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Quadratische Funktionen · Erklären & üben

Parabel zeichnen

Eine Parabel wird zuverlässig gezeichnet, wenn Scheitel, Symmetrie und passende Tabellenpunkte zusammenpassen. Ein glatter Bogen verbindet diese Punkte; einzelne Strecken sind kein Parabelgraph.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zeichnung vorbereiten

Notiere den Definitionsbereich, wähle einen sichtbaren Ausschnitt und beschrifte beide Achsen. Gleich große Zahlenabstände müssen auf derselben Achse gleich groß gezeichnet werden.

Wenn die Scheitelform a(x−h)2+k\mathsf{a(x-h)^2+k} vorliegt, markiere zuerst S(h∣k)\mathsf{S(h\mid k)} und die senkrechte Symmetrieachse x = h.

Erklärung 02

Abstände vom Scheitel nutzen

Bei einem waagerechten Abstand d vom Scheitel ist die Höhenänderung ad2\mathsf{ad^2}. Für d = 1 beträgt sie a, für d = 2 beträgt sie 4a.

Für negative a gehen diese Schritte nach unten. Trage jeden berechneten Punkt auch auf der anderen Seite der Symmetrieachse ein.

Zeichenhilfe: Scheitel markieren und Höhenänderung a mal Abstand zum Quadrat verwenden.

So geht es am Beispiel

Zeichne f(x)=12(x−1)2−2\mathsf{f(x)=\frac12(x-1)^2-2} für −2≤x≤4\mathsf{-2\le x\le4}.

S(1∣−2)\mathsf{S(1\mid-2)}

Abstand 1: Δy=12⋅12=0,5\mathsf{\Delta y=\frac12\cdot1^2=0{,}5}.

Punkte: (0∣−1,5)\mathsf{(0\mid-1{,}5)} und (2∣−1,5)\mathsf{(2\mid-1{,}5)}.

Abstand 2: Δy=12⋅22=2\mathsf{\Delta y=\frac12\cdot2^2=2}.

Punkte: (−1∣0)\mathsf{(-1\mid0)} und (3∣0)\mathsf{(3\mid0)}.

Abstand 3: Δy=4,5\mathsf{\Delta y=4{,}5}.

Randpunkte: (−2∣2,5)\mathsf{(-2\mid2{,}5)} und (4∣2,5)\mathsf{(4\mid2{,}5)}.

Ergebnis

Die Punkte ergeben einen glatten, nach oben geöffneten Parabelbogen.

Erklärung 03

Aus einer Wertetabelle zeichnen

Liegt der Term in allgemeiner Form vor, kannst du zunächst geeignete x-Werte einsetzen. Achte auf symmetrische Werte und ergänze bei Bedarf weitere Punkte nahe dem Tief- oder Hochpunkt.

Ein kleiner Zeichenausschnitt kann einen wichtigen Teil des Graphen verdecken. Wähle ihn so, dass die entscheidenden Punkte sichtbar bleiben.

Nach unten geöffnete Parabel mit fünf Tabellenpunkten und Symmetrieachse.

So geht es am Beispiel

Erstelle eine Zeichentabelle für g(x)=−x2+2x+3\mathsf{g(x)=-x^2+2x+3} bei x = −1, 0, 1, 2, 3.

g(−1)=−1−2+3=0\mathsf{g(-1)=-1-2+3=0}
g(0)=3\mathsf{g(0)=3}
g(1)=−1+2+3=4\mathsf{g(1)=-1+2+3=4}
g(2)=−4+4+3=3\mathsf{g(2)=-4+4+3=3}
g(3)=−9+6+3=0\mathsf{g(3)=-9+6+3=0}

Ergebnis

Der Hochpunkt ist (1∣4)\mathsf{(1\mid4)}; die Paare links und rechts von x = 1 haben gleiche Höhen.

Erklärung 04

Glatter Verlauf und Randpunkte

Verbinde die Punkte zu einer glatten Kurve. Die Parabel hat am Scheitel keinen Knick. Sie ist auch keine Folge gerader Strecken.

Bei einem eingeschränkten Definitionsbereich zeichnest du nur den erlaubten Teil. Enthaltene Randpunkte werden ausgefüllt, ausgeschlossene als offene Kreise markiert. Ein bloßes Ende des Zeichenfensters ist hingegen keine Funktionsgrenze.

Erklärung 05

Zeichnung gezielt kontrollieren

Prüfe: Liegt der Scheitel richtig? Passt die Öffnungsrichtung zum Vorzeichen von a? Haben Spiegelpunkte gleiche Höhen? Stimmen ein bis zwei eingezeichnete Punkte durch Einsetzen?

