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Quadratische Funktionen · Erklären & üben

Quadratische Ergänzung

Bei der quadratischen Ergänzung formen wir einen quadratischen Term in ein vollständiges Quadrat mit Rest um. Dabei wird nichts am Wert verändert: Was ergänzt wird, muss gleichzeitig wieder ausgeglichen werden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die binomische Formel rückwärts nutzen

Aus (x+d)² = x²+2dx+d² folgt: x2+px=(x+p/2)2−(p/2)2\mathsf{x^2+px=(x+p/2)^2-(p/2)^2}. Du halbierst den Koeffizienten p des linearen Terms und quadrierst die Hälfte.

Das zusätzliche Quadrat wird addiert und subtrahiert. So bleibt der Term für jede Eingabe gleich.

So geht es am Beispiel

Ergänze x²+6x zu einem Quadrat.

6/2=3\mathsf{6/2=3} — linearen Koeffizienten halbieren.

32=9\mathsf{3^2=9} — Ergänzungszahl.

x2+6x=x2+6x+9−9\mathsf{x^2+6x=x^2+6x+9-9}
x2+6x=(x+3)2−9\mathsf{x^2+6x=(x+3)^2-9}

Ergebnis

x2+6x=(x+3)2−9\mathsf{x^2+6x=(x+3)^2-9}

Erklärung 02

Mit konstantem Rest zur Scheitelpunktform

Die konstante Zahl wird nach der Ergänzung mit dem abgezogenen Quadrat verrechnet. In a(x−h)²+k ist S(h | k) der Scheitelpunkt. Das Vorzeichen innerhalb der Klammer muss beim Ablesen umgedacht werden.

So geht es am Beispiel

Forme f(x) = x²−4x+7 um.

(−4)/2=−2\mathsf{(-4)/2=-2}
(−2)2=4\mathsf{(-2)^2=4}
f(x)=x2−4x+4−4+7\mathsf{f(x)=x^2-4x+4-4+7}
f(x)=(x−2)2+3\mathsf{f(x)=(x-2)^2+3}
S(2∣3)\mathsf{S(2\mid3)}

Ergebnis

f(x)=(x−2)2+3\mathsf{f(x)=(x-2)^2+3}

Erklärung 03

Leitkoeffizient ungleich 1

Bei ax²+bx+c klammerst du zuerst a aus den beiden x-Terms aus. Danach hat x² in der Klammer den Koeffizienten 1. Die Ergänzung erfolgt innerhalb der Klammer.

Der äußere Faktor multipliziert auch die innerhalb der Klammer abgezogene Ergänzungszahl. Diesen Faktor zu vergessen verändert den Term.

Vier beschriftete Schritte: 2 ausklammern, innerhalb um 4 ergänzen und ausgleichen, binomisches Quadrat bilden, den Ausgleich mit 2 multiplizieren.
Parabel der identischen Terme 2x-Quadrat plus 8x plus 1 und 2(x plus 2)-Quadrat minus 7; Scheitel minus 2, minus 7.

So geht es am Beispiel

Forme f(x) = 2x²+8x+1 in Scheitelpunktform um.

f(x)=2(x2+4x)+1\mathsf{f(x)=2(x^2+4x)+1} — 2 aus den x-Terms ausklammern.

4/2=2\mathsf{4/2=2} — Koeffizienten in der Klammer halbieren.

22=4\mathsf{2^2=4} — Ergänzungszahl.

f(x)=2(x2+4x+4−4)+1\mathsf{f(x)=2(x^2+4x+4-4)+1}
f(x)=2((x+2)2−4)+1\mathsf{f(x)=2((x+2)^2-4)+1}
f(x)=2(x+2)2−8+1\mathsf{f(x)=2(x+2)^2-8+1}
f(x)=2(x+2)2−7\mathsf{f(x)=2(x+2)^2-7}
S(−2∣−7)\mathsf{S(-2\mid-7)}

Ergebnis

f(x)=2(x+2)2−7\mathsf{f(x)=2(x+2)^2-7}

Erklärung 04

Auch ein negativer Faktor bleibt erhalten

Ein negatives a macht die Ergänzung nicht grundsätzlich anders. Klammerst du es aus, ändern sich die Vorzeichen der betreffenden Koeffizienten. Beim späteren Verteilen können zwei Minuszeichen ein Plus ergeben.

So geht es am Beispiel

Forme f(x) = −x²+6x−5 um.

f(x)=−(x2−6x)−5\mathsf{f(x)=-(x^2-6x)-5}
f(x)=−(x2−6x+9−9)−5\mathsf{f(x)=-(x^2-6x+9-9)-5}
f(x)=−((x−3)2−9)−5\mathsf{f(x)=-((x-3)^2-9)-5}
f(x)=−(x−3)2+9−5\mathsf{f(x)=-(x-3)^2+9-5}
f(x)=−(x−3)2+4\mathsf{f(x)=-(x-3)^2+4}
S(3∣4)\mathsf{S(3\mid4)}

Ergebnis

f(x)=−(x−3)2+4\mathsf{f(x)=-(x-3)^2+4}

Erklärung 05

Gleichungen lösen und die Umformung prüfen

Nach der Ergänzung kann eine quadratische Gleichung durch Wurzelziehen gelöst werden. Auf beiden Seiten einer Gleichung muss dieselbe Änderung vorgenommen werden; beim reinen Umformen eines Terms werden Ergänzung und Ausgleich gemeinsam notiert.

Zur Kontrolle multiplizierst du die Scheitelpunktform wieder aus. Ein einzelner eingesetzter Wert ist eine nützliche Probe, beweist aber allein keine Termidentität.

