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Kegel · Erklären & üben

Oberfläche Kegel

Die Oberfläche eines geschlossenen geraden Kreiskegels besteht aus Grundkreis und Mantel. Für den Mantel brauchst du die Mantellinie s; die senkrechte Körperhöhe h ist eine andere Strecke.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Grundkreis und Mantel

Hier gilt die Formel für einen geraden Kreiskegel: Die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt des Grundkreises. Alle Mantellinien haben dieselbe Länge s. Die Grundfläche ist πr², die Mantelfläche πrs. Bei einem schiefen Kegel darf diese vereinfachte Mantelformel nicht ungeprüft verwendet werden.

  1. Prüfe, ob s oder h gegeben ist.

G=πr2,M=πrs,O=πr2+πrs\mathsf{G=\pi r^2,\quad M=\pi rs,\quad O=\pi r^2+\pi rs}

Gerader Kreiskegel mit Spitze S, Grundkreismittelpunkt O, Radius r, Körperhöhe h und Mantellinie s.

Erklärung 02

Die Mantellinie bestimmen

Radius, Körperhöhe und Mantellinie bilden beim geraden Kreiskegel ein rechtwinkliges Dreieck. Mit Pythagoras berechnest du s. Beim Abwickeln ist s der Radius eines Kreissektors, dessen Bogenlänge dem Grundkreisumfang entspricht. Der Sektorwinkel beträgt 360°·r/s.

  1. Bei gegebenem Durchmesser zuerst r = d/2.

  2. Dann s bestimmen, Grundfläche und Mantel berechnen, zuletzt addieren.

s=r2+h2\mathsf{s=\sqrt{r^2+h^2}}

Getrennt dargestellte Netzbestandteile: Kreissektor mit Radius 5cm und Winkel 216Grad sowie Grundkreis mit Radius 3cm; der Sektorbogen entspricht dem Grundkreisumfang.

Erklärung 03

Eine vollständige Rechnung

Verwende h für Pythagoras, aber s in der Mantelformel. Der Radius wird für die Grundfläche quadriert; im Mantel steht das Produkt r mal s.

  1. Exakte π-Ausdrücke bis zum Schluss behalten.

Alle Flächen erhalten Quadrateinheiten.

So geht es am Beispiel

Gerader Kreiskegel: r = 3 cm und h = 4 cm. Berechne O.

s=32+42=5 cm\mathsf{s=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathsf{cm}}
G=9π cm2\mathsf{G=9\pi\,\mathsf{cm}^2}
M=15π cm2\mathsf{M=15\pi\,\mathsf{cm}^2}
O=24π cm2≈75,40 cm2\mathsf{O=24\pi\,\mathsf{cm}^2\approx75{,}40\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Etwa 75,40cm²

Erklärung 04

Oberfläche und Volumen

Das Volumen verwendet die senkrechte Körperhöhe: V = πr²h/3. Für einen Kegel ohne Grundboden zählt dagegen nur M als vorhandene Fläche. Kläre deshalb, ob der Körper geschlossen ist.

  1. Weiterlernen: Volumen Kegel für Rauminhalt und Umkehrungen.

Mantellinie und Körperhöhe sind nicht austauschbar.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Oberfläche Kegel · AnwendenGerader Kreiskegel: r = 5 cm, h = 12 cm. Berechne s.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      s=25+144=13 cm\mathsf{s=\sqrt{25+144}=13\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Mantellinie13 cm
  2. Aufgabe 2Oberfläche Kegel · AnwendenEin Kegel hat Grundkreisradius 5cm. Berechne G exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G=25π cm2\mathsf{G=25\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Grundfläche25π cm2\mathsf{25\pi\,\mathsf{cm}^2}
  3. Aufgabe 3Oberfläche Kegel · AnwendenGerader Kreiskegel: r = 5 cm, s = 13 cm. Berechne M.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      M=π⋅5⋅13=65π cm2\mathsf{M=\pi\cdot5\cdot13=65\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Mantelfläche65π cm2\mathsf{65\pi\,\mathsf{cm}^2}
  4. Aufgabe 4Oberfläche Kegel · AnwendenGeschlossener gerader Kreiskegel: r = 5 cm, h = 12 cm. Berechne O exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      s=13 cm\mathsf{s=13\,\mathsf{cm}}
      O=25π+65π=90π cm2\mathsf{O=25\pi+65\pi=90\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche90π cm2\mathsf{90\pi\,\mathsf{cm}^2}
  5. Aufgabe 5Oberfläche Kegel · AnwendenZeichne im Axialschnitt die Körperhöhe SO gestrichelt ein und beschrifte sie mit h. Beschrifte die schräge Strecke SA mit s.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Höhe und Mantellinie

    Axialschnitt des geraden Kegels mit S, O und A; Radius 3cm ist gegeben, Höhe noch nicht eingezeichnet.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      O ist der Mittelpunkt der Grundfläche.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      SO steht senkrecht auf der Grundfläche; SA liegt auf dem Mantel.

    Ergebnis

    1. Höhe und MantellinieSO ist gestrichelt und mit h beschriftet; SA trägt s.
  6. Aufgabe 6Oberfläche Kegel · AnwendenFür r = 3 cm und h = 4 cm wird M = π·3·4 gerechnet. Korrigiere den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      s=32+42=5 cm\mathsf{s=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathsf{cm}}
      M=π⋅3⋅5=15π cm2\mathsf{M=\pi\cdot3\cdot5=15\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. KorrekturM=15π cm2\mathsf{M=15\pi\,\mathsf{cm}^2}; der Mantel benötigt s, nicht h.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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