Optimierung · Erklären & üben

Optimierungsmodelle

Ein Optimierungsmodell beschreibt eine Entscheidung mit Variablen, Bedingungen und einem Ziel. Wir modellieren eine kleine Werkstattplanung mit erfundenen, vollständig angegebenen Verbrauchswerten. Das Modell macht seine Annahmen sichtbar.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Von der Planung zu Variablen

Eine Werkstatt stellt zwei ganze Bastelsets A und B her. Ein Set A benötigt 2 Materialeinheiten und 1 Arbeitszeiteinheit, ein Set B 1 Materialeinheit und 2 Arbeitszeiteinheiten. Es stehen jeweils 12 Einheiten bereit. x bezeichnet die Stückzahl A, y die Stückzahl B. Die Variablen sind nichtnegative ganze Zahlen. Für eine grafische Vorbetrachtung lassen wir vorübergehend auch nichtnegative reelle Werte zu. Wir nehmen feste Verbräuche, keine Ausschussmengen und vollständigen Absatz an.

Benenne die steuerbaren Mengen.
Lege Einheit und Wertebereich fest.
Unterscheide gegebene Daten von Entscheidungen.

x und y sind Stückzahlen; Ressourcen haben eigene Einheiten.

So geht es am Beispiel

Formuliere die Variablen und ihre sachlichen Bedingungen.

x ist die Zahl der Sets A; y ist die Zahl der Sets B.

Nichtnegativität: $\mathsf{x\ge0}$ und $\mathsf{y\ge0}$

Da nur ganze Sets hergestellt werden, müssen beide Zahlen ganzzahlig sein.

Erklärung 02

Ressourcen als Nebenbedingungen

Jede Nebenbedingung begrenzt den Verbrauch einer Ressource. Der Verbrauch pro Stück wird mit der Stückzahl multipliziert; die Verbräuche beider Produkte werden addiert. „Höchstens“ ergibt eine kleiner-gleich-Bedingung. Material- und Zeitverbrauch werden nicht miteinander addiert, weil sie verschiedene Ressourcen darstellen.

Berechne den Verbrauch je Produkt und Ressource.
Addiere innerhalb derselben Ressource.
Vergleiche mit dem verfügbaren Vorrat.

$\mathsf{2x+y\le12}$ und $\mathsf{x+2y\le12}$

Ressourcentabelle: Set A benötigt zwei Material- und eine Zeiteinheit, Set B eine Material- und zwei Zeiteinheiten. Von beiden Ressourcen sind jeweils zwölf Einheiten verfügbar.

So geht es am Beispiel

Leite die Materialbedingung aus den Verbrauchswerten ab.

A verbraucht $\mathsf{2x}$ Materialeinheiten.

B verbraucht $\mathsf{y}$ Materialeinheiten.

Der Gesamtverbrauch darf den Vorrat nicht überschreiten: $\mathsf{2x+y\le12}$

So geht es am Beispiel

Leite die Zeitbedingung ab.

A benötigt $\mathsf{x}$ Arbeitszeiteinheiten.

B benötigt $\mathsf{2y}$ Arbeitszeiteinheiten.

Daher gilt $\mathsf{x+2y\le12}$

Erklärung 03

Ein messbares Ziel

Ein Set A liefert im Modell einen Beitrag von 3 €, ein Set B von 2 €. Die Zielfunktion z zählt den gesamten Beitrag; er soll maximiert werden. Diese festen Beiträge sind Modellannahmen und keine aktuellen Preise. Weitere Kosten sind in der vereinfachten Fragestellung nicht enthalten. Operations Research ist der übergeordnete Kontext solcher systematischen Entscheidungsmodelle.

Lege fest, was verbessert werden soll.
Ordne jeder Variable ihren Beitrag zu.
Benenne Maximierung oder Minimierung.

\text{Maximiere }z=3x+2y

Das Modell verwendet nichtnegative ganze Stückzahlen x und y, die Nebenbedingungen 2x plus y höchstens 12 und x plus 2y höchstens 12 sowie das Ziel, 3x plus 2y zu maximieren.

So geht es am Beispiel

Berechne den Beitrag des Plans x = 3, y = 4.

Beitrag A: $\mathsf{3\cdot3=9}$ Euro

Beitrag B: $\mathsf{2\cdot4=8}$ Euro

Gesamtbeitrag: $\mathsf{9+8=17}$ Euro

Erklärung 04

Zulässigkeit und Modellgrenzen

Ein Plan ist zulässig, wenn er alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt. Ein hoher Zielwert allein reicht nicht. Lineare Optimierung verwendet lineare Zielfunktionen und lineare Bedingungen. Im begrenzten grafischen Zugang betrachten wir zwei reelle Variablen und einen beschränkten zulässigen Bereich; eine beste Ecke liefert dann ein Optimum. Bei Stückzahlen muss die Lösung zusätzlich ganzzahlig sein. Beliebiges Runden kann Bedingungen verletzen.

Prüfe beide Ressourcen und Nichtnegativität.
Prüfe bei ganzen Produkten die Ganzzahligkeit.
Vergleiche Zielwerte nur zulässiger Pläne.

Ein Optimum ist immer an die genannten Annahmen gebunden.

Koordinatengrafik mit x von 0 bis 7 und y von 0 bis 12. Die zulässige Fläche ist das Polygon mit Ecken [0, 0], [6, 0], [4, 4], [0, 6]. Materialgerade durchgezogen, Zeitgerade gestrichelt.

So geht es am Beispiel

Prüfe den Plan x = 5, y = 4.

