Nullstellen · Erklären & üben

Nullstellen höherer Polynome

Bei Polynomen dritten und höheren Grades hilft eine passende Zerlegung. Klammere gemeinsame Faktoren aus, nutze besondere Potenzmuster oder senke den Grad mithilfe einer bekannten Nullstelle.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gemeinsame Faktoren zuerst suchen

Polynome haben den reellen Definitionsbereich $\mathsf{\mathbb R}$ . Beim Lösen von $\mathsf{f(x)=0}$ ist Ausklammern oft der kürzeste erste Schritt.

Ein Faktor $\mathsf{x^m}$ liefert die Nullstelle 0. Danach untersuchst du den verbleibenden Faktor getrennt. Teile nicht durch einen möglicherweise verschwindenden Faktor.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstellen von $\mathsf{f(x)=x^3-4x}$ .

\mathsf{x^3-4x=x(x^2-4)}

\mathsf{f(x)=x(x-2)(x+2)}

\mathsf{x=0\quad\textsf{oder}\quad x=2\quad\textsf{oder}\quad x=-2}

\mathsf{f(0)=0}

\mathsf{f(2)=8-8=0}

\mathsf{f(-2)=-8+8=0}

Erklärung 02

Biquadratisch: erst z, dann zurück zu x

Enthält der Term nur $\mathsf{x^4}$ , $\mathsf{x^2}$ und eine Konstante, setze $\mathsf{z=x^2}$ . Daraus entsteht eine quadratische Gleichung in z.

Für reelle x gilt zwingend $\mathsf{z\ge0}$ . Nach dem Lösen ist die Rücksubstitution nötig: Aus $\mathsf{z>0}$ folgen $\mathsf{x=\pm\sqrt z}$ , aus $\mathsf{z=0}$ folgt x = 0; negative z liefern keine reellen x.

Fallübersicht für die Rücksubstitution von z=x².

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{x^4-5x^2+4=0}$ .

\mathsf{z=x^2}

\mathsf{z^2-5z+4=0}

\mathsf{(z-1)(z-4)=0}

\mathsf{z=1\quad\textsf{oder}\quad z=4}

\mathsf{x^2=1\Rightarrow x=\pm1}

\mathsf{x^2=4\Rightarrow x=\pm2}

\mathsf{1-5+4=0}

\mathsf{16-20+4=0}

Erklärung 03

Bekannte Nullstelle: Polynomdivision

Ist r eine bestätigte Nullstelle eines Polynoms, ist $\mathsf{x-r}$ ein Faktor. Eine Division durch $\mathsf{x-r}$ senkt den Grad um 1. Im Ergebnis muss der Rest 0 sein.

So geht es am Beispiel

Für $\mathsf{f(x)=x^3-2x^2-x+2}$ ist r = 1 vorgegeben. Bestimme alle Nullstellen.

\mathsf{f(1)=1-2-1+2=0}

Erster Quotiententerm: $\mathsf{x^3/x=x^2}$ .

\mathsf{(x^3-2x^2)-(x^3-x^2)=-x^2}

Mit dem nächsten Term: $\mathsf{-x^2-x}$ .

Zweiter Quotiententerm: $\mathsf{-x^2/x=-x}$ .

\mathsf{(-x^2-x)-(-x^2+x)=-2x}

Mit der Konstante: $\mathsf{-2x+2}$ .

Letzter Quotiententerm: $\mathsf{-2x/x=-2}$ .

\mathsf{(-2x+2)-(-2x+2)=0}

\mathsf{f(x)=(x-1)(x^2-x-2)}

\mathsf{f(x)=(x-1)(x-2)(x+1)}

Erklärung 04

Vielfachheit am Graphen

In einer Zerlegung $\mathsf{f(x)=(x-r)^m q(x)}$ mit $\mathsf{q(r)\ne0}$ heißt m die Vielfachheit der Nullstelle r.

Bei geradem m wechselt der Graph dort das Vorzeichen nicht; er berührt die x-Achse. Bei ungeradem m wechselt das Vorzeichen; der Graph kreuzt die Achse. Bei m = 3 kann die Kreuzung eine waagerechte Tangente besitzen.

Die Zahl verschiedener reeller Nullstellen kann kleiner als der Grad sein. Nicht jeder verbleibende Faktor muss reelle Nullstellen besitzen.

Kubischer Graph mit einfacher Nullstelle −2 und doppelter Nullstelle 1.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{f(x)=(x+1)^2(x-2)^3}$ .

$\mathsf{x=-1}$ gehört zum Faktor $\mathsf{(x+1)^2}$ .

Die Vielfachheit ist 2: kein Vorzeichenwechsel.

$\mathsf{x=2}$ gehört zum Faktor $\mathsf{(x-2)^3}$ .

Die Vielfachheit ist 3: Vorzeichenwechsel.

