Statistische Tests · Erklären & üben

Standardfehler

Der Standardfehler beschreibt, wie stark ein Schätzer von Stichprobe zu Stichprobe schwankt. Er ist nicht dieselbe Größe wie die Standardabweichung einzelner Beobachtungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Streuung der Daten oder des Schätzers?

Die Populationsstandardabweichung σbeschreibt Einzelwerte. Der Standardfehler eines Schätzers ist dessen Standardabweichung über gedachte wiederholte Stichproben. Für den Mittelwert heißt er auch SEM. Ein kleiner Standardfehler bedeutet eine präzisere Schätzung im Modell, nicht automatisch weniger Streuung der Einzelwerte.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{SE(\bar X)=\sqrt{\operatorname{\textsf{Var}}(\bar X)}}$

Vergleich von Einzelstandardabweichung und Mittelwertstandardfehler.

Erklärung 02

Die Wurzelregel für unabhängige Werte

Für unabhängige, identisch verteilte Beobachtungen mit endlicher Varianz gilt Varianz des Mittelwerts gleich σ²/n. Dafür ist keine Normalverteilung nötig. Ist σunbekannt, wird häufig die korrigierte Stichprobenstandardabweichungseingesetzt; dann ist der Standardfehler selbst geschätzt. Bei wachsendem nfällt er mit der Quadratwurzel, nicht linear.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n},\qquad\widehat{SE}(\bar X)=\frac{s}{\sqrt n}}$

Standardfehler beiσ=12cm für verschiedene Stichprobengrößen.

So geht es am Beispiel

Eine Population hat σ=12 cm. Für n=36 unabhängige Beobachtungen: Bestimme den Standardfehler.

\mathsf{SE=12/\sqrt{36}=2\,\mathsf{cm}}

So geht es am Beispiel

Eine Stichprobe mit n=16 hat korrigierte Standardabweichungs=8 cm. Schätze den Standardfehler.

\mathsf{\widehat{SE}=8/\sqrt{16}=2\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Nicht jeder Schätzer hat dieselbe Formel

Für einen Anteil aus unabhängigen Bernoulli-Beobachtungen ist der Modellstandardfehler √(p(1−p)/n). Ein Einsetzen des beobachteten Anteils ergibt eine Schätzung, keine universelle Garantie für ein gutes Konfidenzintervall. Bei Abhängigkeiten, Clustern oder komplexer Auswahl kann die einfache Wurzelregel unpassend sein. Ein kleiner Standardfehler beseitigt zudem keine Mess- oder Auswahlverzerrung.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{SE(\widehat p)=\sqrt{\frac{p(1-p)}n}}$

So geht es am Beispiel

Bei n=100 und beobachtetem Anteil 0,4 wird der Bernoulli-Standardfehler durch Einsetzen geschätzt.

\mathsf{\widehat{SE}(\widehat p)=\sqrt{0{,}4\cdot0{,}6/100}=\sqrt{0{,}0024}\approx0{,}049}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Standardfehler · EinstiegBerechne den Standardfehler bei bekannterσ=10 cm und n=25 unabhängigen Beobachtungen gleicher Verteilung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Standardfehler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{SE=10/\sqrt{25}=2\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Standardfehler $\mathsf{2\,\mathsf{cm}}$
02
Aufgabe 2Standardfehler · EinstiegBestimme dazu die Varianz des Mittelwerts.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Varianz des Mittelwerts
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(\bar X)=100/25=4\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Varianz des Mittelwerts $\mathsf{4\,\mathsf{cm}^2}$
03
Aufgabe 3Standardfehler · StandardBei unveränderterσwird nvon 25 auf 100 vervierfacht. Wie verändert sich SE?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Änderung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{SE_{100}=\frac12SE_{25}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Wurzel im Nenner verdoppelt sich; SEhalbiert sich.
Ergebnis
1. ÄnderungHalbierung.
04
Aufgabe 4Standardfehler · StandardBei n=9 beträgt die korrigierte Stichprobenstandardabweichungs=6 cm. Schätze den Standardfehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Geschätzter Standardfehler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\widehat{SE}=6/\sqrt9=2\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Geschätzter Standardfehler $\mathsf{2\,\mathsf{cm}}$
05
Aufgabe 5Standardfehler · TransferMarkiere für bekannteσ=12 cm die Punkte(n|SE):(4|6),(16|3),(36|2)in der Vorlage. Die Beobachtungen seien unabhängig mit gleicher Varianz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
SE-Darstellung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: SE-Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die drei Punkte zeigen die Quadratwurzelabnahme; eine vierfache Stichprobengröße halbiert SE. Eine lineare Abnahme wäre falsch.
Ergebnis
1. SE-DarstellungPunkte(4|6),(16|3),(36|2)maßstäblich eingetragen.
06
Aufgabe 6Standardfehler · TransferEine Person wird 100-mal unmittelbar hintereinander gemessen. Darf man ohne Weiteresσ/√100 als Standardfehler verwenden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Nicht ohne Prüfung der Abhängigkeit. Gemeinsame Schwankungen und Messbedingungen können die 100 Werte stark korrelieren; die einfache Formel setzt hier unabhängige Beobachtungen voraus.
Ergebnis
1. BegründungMögliche Abhängigkeit verletzt die Voraussetzung der einfachen Formel.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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