Geraden zeichnen · Erklären & üben

y = mx + b

Mit Steigung m und Achsenabschnitt b kannst du eine Gerade gezielt zeichnen. Umgekehrt liefern geeignete Punkte oder Angaben eine Gleichung derselben Form.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Startpunkt und Änderung trennen

In $\mathsf{y=mx+b}$ legt b den Punkt $\mathsf{(0\mid b)}$ fest. Die Steigung m sagt, wie sich y pro x-Einheit ändert. Es gilt $\mathsf{m=\Delta y/\Delta x}$ mit $\mathsf{\Delta x\ne0}$ .

Für $\mathsf{m=2/3}$ gehst du beispielsweise 3 Einheiten nach rechts und 2 nach oben. Für $\mathsf{m=-2/3}$ gehst du bei gleichem waagerechtem Schritt 2 nach unten.

Gerade mit positivem gebrochenem Anstieg und markiertem Steigungsdreieck.

So geht es am Beispiel

Zeichne $\mathsf{f(x)=\frac23x-1}$ mit einem Steigungsdreieck.

\mathsf{b=-1\Rightarrow A(0\mid-1)}

\mathsf{m=2/3\Rightarrow\Delta x=3,\quad\Delta y=2}

\mathsf{B(3\mid1)}

\mathsf{f(3)=2-1=1}

Erklärung 02

Wertetabelle und Skalierung

Einen zweiten Weg bietet eine Wertetabelle. Wähle x-Werte, berechne y und trage die Punkte ein. Bei einer Geraden liegen alle so berechneten Punkte auf einer Linie.

Zähle im Steigungsdreieck Einheiten, nicht unbeschriftete Kästchen. Sind ein waagerechtes Kästchen 2 x-Einheiten und ein senkrechtes 5 y-Einheiten, dann haben die Kästchen verschiedene Zahlenbedeutungen.

Fallende Gerade mit Tabellenpunkten und negativem Steigungsdreieck.

So geht es am Beispiel

Erstelle zu $\mathsf{g(x)=-2x+4}$ eine Tabelle für x = −1, 0, 1, 2.

\mathsf{g(-1)=2+4=6}

\mathsf{g(0)=4}

\mathsf{g(1)=2}

\mathsf{g(2)=0}

Erklärung 03

Aus zwei Punkten die Gleichung gewinnen

Für zwei Punkte mit verschiedenen x-Koordinaten berechnest du zuerst die Steigung. Setze anschließend einen Punkt in $\mathsf{y=mx+b}$ ein und löse nach b.

Verwende in Zähler und Nenner dieselbe Reihenfolge der Punkte. Prüfe den zweiten Punkt im fertigen Term.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Gerade durch $\mathsf{A(1\mid3)}$ und $\mathsf{B(4\mid9)}$ .

\mathsf{m=\frac{9-3}{4-1}=2}

\mathsf{3=2\cdot1+b}

\mathsf{b=1}

\mathsf{f(x)=2x+1}

\mathsf{f(4)=8+1=9}

Erklärung 04

Ein Punkt und eine Zusatzangabe

Ein Punkt allein bestimmt keine eindeutige Gerade. Ist zusätzlich m bekannt, liefert $\mathsf{b=y_P-mx_P}$ den fehlenden Achsenabschnitt.

Ist b bekannt und $\mathsf{x_P\ne0}$ , folgt $\mathsf{m=(y_P-b)/x_P}$ . Bei $\mathsf{x_P=0}$ prüfst du zuerst $\mathsf{y_P=b}$ : Dann liefert der Punkt keine neue Steigungsinformation; andernfalls passen die Angaben nicht zusammen.

So geht es am Beispiel

Eine Gerade hat Steigung −3 und enthält $\mathsf{P(2\mid1)}$ .

\mathsf{1=-3\cdot2+b}

\mathsf{1=-6+b}

\mathsf{b=7}

\mathsf{f(x)=-3x+7}

Erklärung 05

Graphen lesen und im Kontext zeichnen

Lies b an der y-Achse ab und wähle für m zwei gut erkennbare Graphenpunkte. Ablesewerte können Näherungen sein.

Ein Sachmodell hat beschriftete Größen und einen Bereich. Für Kosten $\mathsf{K(t)=4t+6}$ bedeutet m 4 Euro pro Stunde und b 6 Euro. Bei $\mathsf{0\le t\le5}$ zeichnest du nur das entsprechende Geradenstück.