Bei ungleichen Achsenmaßstäben kann die Parabel optisch enger oder weiter wirken. Die Koordinaten und die beschriftete Skalierung sind entscheidend.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Parabel zeichnen · EinstiegGib die fünf Zeichnungspunkte von f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} bei x = −2, −1, 0, 1, 2 an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(−2)=4\mathsf{f(-2)=4}
      f(−1)=1\mathsf{f(-1)=1}
      f(0)=0\mathsf{f(0)=0}
      f(1)=1\mathsf{f(1)=1}
      f(2)=4\mathsf{f(2)=4}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnis(−2∣4),(−1∣1),(0∣0),(1∣1),(2∣4)\mathsf{(-2\mid4),(-1\mid1),(0\mid0),(1\mid1),(2\mid4)}.
  2. Aufgabe 2Parabel zeichnen · EinstiegBestimme Scheitel und Punkte im Abstand 1 und 2 für f(x)=(x+2)2+1\mathsf{f(x)=(x+2)^2+1}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S(−2∣1)\mathsf{S(-2\mid1)}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Abstand 1: Höhe 1+1=2\mathsf{1+1=2}.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Abstand 2: Höhe 1+4=5\mathsf{1+4=5}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnis(−3∣2),(−1∣2),(−4∣5),(0∣5)\mathsf{(−3\mid2),(−1\mid2),(−4\mid5),(0\mid5)} zusätzlich zum Scheitel.
  3. Aufgabe 3Parabel zeichnen · StandardBestimme Zeichnungspunkte für f(x)=−x2+3\mathsf{f(x)=-x^2+3} bei x = −2, −1, 0, 1, 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Quadratwerte: 4, 1, 0, 1, 4.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Negieren und 3 addieren: −1, 2, 3, 2, −1.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisNach unten geöffnet; Scheitel (0∣3)\mathsf{(0\mid3)}.
  4. Aufgabe 4Parabel zeichnen · StandardBei f(x)=2(x−1)2−1\mathsf{f(x)=2(x-1)^2-1}: Wie groß sind die Höhenänderungen gegenüber dem Scheitel bei Abstand 1 und 2?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Bei d = 1: 2⋅12=2\mathsf{2\cdot1^2=2}.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Bei d = 2: 2⋅22=8\mathsf{2\cdot2^2=8}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnis2 beziehungsweise 8 Einheiten nach oben.
  5. Aufgabe 5Parabel zeichnen · StandardZu einer Parabel mit Achse x = 3 gehört P(1∣5)\mathsf{P(1\mid5)}. Nenne den Spiegelpunkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Punkt liegt 2 Einheiten links der Achse.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Spiegelpunkt liegt 2 Einheiten rechts.

      x=3+2=5\mathsf{x=3+2=5}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisQ(5∣5)\mathsf{Q(5\mid5)}.
  6. Aufgabe 6Parabel zeichnen · StandardBerechne für f(x)=x2−4x+3\mathsf{f(x)=x^2-4x+3} die Werte bei x = 0, 1, 2, 3, 4 und beschreibe die Symmetrie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Werte: 3, 0, −1, 0, 3.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Gleiche Werte liegen beidseits von x = 2.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisSymmetrieachse x = 2; Scheitel (2∣−1)\mathsf{(2\mid-1)}.
  7. Aufgabe 7Parabel zeichnen · StandardZeichne f(x)=−(x−1)2+3\mathsf{f(x)=-(x-1)^2+3} auf D=[−1,3]\mathsf{D=[-1,3]} in das vorbereitete Koordinatensystem. Markiere Scheitel und Randpunkte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Vorbereitetes Koordinatensystem mit Aufgabenfunktion und unveränderten Bereichsgrenzen.

    Rechenweg und Ergebnis

    Vorbereitetes Koordinatensystem mit Aufgabenfunktion und unveränderten Bereichsgrenzen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung
      S(1∣3)\mathsf{S(1\mid3)}
      f(0)=f(2)=2\mathsf{f(0)=f(2)=2}
      f(−1)=f(3)=−1\mathsf{f(-1)=f(3)=-1}
    2. Schritt 2 · Erklärung

      Alle fünf Punkte mit glattem Bogen verbinden.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Beide Randpunkte gehören zum Bereich.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisNach unten geöffneter Abschnitt durch (−1∣−1),(0∣2),(1∣3),(2∣2),(3∣−1)\mathsf{(-1\mid-1),(0\mid2),(1\mid3),(2\mid2),(3\mid-1)}.
  8. Aufgabe 8Parabel zeichnen · VertiefungWelche Punkte enthält der Graph von f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} mit D={−1,0,1}\mathsf{D=\{-1,0,1\}}? Sollst du sie verbinden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      f(−1)=1\mathsf{f(-1)=1}, f(0)=0\mathsf{f(0)=0}, f(1)=1\mathsf{f(1)=1}.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Definitionsbereich enthält nur drei Werte.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDrei einzelne Punkte (−1∣1),(0∣0),(1∣1)\mathsf{(-1\mid1),(0\mid0),(1\mid1)}; keine verbindende Kurve.
  9. Aufgabe 9Parabel zeichnen · VertiefungEine Zeichnung von f(x)=(x−2)2\mathsf{f(x)=(x-2)^2} hat den Scheitel bei (−2∣0)\mathsf{(−2\mid0)}. Korrigiere den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der quadratische Ausdruck wird bei x = 2 null.

      f(2)=0\mathsf{f(2)=0}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDer richtige Scheitel ist (2∣0)\mathsf{(2\mid0)}.
  10. Aufgabe 10Parabel zeichnen · VertiefungWarum ist eine Zickzacklinie durch fünf korrekte Parabelpunkte kein korrekter Graph der quadratischen Funktion?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Zwischen den Punkten gilt weiter der quadratische Term.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Verlauf ist glatt und hat keine Ecken.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDie Punkte müssen durch einen glatten Parabelbogen verbunden werden; Strecken liefern andere Zwischenwerte.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich deute Parameter, Scheitel und Symmetrie einer Parabel.
  • Ich zeichne mit passenden Tabellen- und Spiegelpunkten.
  • Ich beachte den Definitionsbereich, die Skalierung und den glatten Verlauf.

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