Vektorräume · Erklären & üben

Orthonormalbasis in R²/R³

Senkrechte Einheitsvektoren bilden ein besonders praktisches Koordinatensystem. In einer Orthonormalbasis kannst du die Koordinaten eines Vektors direkt mit Skalarprodukten bestimmen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Orthogonal ist nicht automatisch orthonormal

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Für eine Orthonormalbasis müssen zusätzlich alle Basisvektoren die Länge 1 haben.

In $\mathsf{\mathbb R^2}$ brauchst du zwei, in $\mathsf{\mathbb R^3}$ drei paarweise orthogonale Einheitsvektoren. Ein einzelnes orthogonales Paar im Raum ist noch keine Basis des ganzen Raums.

Der Nullvektor hat Länge 0. Obwohl sein Skalarprodukt mit jedem Vektor 0 ist, kann er kein Basisvektor sein.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{\vec a\cdot\vec b=3\cdot0+0\cdot(-2)=0}$ — Orthogonalität prüfen.

$\mathsf{\|\vec a\|=3}$ — erste Länge.

$\mathsf{\|\vec b\|=2}$ — zweite Länge.

Erklärung 02

Normieren: Die Länge wird 1

Du normierst einen von null verschiedenen Vektor, indem du jede Komponente durch seine Länge teilst: $\mathsf{\vec e=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}}$ . Seine Richtung bleibt erhalten.

In der Ebene gilt $\mathsf{\|\vec v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$ . Im Raum kommt $\mathsf{v_3^2}$ unter der Wurzel hinzu. Durch die Länge 0 darf nicht geteilt werden.

Standard-Orthonormalbasis e1 und e2 mit Vektor v und rechtwinkligen Teilwegen.

So geht es am Beispiel

Normiere $\mathsf{\vec v=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{\|\vec v\|=\sqrt{3^2+4^2}}$ — die Längenformel einsetzen.

$\mathsf{\|\vec v\|=5}$ — die Wurzel berechnen.

$\mathsf{\vec e=\begin{pmatrix}\frac35\\\frac45\end{pmatrix}}$ — beide Komponenten durch 5 teilen.

$\mathsf{\|\vec e\|^2=\frac9{25}+\frac{16}{25}=1}$ — die Einheitslänge prüfen.

Erklärung 03

Eine Orthonormalbasis prüfen

Prüfe zuerst die Anzahl der Vektoren für den betrachteten Raum. Berechne dann jede Länge und alle paarweisen Skalarprodukte. Die Zahlen 1 und 0 übernehmen verschiedene Aufgaben: Länge 1, Skalarprodukt 0.

Für $\mathsf{\vec e_1=\frac15\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec e_2=\frac15\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}$ sind beide Längen 1. Es gilt $\mathsf{\vec e_1\cdot\vec e_2=(-12+12)/25=0}$ . Das ist eine gedrehte Orthonormalbasis der Ebene.

Erklärung 04

Koordinaten durch Skalarprodukte

In einer Orthonormalbasis erhältst du den Koeffizienten der Richtung $\mathsf{\vec e_i}$ durch $\mathsf{c_i=\vec v\cdot\vec e_i}$ . In der Ebene folgt $\mathsf{\vec v=c_1\vec e_1+c_2\vec e_2}$ .

Diese direkte Regel setzt Einheitslängen und Orthogonalität voraus. Bei einer beliebigen Basis musst du die Koeffizienten anders bestimmen, etwa durch ein Gleichungssystem.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Koordinaten von $\mathsf{\vec v=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ in der gedrehten Orthonormalbasis aus dem vorigen Abschnitt.

$\mathsf{c_1=2\cdot\frac35+1\cdot\frac45}$ — erstes Skalarprodukt.

$\mathsf{c_1=2}$ — addieren.

$\mathsf{c_2=2\cdot(-\frac45)+1\cdot\frac35}$ — zweites Skalarprodukt.

$\mathsf{c_2=-1}$ — addieren.

$\mathsf{2\begin{pmatrix}\frac35\\\frac45\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-\frac45\\\frac35\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ — zurück in Standardkoordinaten rechnen.

Erklärung 05

Optional: Zwei Richtungen senkrecht machen

Dieses einzelne Beispiel zeigt die Idee hinter Gram-Schmidt: Entferne aus dem zweiten Vektor den Anteil entlang des ersten. Ein allgemeines Verfahren für beliebig viele Vektoren wird hier nicht behandelt.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind $\mathsf{\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec v_2=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$ . Erzeuge daraus zwei orthogonale Einheitsvektoren.

$\mathsf{\vec v_2\cdot\vec v_1=2}$ — den Zähler der Projektion berechnen.

$\mathsf{\vec v_1\cdot\vec v_1=2}$ — den Nenner berechnen.

$\mathsf{\vec p=\frac22\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ — die Projektion auf die erste Richtung bestimmen.

$\mathsf{\vec u_2=\vec v_2-\vec p=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ — die Projektion abziehen.

$\mathsf{\vec v_1\cdot\vec u_2=1-1=0}$ — die Orthogonalität prüfen.

$\mathsf{\|\vec v_1\|=\sqrt2}$ — erste Länge.