Materialverbrauch: $\mathsf{2\cdot5+4=14}$

Vergleich: $\mathsf{14>12}$

Zeitverbrauch: $\mathsf{5+2\cdot4=13}$

Vergleich: $\mathsf{13>12}$

So geht es am Beispiel

Vergleiche die Eckpunkte des reellen Werkstattmodells.

Im Ursprung: $\mathsf{3\cdot0+2\cdot0=0}$

Bei (6;0): $\mathsf{3\cdot6+2\cdot0=18}$

Der Schnitt der beiden Ressourcenlinien ist (4;4).

Dort gilt $\mathsf{3\cdot4+2\cdot4=20}$

Bei (0;6): $\mathsf{3\cdot0+2\cdot6=12}$

Der größte Eckpunktwert ist 20. Die Stückzahlen 4 und 4 sind bereits ganzzahlig.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Optimierungsmodelle · BasisIm Werkstattmodell bezeichnet x die Sets A und y die Sets B. Welche Einheit haben x und y? Nenne zusätzlich die Nichtnegativitätsbedingungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Einheit von x
Einheit von y
Bedingung für x
Bedingung für y
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Beide Variablen zählen ganze Sets.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{x\ge0}$ und $\mathsf{y\ge0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Einheit von xStück A
2. Einheit von yStück B
3. Bedingung für x $\mathsf{x\ge0}$
4. Bedingung für y $\mathsf{y\ge0}$
02
Aufgabe 2Optimierungsmodelle · BasisFormuliere die Materialbedingung: A braucht 2 Materialeinheiten, B eine; insgesamt sind 12 verfügbar.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Materialbedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gesamtverbrauch: $\mathsf{2x+y}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Höchstens 12: $\mathsf{2x+y\le12}$
Ergebnis
1. Materialbedingung $\mathsf{2x+y\le12}$
03
Aufgabe 3Optimierungsmodelle · BasisFormuliere die Zeitbedingung: A braucht eine Zeiteinheit, B zwei; insgesamt sind 12 verfügbar.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeitbedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gesamtverbrauch: $\mathsf{x+2y}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Höchstens 12: $\mathsf{x+2y\le12}$
Ergebnis
1. Zeitbedingung $\mathsf{x+2y\le12}$
04
Aufgabe 4Optimierungsmodelle · ÜbungA liefert 3 € Beitrag und B 2 €. Gib Zielfunktion und Optimierungsrichtung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zielfunktion
Richtung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gesamtbeitrag: $\mathsf{z=3x+2y}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Beitrag soll möglichst groß werden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zielfunktion $\mathsf{z=3x+2y}$
2. RichtungMaximieren
05
Aufgabe 5Optimierungsmodelle · ÜbungBerechne Materialverbrauch und Zeitverbrauch des Plans x = 3, y = 4. Ist der Plan zulässig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Materialverbrauch
Zeitverbrauch
Zulässig?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Material: $\mathsf{2\cdot3+4=10}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeit: $\mathsf{3+2\cdot4=11}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Beide Werte liegen höchstens bei 12; die Stückzahlen sind nichtnegativ und ganzzahlig.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Materialverbrauch10 Materialeinheiten
2. Zeitverbrauch11 Zeiteinheiten
3. Zulässig?Ja.
06
Aufgabe 6Optimierungsmodelle · ÜbungPrüfe x = 6, y = 1. Gib das Urteil und einen konkreten verletzten Vorrat an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Material: $\mathsf{2\cdot6+1=13}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Damit gilt $\mathsf{13>12}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zulässig?Nein.
2. BegründungDer Materialverbrauch beträgt 13 statt höchstens 12 Einheiten.
07
Aufgabe 7Optimierungsmodelle · TransferBeim Plan x = 4, y = 4: Wie viel Material und Zeit bleiben übrig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Materialrest
Zeitrest
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Materialverbrauch: $\mathsf{2\cdot4+4=12}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Materialrest: $\mathsf{12-12=0}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zeitverbrauch: $\mathsf{4+2\cdot4=12}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zeitrest: $\mathsf{12-12=0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Materialrest0 Materialeinheiten
2. Zeitrest0 Zeiteinheiten
08
Aufgabe 8Optimierungsmodelle · TransferEin reelles Vorabmodell liefert x = 2,5 Sets A. Ist das unmittelbar ein ausführbarer Stückplan? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Herstellung ganzer Sets erlaubt keine halbe Stückzahl.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ein ganzzahliger Plan muss zusätzlich geprüft werden; bloßes Runden ist keine allgemeine Lösung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungDas Sachmodell verlangt ganze Stückzahlen. Die reelle Vorablösung erfüllt diese Bedingung nicht.
09
Aufgabe 9Optimierungsmodelle · TransferVergleiche die zulässigen Pläne P = (5;2) und Q = (4;4) anhand von z = 3x + 2y. Gib beide Beiträge und den besseren Plan an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beitrag P
Beitrag Q
Besserer Plan
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Beitrag P: $\mathsf{3\cdot5+2\cdot2=19}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Beitrag Q: $\mathsf{3\cdot4+2\cdot4=20}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Beitrag P19 €
2. Beitrag Q20 €
3. Besserer PlanQ mit 4 Sets A und 4 Sets B

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich definiere Variablen mit Einheit und Wertebereich.
Ich übersetze jede Ressource in eine eigene Bedingung.
Ich formuliere eine lineare Zielfunktion.
Ich trenne zulässige, optimale und ganzzahlige Pläne.

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