Vektorräume · Erklären & üben

Koordinatenräume, Basis und Dimension

Mit Koordinaten beschreibst du Vektoren in der Ebene und im Raum. Eine Basis legt fest, aus welchen unabhängigen Richtungen du jeden Vektor zusammensetzen kannst.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Koordinatenräume konkret

Ein Vektor in $\mathsf{\mathbb R^2}$ hat zwei reelle Komponenten, ein Vektor in $\mathsf{\mathbb R^3}$ drei. Punkte beschreiben Orte; Vektoren beschreiben hier gerichtete Verschiebungen.

Addition und Multiplikation mit einer reellen Zahl werden komponentenweise ausgeführt. Das Ergebnis bleibt im selben Koordinatenraum. Vektoren mit unterschiedlicher Komponentenzahl werden nicht addiert.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{2\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}}$ — beide Komponenten mit 2 multiplizieren.

$\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten addieren.

Erklärung 02

Linearkombination und Spann

Eine Linearkombination entsteht, wenn du gegebene Vektoren mit reellen Zahlen multiplizierst und addierst. Alle so erreichbaren Vektoren bilden ihren Spann.

Ein einzelner von null verschiedener Vektor spannt eine Gerade durch den Ursprung auf. Zwei nicht parallele Vektoren in $\mathsf{\mathbb R^2}$ erreichen dagegen die ganze Ebene.

Zwei unabhängige Basisvektoren a und b und die Linearkombination x gleich 2a plus 2b im beschrifteten Koordinatensystem.

So geht es am Beispiel

Stelle $\mathsf{\vec x=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ mit $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ dar.

$\mathsf{r\vec a+s\vec b=\vec x}$ — unbekannte Koeffizienten ansetzen.

$\mathsf{r+s=4}$ — erste Komponenten vergleichen.

$\mathsf{s=2}$ — zweite Komponenten vergleichen.

$\mathsf{r+2=4}$ — den Wert von s einsetzen.

$\mathsf{r=2}$ — 2 subtrahieren.

$\mathsf{2\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ — die Darstellung prüfen.

Erklärung 03

Unabhängigkeit und Basis

Vektoren sind linear unabhängig, wenn die Gleichung $\mathsf{r\vec a+s\vec b=\vec0}$ nur mit $\mathsf{r=s=0}$ erfüllt wird. Bei zwei von null verschiedenen Vektoren bedeutet das: Keiner ist ein Vielfaches des anderen.

Eine Basis ist zugleich unabhängig und erzeugend: Ihre Linearkombinationen erreichen jeden Vektor des betrachteten Raums. Dann sind die Koeffizienten jedes Vektors eindeutig.

Die Standardbasis in $\mathsf{\mathbb R^2}$ besteht aus $\mathsf{\vec e_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec e_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ . Eine Basis muss weder senkrecht sein noch aus Einheitsvektoren bestehen.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ als Basis von $\mathsf{\mathbb R^2}$ .

$\mathsf{r\vec a+s\vec b=\vec0}$ — die Nullkombination untersuchen.

$\mathsf{s=0}$ — aus der zweiten Komponente folgt s = 0.

$\mathsf{r=0}$ — die erste Komponente liefert dann r = 0.

Für einen beliebigen Vektor $\mathsf{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ wähle $\mathsf{s=y}$ und $\mathsf{r=x-y}$ . Damit wird jede Kombination von x und y erreicht.

Erklärung 04

Dimension: Wie viele unabhängige Richtungen?

Die Dimension ist die Anzahl der Vektoren einer Basis. Für die ganze Ebene gilt $\mathsf{\dim(\mathbb R^2)=2}$ , für den ganzen Koordinatenraum $\mathsf{\dim(\mathbb R^3)=3}$ .

Eine Gerade durch den Ursprung hat Dimension 1. Eine Ebene durch den Ursprung in $\mathsf{\mathbb R^3}$ hat Dimension 2. Der Raum, in dem ein Objekt liegt, und seine eigene Dimension sind verschiedene Angaben.

Drei Vektoren bilden nicht automatisch eine Basis von $\mathsf{\mathbb R^3}$ : Sie müssen unabhängig sein und den ganzen Raum erreichen. Drei Vektoren mit dritter Komponente 0 bleiben immer in der x-y-Ebene.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Dimension des Spanns von $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{\vec c=\vec a+\vec b}$ — der dritte Vektor fügt keine neue Richtung hinzu.

Jede Linearkombination hat dritte Komponente 0.

Die ersten beiden Vektoren erzeugen jeden Vektor $\mathsf{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$ und sind unabhängig.

Erklärung 05

Rechenregeln an konkreten Vektoren

Das Distributivgesetz verbindet Addition und Skalierung: $\mathsf{2(\vec a+\vec b)=2\vec a+2\vec b}$ . Beide Wege müssen komponentenweise dasselbe Ergebnis liefern.