$\mathsf{\|\vec u_2\|=\sqrt2}$ — zweite Länge.

$\mathsf{\vec e_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ — den ersten Vektor normieren.

$\mathsf{\vec e_2=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ — den Restvektor normieren.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Orthonormalbasis in R²/R³ · EinstiegPrüfe $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}$ als Orthonormalbasis der Ebene.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil mit Rechnungen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=0}$ — die Richtungen sind orthogonal.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\|\vec a\|=1}$ — erste Länge.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\|\vec b\|=1}$ — zweite Länge.
Ergebnis
1. Urteil mit RechnungenJa. Zwei orthogonale Einheitsvektoren bilden eine Orthonormalbasis der Ebene.
02
Aufgabe 2Orthonormalbasis in R²/R³ · EinstiegNormiere $\mathsf{\vec v=\begin{pmatrix}-6\\8\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Normierter Vektor mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\|\vec v\|=\sqrt{36+64}=10}$ — die Länge berechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec e=\begin{pmatrix}-\frac35\\\frac45\end{pmatrix}}$ — beide Komponenten durch 10 teilen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\|\vec e\|^2=\frac9{25}+\frac{16}{25}=1}$ — prüfen.
Ergebnis
1. Normierter Vektor mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}-\frac35\\\frac45\end{pmatrix}}$
03
Aufgabe 3Orthonormalbasis in R²/R³ · StandardSind $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ schon orthonormal? Begründe und normiere beide.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Normierte Vektoren
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=1-1=0}$ — orthogonal.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\|\vec a\|=\sqrt2}$ — erste Länge.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\|\vec b\|=\sqrt2}$ — zweite Länge.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilOrthogonal, aber noch nicht orthonormal.
2. Normierte Vektoren $\mathsf{\vec e_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec e_2=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ .
04
Aufgabe 4Orthonormalbasis in R²/R³ · StandardFür $\mathsf{\vec e_1=\frac15\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec e_2=\frac15\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec v=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$ bestimme die Basis-Koordinaten und rechne zurück.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Basis-Koordinaten
Rückrechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c_1=-\frac35+\frac85=1}$ — erstes Skalarprodukt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c_2=\frac45+\frac65=2}$ — zweites Skalarprodukt.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}\frac35\\\frac45\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}-\frac45\\\frac35\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$ — Rückrechnung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Basis-Koordinaten $\mathsf{(1\mid2)}$
2. Rückrechnung $\mathsf{\vec v=\vec e_1+2\vec e_2}$
05
Aufgabe 5Orthonormalbasis in R²/R³ · StandardPrüfe die drei Vektoren $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}$ als Orthonormalbasis des Raums.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil mit allen Prüfungen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\|\vec a\|=1}$ — erste Länge.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\|\vec b\|=1}$ — zweite Länge.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\|\vec c\|=1}$ — dritte Länge.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=0}$ — erstes Paar.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec c=0}$ — zweites Paar.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b\cdot\vec c=0}$ — drittes Paar.
Ergebnis
1. Urteil mit allen PrüfungenJa. Drei paarweise orthogonale Einheitsvektoren bilden eine Orthonormalbasis von R³.
06
Aufgabe 6Orthonormalbasis in R²/R³ · StandardEin Schüler ergänzt den Nullvektor zu $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und nennt das eine Orthonormalbasis der Ebene. Erkläre zwei Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Längenbedingung
Basisbedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nullvektor hat Länge 0 statt 1.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nullvektor ergänzt keine unabhängige Richtung; die Vektoren erzeugen nur die x-Achse.
Ergebnisse & Teilantworten
1. LängenbedingungDer Nullvektor ist kein Einheitsvektor.
2. BasisbedingungDie ganze Ebene wird nicht erzeugt.
07
Aufgabe 7Orthonormalbasis in R²/R³ · VertiefungZeichne im vorbereiteten Koordinatensystem $\mathsf{\vec e_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec e_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec v=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ ab O. Markiere den rechtwinkligen Weg zu v und notiere seine Basis-Koordinaten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung und Koordinaten
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung und Koordinaten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{c_1=\vec v\cdot\vec e_1=2}$ — horizontale Komponente.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{c_2=\vec v\cdot\vec e_2=3}$ — vertikale Komponente.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\vec v=2\vec e_1+3\vec e_2}$ — die beiden Teilwege zusammensetzen.
Ergebnis
1. Zeichnung und Koordinaten $\mathsf{(2\mid3)}$
08
Aufgabe 8Orthonormalbasis in R²/R³ · VertiefungJemand behauptet: „Zwei senkrechte Einheitsvektoren bilden immer eine Orthonormalbasis von R³.“ Beurteile das mit einem konkreten Beispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung und Beispiel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ sind orthogonale Einheitsvektoren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Jede Linearkombination hat dritte Komponente 0. Der Vektor $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ist nicht erreichbar.
Ergebnis
1. Beurteilung und BeispielFalsch. Das Paar bildet eine Orthonormalbasis der x-y-Ebene, aber nicht des ganzen R³.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich trenne Orthogonalität und Einheitslänge.
Ich normiere nur Vektoren mit positiver Länge.
Ich bestimme Koordinaten in einer Orthonormalbasis mit Skalarprodukten.

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