Eine senkrechte Gerade besitzt keine Darstellung $\mathsf{y=mx+b}$ . Zwei unterschiedliche Punkte mit gleicher x-Koordinate führen genau zu diesem Sonderfall.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1y = mx + b · EinstiegZeichne $\mathsf{f(x)=2x+1}$ über Achsenabschnitt und Steigung. Nenne drei passende Punkte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Start: $\mathsf{(0\mid1)}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Je 1 nach rechts führt 2 nach oben.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Weitere Punkte: $\mathsf{(1\mid3)}$ und $\mathsf{(2\mid5)}$ .
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungGerade durch $\mathsf{(0\mid1),(1\mid3),(2\mid5)}$ .
02
Aufgabe 2y = mx + b · EinstiegZeichne $\mathsf{f(x)=-\frac12x+3}$ mit einem ganzzahligen Steigungsdreieck.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Start: $\mathsf{(0\mid3)}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta x=2}$ , $\mathsf{\Delta y=-1}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Zweiter Punkt: $\mathsf{(2\mid2)}$ .
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungFallende Gerade; bei x = 4 ist y = 1.
03
Aufgabe 3y = mx + b · StandardErstelle für $\mathsf{f(x)=3x-2}$ eine Tabelle zu x = −1, 0, 1, 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-1)=-5}$
  $\mathsf{f(0)=-2}$
  $\mathsf{f(1)=1}$
  $\mathsf{f(2)=4}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungWertefolge −5, −2, 1, 4.
04
Aufgabe 4y = mx + b · StandardBestimme die Gerade durch $\mathsf{A(0\mid-2)}$ und $\mathsf{B(3\mid4)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=-2}$
  $\mathsf{m=(4-(-2))/(3-0)=2}$
  $\mathsf{f(3)=6-2=4}$
Ergebnis
1. Rechnung und Darstellung $\mathsf{f(x)=2x-2}$ .
05
Aufgabe 5y = mx + b · StandardBestimme die Gerade mit m = 3 durch $\mathsf{P(2\mid11)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{11=3\cdot2+b}$
  $\mathsf{b=5}$
  $\mathsf{f(2)=6+5=11}$
Ergebnis
1. Rechnung und Darstellung $\mathsf{f(x)=3x+5}$ .
06
Aufgabe 6y = mx + b · StandardBestimme die Gerade mit b = 4 durch $\mathsf{P(2\mid0)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=2m+4}$
  $\mathsf{2m=-4}$
  $\mathsf{m=-2}$
Ergebnis
1. Rechnung und Darstellung $\mathsf{f(x)=-2x+4}$ .
07
Aufgabe 7y = mx + b · StandardEine Gerade enthält $\mathsf{P(0\mid3)}$ und hat b = 3. Ist m eindeutig festgelegt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Punkt bestätigt nur den bereits bekannten Achsenabschnitt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zum Beispiel passen $\mathsf{y=x+3}$ und $\mathsf{y=2x+3}$ .
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungNein, es gibt beliebig viele mögliche Steigungen.
08
Aufgabe 8y = mx + b · VertiefungEin Zeichner geht 1 Kästchen nach rechts und 1 nach oben. Ein Kästchen bedeutet waagerecht 2 Einheiten, senkrecht 5 Einheiten. Welche Steigung hat sein Dreieck?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta x=2}$
  $\mathsf{\Delta y=5}$
  $\mathsf{m=5/2=2{,}5}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungDie Steigung ist 2,5, nicht 1.
09
Aufgabe 9y = mx + b · VertiefungEin Modell lautet $\mathsf{K(t)=4t+6}$ Euro für $\mathsf{0\le t\le5}$ Stunden. Nenne die Endpunkte des Graphenstücks und die Bedeutung von m und b.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{K(0)=6}$
  $\mathsf{K(5)=26}$
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungEndpunkte $\mathsf{(0\mid6)}$ und $\mathsf{(5\mid26)}$ ; 4 Euro pro Stunde und 6 Euro Grundbetrag.
10
Aufgabe 10y = mx + b · VertiefungKann eine Gerade durch $\mathsf{A(2\mid1)}$ und $\mathsf{B(2\mid5)}$ die Form $\mathsf{y=mx+b}$ besitzen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die x-Differenz ist 0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zur Eingabe 2 gehören zwei verschiedene y-Werte.
Ergebnis
1. Rechnung und DarstellungNein. Es ist die senkrechte Gerade x = 2, kein Graph einer Funktion y von x.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich zeichne Geraden aus Achsenabschnitt und Steigungsdreieck.
Ich berechne lineare Nullstellen und führe eine Probe aus.
Ich beachte Skalierung, Modellbereich und konstante Sonderfälle.

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