Die folgenden Aufgaben bleiben bei reellen Koordinatenvektoren. Allgemeine Vektorraumaxiome und Funktionenräume werden hier nicht vorausgesetzt.

So geht es am Beispiel

Zeige die Regel für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}$ — zuerst addieren.

$\mathsf{2\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}}$ — die Summe skalieren.

$\mathsf{2\vec a=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$ — den ersten Vektor skalieren.

$\mathsf{2\vec b=\begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}}$ — den zweiten Vektor skalieren.

$\mathsf{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}}$ — die skalierten Vektoren addieren.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Koordinatenräume, Basis und Dimension · EinstiegBerechne $\mathsf{3\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}}$ — skalieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$ — addieren.
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$
02
Aufgabe 2Koordinatenräume, Basis und Dimension · EinstiegFür $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ bestimme die Koeffizienten von $\mathsf{\vec x=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Koeffizienten mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r+s=5}$ — erste Komponente.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=3}$ — zweite Komponente.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r+3=5}$ — einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=2}$ — 3 subtrahieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}$ — prüfen.
Ergebnis
1. Koeffizienten mit Rechenweg $\mathsf{r=2,\quad s=3}$
03
Aufgabe 3Koordinatenräume, Basis und Dimension · StandardBilden $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ eine Basis von $\mathsf{\mathbb R^2}$ ? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b=2\vec a}$ — das Vielfache erkennen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Damit ist $\mathsf{2\vec a-\vec b=\vec0}$ eine nichttriviale Nullkombination.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Vektoren erzeugen nur eine Gerade.
Ergebnis
1. Urteil und BegründungKeine Basis der Ebene; die Vektoren sind abhängig.
04
Aufgabe 4Koordinatenräume, Basis und Dimension · StandardWelche Dimension hat der Spann von $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ? Beschreibe die erreichbaren Vektoren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dimension
Erreichbare Vektoren
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r\vec a+s\vec b=\begin{pmatrix}r\\0\\s\end{pmatrix}}$ — die Linearkombination bilden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zwei unabhängige Richtungen erzeugen die x-z-Ebene.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dimension2.
2. Erreichbare Vektoren $\mathsf{\begin{pmatrix}r\\0\\s\end{pmatrix}}$ mit beliebigen reellen r und s.
05
Aufgabe 5Koordinatenräume, Basis und Dimension · StandardPrüfe $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}$ als Basis von $\mathsf{\mathbb R^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Aus $\mathsf{r\vec a+s\vec b+t\vec c=\vec0}$ folgen $\mathsf{r=0}$ , $\mathsf{s=0}$ und $\mathsf{2t=0}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t=0}$ — durch 2 teilen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Jeder Vektor $\mathsf{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ entsteht mit $\mathsf{r=x}$ , $\mathsf{s=y}$ , $\mathsf{t=z/2}$ .
Ergebnis
1. Urteil mit BegründungJa. Die Vektoren sind unabhängig und erzeugen den gesamten Raum.
06
Aufgabe 6Koordinatenräume, Basis und Dimension · StandardZeichne im vorbereiteten Koordinatensystem $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec x=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ jeweils ab O. Zeige die Zusammensetzung von x aus a und b.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Pfeile und Zusammensetzung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Pfeile und Zusammensetzung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{r+s=3}$ — erste Komponente.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{s=2}$ — zweite Komponente.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{r=1}$ — in die erste Gleichung einsetzen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{\vec x=\vec a+2\vec b}$ — ein Schritt a, zwei Schritte b.
Ergebnis
1. Pfeile und Zusammensetzung $\mathsf{\vec x=\vec a+2\vec b}$
07
Aufgabe 7Koordinatenräume, Basis und Dimension · VertiefungEine Schülerin sagt: „Jede Basis in der Ebene besteht aus zwei senkrechten Einheitsvektoren.“ Beurteile die Aussage und gib ein Gegenbeispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung mit Gegenbeispiel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Unabhängigkeit und Erzeugen sind die beiden Basisbedingungen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ bilden eine Basis; ihr Skalarprodukt ist 1.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Sie sind nicht senkrecht; der zweite Vektor hat Länge $\mathsf{\sqrt2}$ .
Ergebnis
1. Beurteilung mit GegenbeispielFalsch. Eine Basis braucht weder Orthogonalität noch Einheitslängen.
08
Aufgabe 8Koordinatenräume, Basis und Dimension · VertiefungPrüfe das Distributivgesetz $\mathsf{-2(\vec a+\vec b)=-2\vec a-2\vec b}$ für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beide Rechnungen und Vergleich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}}$ — addieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ — linke Seite.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2\vec a=\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}$ — erster Summand rechts.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2\vec b=\begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}}$ — zweiter Summand rechts.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ — rechte Seite.
Ergebnis
1. Beide Rechnungen und VergleichBeide Seiten ergeben $\mathsf{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ .

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Koordinatenraum und Dimension eines Spanns.
Ich prüfe beide Basisbedingungen.
Ich bestimme und prüfe Basis-Koeffizienten.

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