Quadratische Funktionen · Erklären & üben

Nullstellen quadratischer Funktionen

Nullstellen sind die Eingaben, für die eine Funktion den Wert 0 annimmt. Bei einer quadratischen Funktion gibt es über den reellen Zahlen keine, eine oder zwei verschiedene Nullstellen. Der passende Rechenweg hängt von der Form des Terms ab.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Funktionswert 0 setzen

Für f(x) = ax²+bx+c mit a ≠ 0 suchst du Lösungen von ax²+bx+c = 0. Eine Nullstelle ist ein x-Wert; der zugehörige Punkt auf der x-Achse lautet (x | 0).

Zwei verschiedene Lösungen bedeuten zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Eine doppelte Nullstelle bedeutet einen Berührpunkt. Ohne reelle Lösung schneidet der Graph die x-Achse nicht.

Parabel x-Quadrat minus 1 mit zwei Schnittpunkten an der x-Achse: minus 1 und 1.

Erklärung 02

Einfache Formen zuerst nutzen

Fehlt das konstante Glied, kannst du x ausklammern. Ist der Term schon ein Produkt, hilft der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.

Fehlt der lineare Term, stelle nach x² um und ziehe die Wurzel. Bei einem positiven rechten Wert gehören beide Vorzeichen dazu.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstellen von f(x) = x²−5x.

\mathsf{x^2-5x=0}

\mathsf{x(x-5)=0}

\mathsf{x=0\quad ext{oder}\quad x-5=0}

\mathsf{x_1=0,\quad x_2=5}

\mathsf{f(0)=0}

\mathsf{f(5)=25-25=0}

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstellen von g(x) = 2x²−18.

\mathsf{2x^2-18=0}

\mathsf{2x^2=18}

\mathsf{x^2=9}

\mathsf{x=\pm3}

\mathsf{g(3)=18-18=0}

\mathsf{g(-3)=18-18=0}

Erklärung 03

Faktorisieren mit passenden Zahlen

Bei einem normierten Term x²+px+q kannst du nach zwei Zahlen suchen, deren Summe p und deren Produkt q ist. Dann entsteht eine Produktform (x+r)(x+s). Falls keine einfachen Zahlen passen, wechsle zu einer allgemeinen Methode.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstellen von f(x) = x²−x−6.

Gesucht sind zwei Zahlen mit Summe −1 und Produkt −6: −3 und 2.

\mathsf{x^2-x-6=(x-3)(x+2)}

\mathsf{(x-3)(x+2)=0}

\mathsf{x_1=3,\quad x_2=-2}

\mathsf{f(3)=9-3-6=0}

\mathsf{f(-2)=4+2-6=0}

Erklärung 04

Die allgemeine Lösungsformel

Für ax²+bx+c = 0 mit a ≠ 0 gilt $\mathsf{x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$ . Die Diskriminante Δ = b²−4ac zeigt die Anzahl der reellen Lösungen: Δ > 0 ergibt zwei, Δ = 0 eine doppelte und Δ < 0 keine.

Setze negative Koeffizienten in Klammern ein. Der gesamte Zähler wird durch 2a geteilt. Runde erst, wenn eine Näherung verlangt ist.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstellen von f(x) = 2x²+x−3.

\mathsf{a=2,\quad b=1,\quad c=-3}

\mathsf{\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-3)}

\mathsf{\Delta=25}

\mathsf{x_{1,2}=\frac{-1\pm5}{4}}

\mathsf{x_1=1}

\mathsf{x_2=-\frac32}

\mathsf{f(1)=2+1-3=0}

\mathsf{f(-\frac32)=\frac92-\frac32-3=0}

Erklärung 05

Doppelte Nullstelle oder keine reelle Nullstelle

Bei f(x) = (x−2)² ist nur x = 2 eine Nullstelle. Der Graph berührt die Achse dort. Bei g(x) = (x−2)²+1 ist jeder Funktionswert mindestens 1; es gibt keine reelle Nullstelle.

