Optimierung · Erklären & üben

Optimierungsmodelle - Übung

Wir lösen ein eigenes Zweiprodukteproblem grafisch. Eine Werkstatt plant ganze Sets C und D. Alle Daten sind Modellangaben; feste Verbräuche, feste Beiträge und vollständiger Absatz werden angenommen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein vollständiges Modell aufstellen

x zählt Sets C, y zählt Sets D. C braucht 2 Materialeinheiten und eine Zeiteinheit; D braucht eine Materialeinheit und 2 Zeiteinheiten. Es stehen 10 Material- und 8 Zeiteinheiten zur Verfügung. Die Beiträge sind 5 € je C und 4 € je D. Zunächst lösen wir die reelle Vorbetrachtung mit x und y nichtnegativ. Der abschließende Stückplan verlangt ganze Zahlen.

Definiere Variablen und Einheiten.
Schreibe beide Ressourcengrenzen auf.
Formuliere das zu maximierende Ziel.

\text{Maximiere }z=5x+4y $\mathsf{2x+y\le10}$ , $\mathsf{x+2y\le8}$ , $\mathsf{x\ge0}$ , $\mathsf{y\ge0}$

So geht es am Beispiel

Prüfe den Plan x = 2, y = 2.

Material: $\mathsf{2\cdot2+2=6}$

Zeit: $\mathsf{2+2\cdot2=6}$

6 liegt unter beiden jeweiligen Grenzen 10 und 8. Die Stückzahlen sind zulässig.

Erklärung 02

Halbebenen richtig auswählen

Jede Ressourcengrenze liefert eine Gerade. Die Ungleichung wählt die passende Halbebene. Beim Testpunkt (0;0) sind beide Verbräuche null; deshalb liegt die jeweils zulässige Seite bei diesem Punkt. Zusammen mit den Achsen entsteht die gemeinsame zulässige Fläche. Nur ihre Punkte erfüllen alle Bedingungen.

Zeichne jede Grenzgerade aus zwei Achsenabschnitten.
Teste einen Punkt außerhalb der Geraden.
Bilde den Schnitt der richtigen Halbebenen und des ersten Quadranten.

Zulässigkeit ist eine gemeinsame Bedingung aller Ungleichungen.

Koordinatengrafik mit x von 0 bis 8 und y von 0 bis 10. Die zulässige Fläche ist das Polygon mit Ecken [0, 0], [5, 0], [4, 2], [0, 4]. Materialgerade durchgezogen, Zeitgerade gestrichelt.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Achsenabschnitte beider Ressourcengeraden.

Für $\mathsf{2x+y=10}$ und y gleich null gilt $\mathsf{x=10:2=5}$

Für dieselbe Gerade und x gleich null gilt $\mathsf{y=10}$

Für $\mathsf{x+2y=8}$ und y gleich null gilt $\mathsf{x=8}$

Für dieselbe Gerade und x gleich null gilt $\mathsf{y=8:2=4}$

So geht es am Beispiel

Berechne den Schnittpunkt der beiden Ressourcengeraden.

Aus der ersten Gleichung folgt $\mathsf{y=10-2x}$

Einsetzen in die zweite: $\mathsf{x+2(10-2x)=8}$

Ausmultiplizieren: $\mathsf{x+20-4x=8}$

Zusammenfassen: $\mathsf{20-3x=8}$

Umstellen: $\mathsf{3x=12}$

Division: $\mathsf{x=4}$

Rückeinsetzen: $\mathsf{y=10-2\cdot4=2}$

Erklärung 03

Eckpunkte und Zielfunktionsgeraden

Für den hier nichtleeren, beschränkten reellen Bereich und die lineare Zielfunktion liegt ein Maximum an mindestens einer Ecke. Die Ecken sind (0;0), (5;0), (4;2) und (0;4). Geraden mit 5x plus 4y gleich c beschreiben denselben Zielwert. Größere c verschieben diese parallelen Geraden nach außen. Nur Kontaktpunkte innerhalb der zulässigen Fläche kommen infrage.

Liste alle Ecken der gemeinsamen Fläche auf.
Berechne den Zielwert jeder Ecke.
Vergleiche die Zielwerte und interpretiere den größten.

Die grafische Eckpunktprüfung ist das hier verwendete Lösungsverfahren.

So geht es am Beispiel

Vergleiche die Zielwerte aller vier Ecken.

