Nullstellen · Erklären & üben

Nullstellen berechnen

Eine Nullstelle ist eine erlaubte Eingabe, für die der Funktionswert 0 ist. Der zugehörige Graphenpunkt liegt auf der x-Achse. Die Form des Terms entscheidet, wie du die Gleichung f(x)=0 löst.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Nullstelle und Punkt unterscheiden

Gesucht sind alle $\mathsf{x\in D_f}$ mit $\mathsf{f(x)=0}$ . Eine Nullstelle ist der x-Wert, zum Beispiel 3; der Punkt auf der x-Achse lautet $\mathsf{(3\mid0)}$ .

Notiere zuerst den Definitionsbereich. Löse dann die Gleichung und prüfe die gefundenen Werte im ursprünglichen Funktionsterm.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=3x-12}$ .

\mathsf{D_f=\mathbb R}

\mathsf{3x-12=0}

\mathsf{3x=12}

\mathsf{x=4}

\mathsf{f(4)=12-12=0}

Erklärung 02

Quadratische Gleichungen passend lösen

Bei einer faktorisierten Form gilt der Nullproduktsatz: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.

Für $\mathsf{ax^2+bx+c=0}$ mit $\mathsf{a\ne0}$ liefert die quadratische Lösungsformel:

\mathsf{x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}

Die Diskriminante $\mathsf{b^2-4ac}$ bestimmt die Zahl reeller Lösungen: positiv bedeutet zwei, 0 eine doppelte, negativ keine.

Für die normierte Form $\mathsf{x^2+px+q=0}$ lautet die gleichwertige pq-Formel $\mathsf{x=-p/2\pm\sqrt{(p/2)^2-q}}$ . Vor ihrer Anwendung muss der Koeffizient von $\mathsf{x^2}$ gleich 1 sein.

Parabel mit zwei markierten Nullstellen.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2x^2-3x-2=0}$ mit der quadratischen Lösungsformel.

\mathsf{a=2,\quad b=-3,\quad c=-2}

\mathsf{b^2-4ac=9+16=25}

\mathsf{x_{1,2}=\frac{3\pm5}{4}}

\mathsf{x_1=2,\quad x_2=-1/2}

\mathsf{f(2)=8-6-2=0}

\mathsf{f(-1/2)=1/2+3/2-2=0}

Erklärung 03

Produkte und höhere Potenzen

Bei $\mathsf{(x-1)(x+3)=0}$ erhältst du unmittelbar $\mathsf{x=1}$ oder $\mathsf{x=-3}$ . Eine Entwicklung des Produkts ist nicht nötig.

Hat jeder Summand einen Faktor x, klammere ihn aus. Teile nicht voreilig durch x, sonst kann die Nullstelle 0 verloren gehen. Höhere Polynome werden im folgenden Thema genauer behandelt.

Erklärung 04

Exponentialfunktionen und andere Terme

Da $\mathsf{e^x>0}$ für alle reellen x gilt, besitzt $\mathsf{e^x}$ keine Nullstelle. Eine verschobene Funktion wie $\mathsf{e^x-4}$ kann dagegen eine Nullstelle haben.

Bei einem Bruch sind Nullstellen des Zählers nur dann zulässig, wenn der Nenner dort ungleich 0 ist. Bei Wurzeln oder Logarithmen musst du ebenfalls den Definitionsbereich beachten.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=2e^x-6}$ .

\mathsf{2e^x-6=0}

\mathsf{2e^x=6}

\mathsf{e^x=3}

\mathsf{x=\operatorname{\textsf{ln}}3}

\mathsf{f(\operatorname{\textsf{ln}}3)=2\cdot3-6=0}

Erklärung 05

Lösungen prüfen und vollständig angeben

Eine Gleichung kann keine, eine oder mehrere Nullstellen liefern. Gib die vollständige reelle Lösungsmenge an. Die identisch null gesetzte Funktion besitzt dagegen jede erlaubte Eingabe als Nullstelle.

Bei gerundeten Ergebnissen ist ein kleiner Restwert zu erwarten. Kennzeichne die Werte als Näherungen.

Entscheidungshilfe zur Auswahl einer Nullstellenmethode.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}}$ auf Nullstellen.