Die Diskriminante und die Scheitelpunktform liefern dieselbe Aussage. Kontrolliere gefundene Lösungen durch Einsetzen in den ursprünglichen Term.

Vergleich: x-Quadrat berührt die Achse im Ursprung; x-Quadrat plus 1 bleibt über der Achse.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Nullstellen quadratischer Funktionen · EinstiegBestimme die Nullstellen von f(x) = x²−9 mit Probe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=9}$
  $\mathsf{x=\pm3}$
  $\mathsf{f(3)=9-9=0}$
  $\mathsf{f(-3)=9-9=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNullstellen −3 und 3.
02
Aufgabe 2Nullstellen quadratischer Funktionen · EinstiegBestimme die Nullstellen von f(x) = 3x²−12x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x(x-4)=0}$
  $\mathsf{x=0\quad ext{oder}\quad x=4}$
  $\mathsf{f(0)=0}$
  $\mathsf{f(4)=48-48=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNullstellen 0 und 4.
03
Aufgabe 3Nullstellen quadratischer Funktionen · StandardBestimme die Nullstellen von f(x) = x²+5x+6 durch Faktorisieren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+5x+6=(x+2)(x+3)}$
  $\mathsf{(x+2)(x+3)=0}$
  $\mathsf{x_1=-2,\quad x_2=-3}$
  $\mathsf{f(-2)=4-10+6=0}$
  $\mathsf{f(-3)=9-15+6=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNullstellen −2 und −3.
04
Aufgabe 4Nullstellen quadratischer Funktionen · StandardBestimme die Nullstellen von f(x) = 2x²−3x−2 mit der allgemeinen Formel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)}$
  $\mathsf{\Delta=25}$
  $\mathsf{x_{1,2}=\frac{3\pm5}{4}}$
  $\mathsf{x_1=2}$
  $\mathsf{x_2=-\frac12}$
  $\mathsf{f(2)=8-6-2=0}$
  $\mathsf{f(-\frac12)=\frac12+\frac32-2=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNullstellen 2 und −1/2.
05
Aufgabe 5Nullstellen quadratischer Funktionen · StandardWie viele reelle Nullstellen hat f(x) = x²−4x+4? Bestimme sie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=0}$
  $\mathsf{f(x)=(x-2)^2}$
  $\mathsf{x=2}$
  $\mathsf{f(2)=4-8+4=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisEine verschiedene Nullstelle 2, und zwar doppelt.
06
Aufgabe 6Nullstellen quadratischer Funktionen · StandardUntersuche f(x) = x²+2x+5 auf reelle Nullstellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta=2^2-4\cdot1\cdot5=-16}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine negative Diskriminante erlaubt keine reelle Quadratwurzel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=(x+1)^2+4}$ — stets positiv.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisKeine reellen Nullstellen.
07
Aufgabe 7Nullstellen quadratischer Funktionen · StandardEine Person löst x² = 16 nur mit x = 4. Ergänze und prüfe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pm\sqrt{16}}$
  $\mathsf{x_1=4,\quad x_2=-4}$
  $\mathsf{(-4)^2=16}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisAuch −4 ist eine Lösung. Beide Vorzeichen sind nötig.
08
Aufgabe 8Nullstellen quadratischer Funktionen · VertiefungBestimme die Nullstellen von f(x) = (x−1)²−2 exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x-1)^2=2}$
  $\mathsf{x-1=\pm\sqrt2}$
  $\mathsf{x=1\pm\sqrt2}$
  $\mathsf{f(1+\sqrt2)=2-2=0}$
  $\mathsf{f(1-\sqrt2)=2-2=0}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{x_1=1+\sqrt2,\quad x_2=1-\sqrt2}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich nutze zuerst eine einfache erkennbare Form.
Ich beachte beide Vorzeichen beim Wurzelziehen.
Ich unterscheide keine, eine doppelte und zwei reelle Nullstellen.
Ich prüfe die Ergebnisse am ursprünglichen Funktionsterm.

AT Academy · Version 2026-10-21