Bei (0;0): $\mathsf{5\cdot0+4\cdot0=0}$

Bei (5;0): $\mathsf{5\cdot5+4\cdot0=25}$

Bei (4;2): $\mathsf{5\cdot4+4\cdot2=28}$

Bei (0;4): $\mathsf{5\cdot0+4\cdot4=16}$

So geht es am Beispiel

Prüfe Ressourcen und Beitrag des optimalen Plans.

Material: $\mathsf{2\cdot4+2=10}$

Zeit: $\mathsf{4+2\cdot2=8}$

Beitrag: $\mathsf{5\cdot4+4\cdot2=28}$

Beide Variablen sind nichtnegative ganze Zahlen.

Erklärung 04

Ganze Stückzahlen statt blindes Runden

Wird der Materialvorrat auf 9 verringert, bleibt die Zeitgrenze 8. Der reelle Schnittpunkt ist dann nicht ganzzahlig. Die optimale reelle Lösung ist eine Schranke für ganze Stückpläne, aber nicht automatisch ausführbar. Bei unserem kleinen Modell können wir die möglichen ganzzahligen x-Werte durchgehen und jeweils den größten zulässigen y-Wert einsetzen. Ein solches kleines Auflisten ersetzt keine allgemeine Theorie ganzzahliger Optimierung.

Prüfe die Ganzzahligkeit der reellen Lösung.
Runde nicht ohne Prüfung der Originalbedingungen.
Vergleiche in diesem kleinen Fall die endlich vielen ganzen Kandidaten.

Ein aufgerundeter Punkt kann außerhalb beider zulässigen Halbebenen liegen.

Koordinatengrafik mit x von 0 bis 8 und y von 0 bis 10. Die zulässige Fläche ist das Polygon mit Ecken [0, 0], [4.5, 0], [3.3333333333333335, 2.3333333333333335], [0, 4]. Materialgerade durchgezogen, Zeitgerade gestrichelt. Alle zulässigen ganzzahligen Gitterpunkte sind markiert.

So geht es am Beispiel

Bei Materialgrenze 9 liegt der reelle Schnitt bei (10/3;7/3). Prüfe das Aufrunden auf (4;3).