\mathsf{D_f=\mathbb R\setminus\{1\}}

\mathsf{x^2-1=0}

\mathsf{x=1\quad\textsf{oder}\quad x=-1}

1 ist ausgeschlossen.

\mathsf{f(-1)=0/(-2)=0}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Nullstellen berechnen · EinstiegBestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=5x+15}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5x+15=0}$
  $\mathsf{5x=-15}$
  $\mathsf{x=-3}$
  $\mathsf{f(-3)=-15+15=0}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeNullstelle −3; Punkt $\mathsf{(-3\mid0)}$ .
02
Aufgabe 2Nullstellen berechnen · EinstiegBestimme die Nullstellen von $\mathsf{f(x)=(x-4)(x+2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-4=0\quad\textsf{oder}\quad x+2=0}$
  $\mathsf{x=4\quad\textsf{oder}\quad x=-2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  An jeder Stelle wird ein Faktor 0.
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeNullstellen −2 und 4.
03
Aufgabe 3Nullstellen berechnen · StandardLöse $\mathsf{x^2-5x+6=0}$ mit der pq-Formel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=-5,\quad q=6}$
  $\mathsf{x=5/2\pm\sqrt{25/4-6}}$
  $\mathsf{x=5/2\pm1/2}$
  $\mathsf{x=2\quad\textsf{oder}\quad x=3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4-10+6=0}$ , $\mathsf{9-15+6=0}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeNullstellen 2 und 3.
04
Aufgabe 4Nullstellen berechnen · StandardBestimme die Nullstellen von $\mathsf{f(x)=x^2+4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+4=0}$
  $\mathsf{x^2=-4}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Ein reelles Quadrat ist nicht negativ.
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeKeine reellen Nullstellen.
05
Aufgabe 5Nullstellen berechnen · StandardBestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=x^2-6x+9}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=(x-3)^2}$
  $\mathsf{(x-3)^2=0}$
  $\mathsf{x=3}$
  $\mathsf{f(3)=9-18+9=0}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und Probe3 ist eine doppelte Nullstelle.
06
Aufgabe 6Nullstellen berechnen · StandardBestimme die Nullstellen von $\mathsf{f(x)=2x^2-8x}$ ohne Division durch x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x(x-4)=0}$
  $\mathsf{x=0\quad\textsf{oder}\quad x=4}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=0}$ , $\mathsf{f(4)=32-32=0}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeNullstellen 0 und 4.
07
Aufgabe 7Nullstellen berechnen · StandardBestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=e^{2x}-5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{e^{2x}=5}$
  $\mathsf{2x=\operatorname{\textsf{ln}}5}$
  $\mathsf{x=\frac12\operatorname{\textsf{ln}}5}$
  $\mathsf{e^{\operatorname{\textsf{ln}}5}-5=0}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeNullstelle $\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}5/2}$ .
08
Aufgabe 8Nullstellen berechnen · VertiefungBestimme die Nullstellen von $\mathsf{f(x)=\frac{x-2}{x^2-4}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D_f=\mathbb R\setminus\{-2,2\}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Zähler wird nur bei 2 null.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  2 liegt nicht im Definitionsbereich.
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeKeine Nullstelle.
09
Aufgabe 9Nullstellen berechnen · VertiefungBestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=\sqrt{x+1}-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D_f=[-1,\infty)}$
  $\mathsf{\sqrt{x+1}=2}$
  $\mathsf{x+1=4}$
  $\mathsf{x=3}$
  $\mathsf{f(3)=2-2=0}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeNullstelle 3.
10
Aufgabe 10Nullstellen berechnen · VertiefungVergleiche die Nullstellen der konstanten Funktionen $\mathsf{f(x)=0}$ und $\mathsf{g(x)=7}$ auf $\mathsf{\mathbb R}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=0}$ für jede reelle Eingabe.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(x)=7\ne0}$ für jede reelle Eingabe.
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und Probef: alle reellen Zahlen. g: keine Nullstelle.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle ein passendes Verfahren zur Gleichung f(x) = 0.
Ich beachte Definitionsbereich und vollständige Rücksubstitution.
Ich prüfe alle Lösungen und unterscheide Vielfachheit und Anzahl.

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