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Statistische Tests · Erklären & üben

p Wert

Der p-Wert misst, wie ungewöhnlich ein beobachtetes Prüfergebnis unter der Nullhypothese gemäß einer festgelegten Testrichtung ist. Er ist weder Effektgröße noch Wahrscheinlichkeit einer Hypothese.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Unter H0 denken

Lege Modell, Teststatistik und Richtung fest. Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit unter H 0 für ein mindestens so extremes Prüfergebnis wie das beobachtete. „Extrem“ muss zur Alternative passen. Bei einem rechtsseitigen Binomialtest zählen gleich große und größere Trefferzahlen. Bei einer zusammengesetzten Nullhypothese muss der Test die zugelassenen Parameter berücksichtigen; unsere rechtsseitigen Beispiele verwenden den ungünstigsten Randp=0,5.

  1. Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.

  2. Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

prechts=P0,5(X≥xbeob)\mathsf{p_{\mathsf{rechts}}=P_{0{,}5}(X\ge x_{\mathsf{beob}})}

Erklärung 02

Ein- und zweiseitig klar unterscheiden

Für die folgenden zweiseitigen Beispiele gilt ausdrücklich das symmetrische Nullmodellp=0,5. Als mindestens so extrem gelten Trefferzahlen mit mindestens derselben Entfernung von n/2 wie die Beobachtung. Bei anderen diskreten Modellen gibt es verschiedene zweiseitige Konventionen; blindes Verdoppeln ist daher keine allgemeine Regel.

  1. Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.

  2. Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

pzweiseitig=P0,5 ⁣(∣X−n/2∣≥∣xbeob−n/2∣)\mathsf{p_{\mathsf{zweiseitig}}=P_{0{,}5}\!\left(|X-n/2|\ge|x_{\mathsf{beob}}-n/2|\right)}

Rechtsseitiger Extrembereich ab beobachtetem Wert4.
Zweiseitiger Extrembereich bei beobachtetem Wert6unter symmetrischem Nullmodell.

So geht es am Beispiel

Rechtsseitiger Test bei n=5: Beobachtet werden 4 Treffer. Berechne den p-Wert.

p=P(X≥4)=5+132=0,1875\mathsf{p=P(X\ge4)=\frac{5+1}{32}=0{,}1875}

Ergebnis

Der p-Wert berücksichtigt 4 und 5, nicht nur die Einzelwahrscheinlichkeit bei 4.

So geht es am Beispiel

Zweiseitiger Test bei n=6: Beobachtet werden 6 Treffer.

Der Abstand von der Mitte 3 beträgt 3. Gleich extrem sind 0 und 6.

p=164+164=0,03125\mathsf{p=\frac1{64}+\frac1{64}=0{,}03125}

Ergebnis

Der zweiseitige p-Wert ist 0,03125.

So geht es am Beispiel

Bei demselben zweiseitigen Modell werden 5 Treffer beobachtet.

Mindestens Abstand 2 von der Mitte 3 haben 0,1,5 und 6.

p=1+6+6+164=1464=0,21875\mathsf{p=\frac{1+6+6+1}{64}=\frac{14}{64}=0{,}21875}

Ergebnis

Der p-Wert beträgt 0,21875.

Erklärung 03

Mit α vergleichen

Das Niveau αwird vorab festgelegt; der p-Wert ergibt sich aus dem beobachteten Testresultat. Bei p≤αwird H 0 verworfen. Ein kleiner p-Wert bedeutet nicht, dass H 0 mit dieser kleinen Wahrscheinlichkeit wahr ist. Ein großer p-Wert beweist H 0 ebenfalls nicht. Den vollständigen Entscheidungsablauf erläutert das Thema Hypothesentest.

  1. Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.

  2. Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

p≤α: verwerfen;p>α: nicht verwerfen\mathsf{p\le\alpha:\textsf{ verwerfen};\qquad p>\alpha:\textsf{ nicht verwerfen}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1p Wert · EinstiegUnter B(5,0,5)beobachtest du 4 Treffer. Berechne den rechtsseitigen p-Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      p=(5+1)/32=0,1875\mathsf{p=(5+1)/32=0{,}1875}

    Ergebnis

    1. p-Wert0,1875\mathsf{0{,}1875}
  2. Aufgabe 2p Wert · EinstiegIm selben rechtsseitigen Modell werden 5 Treffer beobachtet. Bestimme den p-Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      p=P(X=5)=1/32=0,03125\mathsf{p=P(X=5)=1/32=0{,}03125}

    Ergebnis

    1. p-Wert0,03125\mathsf{0{,}03125}
  3. Aufgabe 3p Wert · StandardUnter B(6,0,5)werden 6 Treffer beobachtet. Berechne den zweiseitigen p-Wert nach der angegebenen Abstandskonvention.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      p=P(X∈{0,6})=2/64=0,03125\mathsf{p=P(X\in\{0,6\})=2/64=0{,}03125}

    Ergebnis

    1. Zweiseitiger p-Wert0,03125\mathsf{0{,}03125}
  4. Aufgabe 4p Wert · StandardEin vorab festgelegter Test hatα=0,05 und p-Wert 0,03125. Entscheide.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      0,03125≤0,05\mathsf{0{,}03125\le0{,}05}

    Ergebnis

    1. EntscheidungH 0 verwerfen.
  5. Aufgabe 5p Wert · TransferMarkiere in der Nullverteilung B(5,0,5)alle Säulen, die zum rechtsseitigen p-Wert der Beobachtung 4 gehören.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Markierter Extrembereich

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Mindestens so große Trefferzahlen sind 4 und 5. Beide Säulen bilden gemeinsam die gesuchte Randwahrscheinlichkeit.

    Ergebnis

    1. Markierter ExtrembereichSäulen 4 und 5 markiert.
  6. Aufgabe 6p Wert · TransferEin p-Wert ist 0,01. Warum ist die Aussage „Die Gegenhypothese ist mit 99 Prozent Wahrscheinlichkeit wahr“ unzulässig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der p-Wert wurde unter H 0 aus Prüfergebnissen berechnet. Er liefert keine Wahrscheinlichkeitsverteilung über H 0 und H 1.

    Ergebnis

    1. Begründungp-Wert ist keine nachträgliche Hypothesenwahrscheinlichkeit.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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