Materialverbrauch: $\mathsf{2\cdot4+3=11}$

Vergleich mit der neuen Grenze: $\mathsf{11>9}$

Zeitverbrauch: $\mathsf{4+2\cdot3=10}$

Vergleich: $\mathsf{10>8}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Optimierungsmodelle - Übung · BasisFür das Setmodell: Gib die Materialbedingung und die Zeitbedingung einzeln an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Materialbedingung
Zeitbedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Material: $\mathsf{2x+y\le10}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeit: $\mathsf{x+2y\le8}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Materialbedingung $\mathsf{2x+y\le10}$
2. Zeitbedingung $\mathsf{x+2y\le8}$
02
Aufgabe 2Optimierungsmodelle - Übung · BasisBestimme die beiden Achsenabschnitte der Geraden 2x + y = 10. Gib die x-Koordinate auf der x-Achse und die y-Koordinate auf der y-Achse einzeln an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Achsenabschnitt
y-Achsenabschnitt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei y gleich null: $\mathsf{10:2=5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei x gleich null: $\mathsf{y=10}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Achsenabschnitt5
2. y-Achsenabschnitt10
03
Aufgabe 3Optimierungsmodelle - Übung · BasisLiegt (0;0) in der Halbebene x + 2y ≤ 8? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Linke Seite: $\mathsf{0+2\cdot0=0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Vergleich: $\mathsf{0\le8}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilJa.
2. BegründungDer Verbrauch null überschreitet die Grenze 8 nicht.
04
Aufgabe 4Optimierungsmodelle - Übung · ÜbungIst der Punkt (3;3) für beide Ressourcen zusammen zulässig? Berechne die Verbräuche und begründe das Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Materialverbrauch
Zeitverbrauch
Zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Material: $\mathsf{2\cdot3+3=9}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeit: $\mathsf{3+2\cdot3=9}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Zeitgrenze wird verletzt: $\mathsf{9>8}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Materialverbrauch9 Materialeinheiten
2. Zeitverbrauch9 Zeiteinheiten
3. Zulässig?Nein.
4. BegründungDie Materialgrenze 10 wird eingehalten, die Zeitgrenze 8 aber überschritten.
05
Aufgabe 5Optimierungsmodelle - Übung · ÜbungBerechne die beiden Koordinaten des Schnittpunkts von 2x + y = 10 und x + 2y = 8.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Koordinate
y-Koordinate
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Gleichung nach y: $\mathsf{y=10-2x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Einsetzen: $\mathsf{x+2(10-2x)=8}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zusammenfassen: $\mathsf{20-3x=8}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Umstellen: $\mathsf{3x=12}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Division: $\mathsf{x=4}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Rückeinsetzen: $\mathsf{y=10-8=2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Koordinate4
2. y-Koordinate2
06
Aufgabe 6Optimierungsmodelle - Übung · ÜbungBerechne z = 5x + 4y an den Ecken (0;0), (5;0), (4;2), (0;4). Gib alle vier Werte einzeln an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
z bei (0;0)
z bei (5;0)
z bei (4;2)
z bei (0;4)
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{z(0,0)=0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{z(5,0)=25}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{z(4,2)=28}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{z(0,4)=16}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. z bei (0;0)0 €
2. z bei (5;0)25 €
3. z bei (4;2)28 €
4. z bei (0;4)16 €
07
Aufgabe 7Optimierungsmodelle - Übung · TransferInterpretiere die optimale Lösung des ursprünglichen Modells. Gib Stückzahl C, Stückzahl D und maximalen Beitrag getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sets C
Sets D
Maximaler Beitrag
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der größte Eckpunktwert ist 28 beim Punkt (4;2). Beide Koordinaten sind zulässige ganze Stückzahlen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Sets C4 Stück
2. Sets D2 Stück
3. Maximaler Beitrag28 €
08
Aufgabe 8Optimierungsmodelle - Übung · TransferDie Gerade 5x + 4y = 20 ist eine Zielfunktionsgerade. Bestimme ihren x- und y-Achsenabschnitt. Bedeutet ein Punkt auf dieser Geraden automatisch Zulässigkeit? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Achsenabschnitt
y-Achsenabschnitt
Automatisch zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  x-Achsenabschnitt: $\mathsf{20:5=4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  y-Achsenabschnitt: $\mathsf{20:4=5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Gerade beschreibt nur den Zielwert. Beispielsweise verletzt (0;5) die Zeitgrenze.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Achsenabschnitt4
2. y-Achsenabschnitt5
3. Automatisch zulässig?Nein.
4. BegründungEin Zielwert ersetzt keine Ressourcenprüfung. Jeder Punkt muss zusätzlich alle Nebenbedingungen erfüllen.
09
Aufgabe 9Optimierungsmodelle - Übung · TransferNun stehen nur 9 Materialeinheiten bereit; die Zeitgrenze bleibt 8. Für ganze x = 0, 1, 2, 3, 4 sind die jeweils größten zulässigen y-Werte 4, 3, 3, 2, 1. Bestimme den besten ganzzahligen Plan und seinen Beitrag. Darf die reelle Lösung (10/3;7/3) einfach auf (4;3) aufgerundet werden? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beste ganze Stückzahl C
Beste ganze Stückzahl D
Maximaler ganzzahliger Beitrag
Aufrunden zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei (0;4): $\mathsf{5\cdot0+4\cdot4=16}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei (1;3): $\mathsf{5\cdot1+4\cdot3=17}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei (2;3): $\mathsf{5\cdot2+4\cdot3=22}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Bei (3;2): $\mathsf{5\cdot3+4\cdot2=23}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Bei (4;1): $\mathsf{5\cdot4+4\cdot1=24}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Größere ganze x sind wegen 2x ≤ 9 unmöglich; für jedes feste x ist der größte zulässige y-Wert wegen des positiven Beitrags 4 am besten.
7. Schritt 7 · Erklärung
  Das Aufrunden auf (4;3) verbraucht $\mathsf{2\cdot4+3=11}$ Materialeinheiten und ist unzulässig.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Beste ganze Stückzahl C4 Stück
2. Beste ganze Stückzahl D1 Stück
3. Maximaler ganzzahliger Beitrag24 €
4. Aufrunden zulässig?Nein.
5. BegründungDer aufgerundete Punkt überschreitet die Materialgrenze 9 und auch die Zeitgrenze 8. Der Vergleich ganzer zulässiger Kandidaten liefert stattdessen (4;1).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich stelle das Zweiproduktemodell mit Einheiten auf.
Ich wähle die richtigen Halbebenen.
Ich vergleiche alle zulässigen Ecken.
Ich prüfe die Ganzzahligkeit vor der sachlichen Interpretation.

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