Quadratische Funktionen · Erklären & üben

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen haben einen Parabelgraphen. Ihre Terme enthalten eine zweite Potenz als höchste Potenz von x; verschiedene Darstellungen machen unterschiedliche Eigenschaften sichtbar.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die allgemeine Form

Eine quadratische Funktion hat die Form $\mathsf{f(x)=ax^2+bx+c}$ mit $\mathsf{a\ne0}$ . Ist a = 0, fällt der quadratische Term weg; dann ist die Funktion nicht quadratisch.

Im reellen Grundmodell gilt $\mathsf{D=\mathbb R}$ . Der Wert c ist $\mathsf{f(0)}$ und damit der y-Achsenabschnitt. Der Graph heißt Parabel.

So geht es am Beispiel

Ordne die Parameter von $\mathsf{f(x)=2x^2-4x+3}$ zu.

\mathsf{a=2}

\mathsf{b=-4}

\mathsf{c=3}

\mathsf{f(0)=3}

Erklärung 02

Öffnung und Breite

Für $\mathsf{a>0}$ ist die Parabel nach oben geöffnet und besitzt einen tiefsten Punkt. Für $\mathsf{a<0}$ ist sie nach unten geöffnet und besitzt einen höchsten Punkt.

Bei gleichem Scheitel gilt: Ist $\mathsf{|a|>1}$ , ist die Parabel enger als die Normalparabel. Für $\mathsf{0<|a|<1}$ ist sie weiter. Das Vorzeichen bestimmt die Richtung, der Betrag die Form.

Der Scheitel ist der Punkt, an dem die Parabel ihre Bewegungsrichtung von Fallen zu Steigen oder umgekehrt wechselt.

Erklärung 03

Scheitelform und Symmetrie

Die Scheitelform lautet $\mathsf{f(x)=a(x-h)^2+k}$ . Daraus liest du den Scheitel $\mathsf{S(h\mid k)}$ und die Symmetrieachse $\mathsf{x=h}$ ab.

Für denselben Abstand d links und rechts vom Scheitel gilt $\mathsf{f(h-d)=f(h+d)=ad^2+k}$ . Diese Symmetrie hilft beim Zeichnen.

Parameterübersicht zur Scheitelform mit Scheitel, Symmetrie und Höhenänderung.

So geht es am Beispiel

Beschreibe $\mathsf{g(x)=-(x-2)^2+3}$ .

\mathsf{a=-1,\quad h=2,\quad k=3}

\mathsf{S(2\mid3)}

\mathsf{g(1)=-(1-2)^2+3=2}

\mathsf{g(3)=-(3-2)^2+3=2}

Erklärung 04

Darstellungen vergleichen

Durch Ausmultiplizieren kann dieselbe Funktion in einer anderen Form erscheinen. Verwechsle unterschiedliche Terme nicht mit unterschiedlichen Graphen.

In $\mathsf{a(x-h)^2+k}$ ist der Scheitel direkt sichtbar; in $\mathsf{ax^2+bx+c}$ der y-Achsenabschnitt. Die gezielte Umwandlung durch quadratische Ergänzung folgt in einem eigenen Thema.

Parabel mit Scheitel und zwei symmetrischen Punkten.

So geht es am Beispiel

Zeige, dass $\mathsf{(x-1)^2-2}$ und $\mathsf{x^2-2x-1}$ dieselbe Funktion beschreiben.

\mathsf{(x-1)^2=x^2-2x+1}

\mathsf{(x-1)^2-2=x^2-2x-1}

\mathsf{S(1\mid-2)}

\mathsf{f(0)=-1}

Erklärung 05

Parabeln im Kontext

Ein quadratisches Modell kann etwa eine Höhe in Abhängigkeit von Zeit beschreiben. Der reale Modellbereich ist häufig kleiner als $\mathsf{\mathbb R}$ .

Für $\mathsf{h(t)=-(t-2)^2+4}$ Meter auf $\mathsf{0\le t\le4}$ Sekunden liegt die maximale Höhe 4 Meter bei 2 Sekunden. Außerhalb dieses Zeitraums wird hier keine Aussage getroffen.