Erklärung 05

Eine vollständige Lösung festhalten

Gib alle gefundenen reellen Nullstellen und gegebenenfalls ihre Vielfachheiten an. Eine Faktorenzerlegung liefert zugleich eine Probe durch Einsetzen.

Wenn keine der hier behandelten Strukturen vorliegt und keine Nullstelle bekannt ist, können numerische Verfahren nötig sein. Eine einfache allgemeine Faktorisierung wird nicht für jedes Polynom versprochen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Nullstellen höherer Polynome · EinstiegBestimme die Nullstellen von $\mathsf{f(x)=x^3-9x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=x(x^2-9)}$
  $\mathsf{f(x)=x(x-3)(x+3)}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und Probe−3, 0 und 3; jede ist einfach.
02
Aufgabe 2Nullstellen höherer Polynome · EinstiegBestimme die Nullstellen und Vielfachheiten von $\mathsf{f(x)=2x^4-8x^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=2x^2(x^2-4)}$
  $\mathsf{f(x)=2x^2(x-2)(x+2)}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und Probe0 doppelt; −2 und 2 einfach.
03
Aufgabe 3Nullstellen höherer Polynome · StandardLöse $\mathsf{x^4-10x^2+9=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=x^2}$
  $\mathsf{z^2-10z+9=(z-1)(z-9)=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=1}$ oder $\mathsf{z=9}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pm1}$ oder $\mathsf{x=\pm3}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeNullstellen −3, −1, 1, 3.
04
Aufgabe 4Nullstellen höherer Polynome · StandardLöse $\mathsf{x^4+x^2-2=0}$ über $\mathsf{z=x^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z^2+z-2=(z+2)(z-1)=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=-2}$ oder $\mathsf{z=1}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=-2}$ ist für reelle x unmöglich.
  $\mathsf{x^2=1\Rightarrow x=\pm1}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeNur −1 und 1 sind reelle Nullstellen.
05
Aufgabe 5Nullstellen höherer Polynome · StandardLöse $\mathsf{x^4+4x^2+4=0}$ über eine quadratische Ergänzung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x^2+2)^2=0}$
  $\mathsf{x^2=-2}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeKeine reellen Nullstellen.
06
Aufgabe 6Nullstellen höherer Polynome · StandardFür $\mathsf{f(x)=x^3-6x^2+11x-6}$ ist r = 1 bekannt. Teile durch x−1 und löse weiter.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(1)=1-6+11-6=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Erster Quotiententerm: $\mathsf{x^2}$ . Rest nach Abziehen: $\mathsf{-5x^2+11x-6}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Zweiter Quotiententerm: $\mathsf{-5x}$ . Rest: $\mathsf{6x-6}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Letzter Quotiententerm: 6. Rest: 0.
  $\mathsf{f(x)=(x-1)(x^2-5x+6)}$
  $\mathsf{f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeNullstellen 1, 2 und 3.
07
Aufgabe 7Nullstellen höherer Polynome · StandardBestimme Nullstellen, Vielfachheiten und Achsenverhalten von $\mathsf{f(x)=(x-1)^2(x+2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Faktor $\mathsf{x-1}$ hat Exponent 2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Faktor $\mathsf{x+2}$ hat Exponent 1.
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und Probe1 doppelt mit Berührung; −2 einfach mit Kreuzung.
08
Aufgabe 8Nullstellen höherer Polynome · VertiefungBestimme die reellen Nullstellen von $\mathsf{f(x)=x(x^2+1)(x-4)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der mittlere Faktor $\mathsf{x^2+1}$ ist immer positiv.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die anderen Faktoren verschwinden bei 0 und 4.
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und Probe0 und 4; beide einfach. Der Grad 4 bedeutet nicht vier reelle Nullstellen.
09
Aufgabe 9Nullstellen höherer Polynome · VertiefungEine Rechnung zu $\mathsf{x^3-4x=0}$ teilt durch x und findet nur ±2. Ergänze die fehlende Lösung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Vor der Division ist der Fall x = 0 zu prüfen.
  $\mathsf{0^3-4\cdot0=0}$
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeZusätzlich ist 0 eine Nullstelle.
10
Aufgabe 10Nullstellen höherer Polynome · VertiefungFür $\mathsf{f(x)=(x+3)^4(x-1)^3}$ : Nenne Grad, verschiedene Nullstellen und jeweiliges Achsenverhalten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Grad ist $\mathsf{4+3=7}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  −3 hat Vielfachheit 4.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  1 hat Vielfachheit 3.
Ergebnis
1. Rechenweg, Ergebnis und ProbeGrad 7; Berührung bei −3 und Kreuzung bei 1. Es gibt zwei verschiedene Nullstellen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle ein passendes Verfahren zur Gleichung f(x) = 0.
Ich beachte Definitionsbereich und vollständige Rücksubstitution.
Ich prüfe alle Lösungen und unterscheide Vielfachheit und Anzahl.

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