So geht es am Beispiel

Löse x²+2x−3 = 0 durch quadratische Ergänzung.

x2+2x=3\mathsf{x^2+2x=3}

x2+2x+1=4\mathsf{x^2+2x+1=4} — auf beiden Seiten 1 addieren.

(x+1)2=4\mathsf{(x+1)^2=4}
x+1=±2\mathsf{x+1=\pm2}
x1=1,x2=−3\mathsf{x_1=1,\quad x_2=-3}

1+2−3=0\mathsf{1+2-3=0} — erste Probe.

9−6−3=0\mathsf{9-6-3=0} — zweite Probe.

Ergebnis

Die Lösungen sind 1 und −3.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Quadratische Ergänzung · EinstiegForme x²+8x+5 durch quadratische Ergänzung um und gib den Scheitel an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      8/2=4\mathsf{8/2=4}
      42=16\mathsf{4^2=16}
      x2+8x+5=x2+8x+16−16+5\mathsf{x^2+8x+5=x^2+8x+16-16+5}
      x2+8x+5=(x+4)2−11\mathsf{x^2+8x+5=(x+4)^2-11}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisScheitelpunktform (x+4)²−11; S(−4 | −11).
  2. Aufgabe 2Quadratische Ergänzung · EinstiegForme x²−6x+2 um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (−6)/2=−3\mathsf{(-6)/2=-3}
      (−3)2=9\mathsf{(-3)^2=9}
      x2−6x+2=x2−6x+9−9+2\mathsf{x^2-6x+2=x^2-6x+9-9+2}
      x2−6x+2=(x−3)2−7\mathsf{x^2-6x+2=(x-3)^2-7}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis(x−3)²−7; S(3 | −7).
  3. Aufgabe 3Quadratische Ergänzung · StandardForme 3x²+12x+5 mit allen Klammern um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      3x2+12x+5=3(x2+4x)+5\mathsf{3x^2+12x+5=3(x^2+4x)+5}
      =3(x2+4x+4−4)+5\mathsf{=3(x^2+4x+4-4)+5}
      =3((x+2)2−4)+5\mathsf{=3((x+2)^2-4)+5}
      =3(x+2)2−12+5\mathsf{=3(x+2)^2-12+5}
      =3(x+2)2−7\mathsf{=3(x+2)^2-7}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis3(x+2)²−7; S(−2 | −7).
  4. Aufgabe 4Quadratische Ergänzung · StandardForme −2x²+8x−3 in Scheitelpunktform um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      −2x2+8x−3=−2(x2−4x)−3\mathsf{-2x^2+8x-3=-2(x^2-4x)-3}
      =−2(x2−4x+4−4)−3\mathsf{=-2(x^2-4x+4-4)-3}
      =−2((x−2)2−4)−3\mathsf{=-2((x-2)^2-4)-3}
      =−2(x−2)2+8−3\mathsf{=-2(x-2)^2+8-3}
      =−2(x−2)2+5\mathsf{=-2(x-2)^2+5}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis−2(x−2)²+5; S(2 | 5).
  5. Aufgabe 5Quadratische Ergänzung · StandardErgänze x²+3x+1. Rechne mit exakten Brüchen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (3/2)2=94\mathsf{(3/2)^2=\frac94}
      x2+3x+1=x2+3x+94−94+1\mathsf{x^2+3x+1=x^2+3x+\frac94-\frac94+1}
      =(x+32)2−54\mathsf{=(x+\frac32)^2-\frac54}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis(x+3/2)2−5/4\mathsf{(x+3/2)^2-5/4}; S(−3/2 | −5/4).
  6. Aufgabe 6Quadratische Ergänzung · StandardKorrigiere: 2x²+4x+3 = 2(x+1)²+2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      2x2+4x+3=2(x2+2x)+3\mathsf{2x^2+4x+3=2(x^2+2x)+3}
      =2(x2+2x+1−1)+3\mathsf{=2(x^2+2x+1-1)+3}
      =2(x+1)2−2+3\mathsf{=2(x+1)^2-2+3}
      =2(x+1)2+1\mathsf{=2(x+1)^2+1}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisRichtig ist 2(x+1)²+1. Die Ergänzung 1 innerhalb der Klammer muss außen mit 2 ausgeglichen werden.
  7. Aufgabe 7Quadratische Ergänzung · StandardLöse x²−4x−5 = 0 durch quadratische Ergänzung und prüfe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x2−4x=5\mathsf{x^2-4x=5}
      x2−4x+4=9\mathsf{x^2-4x+4=9}
      (x−2)2=9\mathsf{(x-2)^2=9}
      x−2=±3\mathsf{x-2=\pm3}
      x1=5,x2=−1\mathsf{x_1=5,\quad x_2=-1}
      25−20−5=0\mathsf{25-20-5=0}
      1+4−5=0\mathsf{1+4-5=0}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisLösungen 5 und −1.
  8. Aufgabe 8Quadratische Ergänzung · VertiefungPrüfe durch Ausmultiplizieren, ob 2(x−3)²−5 gleich 2x²−12x+13 ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      2(x−3)2−5=2(x2−6x+9)−5\mathsf{2(x-3)^2-5=2(x^2-6x+9)-5}
      =2x2−12x+18−5\mathsf{=2x^2-12x+18-5}
      =2x2−12x+13\mathsf{=2x^2-12x+13}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisJa, beide Terme sind für alle reellen x gleich.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich halbiere den linearen Koeffizienten nach dem Ausklammern.
  • Ich ergänze und gleiche denselben Betrag aus.
  • Ich multipliziere den Ausgleich mit dem äußeren Faktor.
  • Ich kontrolliere durch Ausmultiplizieren.

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