Nullstellen, Scheitelberechnung und Streckungen werden in den anschließenden Einzelthemen ausführlicher behandelt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Quadratische Funktionen · EinstiegWelche Terme sind quadratisch: $\mathsf{3x^2+1}$ , $\mathsf{0x^2+4x-2}$ , $\mathsf{x^3+x^2}$ ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Beim ersten Term ist der höchste Exponent 2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beim zweiten ist der Koeffizient vor x² null.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Beim dritten ist der höchste Exponent 3.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNur $\mathsf{3x^2+1}$ ist quadratisch.
02
Aufgabe 2Quadratische Funktionen · EinstiegLies a, b und c aus $\mathsf{f(x)=-2x^2+5x-7}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=-2}$
  $\mathsf{b=5}$
  $\mathsf{c=-7}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNach unten geöffnet; y-Achsenabschnitt −7.
03
Aufgabe 3Quadratische Funktionen · StandardBestimme Scheitel und Symmetrieachse von $\mathsf{f(x)=2(x+3)^2-1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+3=x-(-3)}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=-3}$ , $\mathsf{k=-1}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{S(-3\mid-1)}$ ; Achse x = −3; nach oben geöffnet.
04
Aufgabe 4Quadratische Funktionen · StandardVergleiche $\mathsf{f(x)=3x^2}$ und $\mathsf{g(x)=\frac12x^2}$ mit der Normalparabel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Faktoren sind positiv.
  $\mathsf{3>1}$
  $\mathsf{0<1/2<1}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisBeide öffnen nach oben. f ist enger, g weiter als $\mathsf{x^2}$ .
05
Aufgabe 5Quadratische Funktionen · StandardBerechne die Werte von $\mathsf{f(x)=(x-2)^2+1}$ bei x = 1, 2, 3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(1)=1+1=2}$
  $\mathsf{f(2)=1}$
  $\mathsf{f(3)=1+1=2}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisWerte 2, 1, 2; die äußeren Punkte liegen symmetrisch zur Achse x = 2.
06
Aufgabe 6Quadratische Funktionen · StandardMultipliziere $\mathsf{f(x)=(x+2)^2-3}$ aus und lies den y-Achsenabschnitt ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x+2)^2=x^2+4x+4}$
  $\mathsf{f(x)=x^2+4x+1}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisy-Achsenabschnitt 1; Scheitel aus der Ausgangsform $\mathsf{(-2\mid-3)}$ .
07
Aufgabe 7Quadratische Funktionen · StandardZeichne $\mathsf{f(x)=(x-1)^2-2}$ für $\mathsf{-1\le x\le3}$ in das vorbereitete Koordinatensystem. Markiere Scheitel und ein Spiegelpunktpaar.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{S(1\mid-2)}$
  $\mathsf{f(0)=f(2)=-1}$
  $\mathsf{f(-1)=f(3)=2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Glatten Parabelbogen durch die Punkte zeichnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisScheitel $\mathsf{(1\mid-2)}$ ; Spiegelpaare $\mathsf{(0\mid-1),(2\mid-1)}$ und $\mathsf{(-1\mid2),(3\mid2)}$ .
08
Aufgabe 8Quadratische Funktionen · VertiefungWelchen größten Wert hat $\mathsf{f(x)=-2(x-4)^2+5}$ auf $\mathsf{\mathbb R}$ und wo wird er angenommen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2(x-4)^2\le0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der quadratische Anteil wird bei x = 4 null.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisMaximum 5 bei x = 4; Scheitel $\mathsf{(4\mid5)}$ .
09
Aufgabe 9Quadratische Funktionen · VertiefungFür $\mathsf{h(t)=-(t-2)^2+4}$ auf [0,4]: Berechne Anfangshöhe, Höhe nach 1 Sekunde und höchste Höhe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h(0)=-4+4=0}$
  $\mathsf{h(1)=-1+4=3}$
  $\mathsf{h(2)=4}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis0 Meter, 3 Meter und maximal 4 Meter nach 2 Sekunden.
10
Aufgabe 10Quadratische Funktionen · VertiefungEine Parabel hat Scheitel $\mathsf{(2\mid-3)}$ und Faktor a = 1. Stelle ihren Term auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=a(x-h)^2+k}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=1}$ , $\mathsf{h=2}$ , $\mathsf{k=-3}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{f(x)=(x-2)^2-3}$ .

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich deute Parameter, Scheitel und Symmetrie einer Parabel.
Ich zeichne mit passenden Tabellen- und Spiegelpunkten.
Ich beachte den Definitionsbereich, die Skalierung und den glatten Verlauf.

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