G(8)=40-40=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungBei 8 Artikeln liegt die Gewinnschwelle.
10
Aufgabe 10Nullstelle einer linearen Funktion · VertiefungUntersuche $\mathsf{f_a(x)=ax+2}$ auf $\mathsf{\mathbb R}$ für a = 0 und a ≠ 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für a = 0 ist der Wert immer 2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für $\mathsf{a\ne0}$ gilt $\mathsf{ax=-2}$ .
  $\mathsf{x=-2/a}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungKeine Nullstelle für a = 0; genau eine bei $\mathsf{-2/a}$ für a ≠ 0.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich zeichne Geraden aus Achsenabschnitt und Steigungsdreieck.
Ich berechne lineare Nullstellen und führe eine Probe aus.
Ich beachte Skalierung, Modellbereich und konstante Sonderfälle.

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