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Lagebezeichnungen · Erklären & üben

Parallele Geraden

Parallele Geraden verlaufen in derselben Ebene in derselben Richtung. Hier unterscheiden wir echte Parallelen ohne gemeinsamen Punkt von identischen Geraden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Echt parallel oder identisch?

Zwei verschiedene Geraden einer Ebene sind echt parallel, wenn sie keinen Schnittpunkt besitzen. Ihr senkrechter Abstand ist überall gleich. Identische Geraden liegen vollständig aufeinander und haben unendlich viele gemeinsame Punkte. Hier bezeichnet „parallel“ ohne Zusatz echte Parallelität.

  1. Prüfe zuerst die Richtung.

  2. Prüfe danach, ob es verschiedene Geraden sind.

g∥h\mathsf{g\parallel h} bezeichnet hier verschiedene Geraden ohne Schnittpunkt.

Zwei verschiedene parallele Geraden mit Steigung ein Halb und unterschiedlichen Achsenabschnitten.

Erklärung 02

Zwei Wege zur Parallelen

Mit dem Geodreieck: Lege eine Kante auf g. Halte ein Lineal als Führung fest und verschiebe das Geodreieck ohne Drehung, bis die Zeichenkante durch P verläuft. Zeichne h. Alternativ zeichnest du durch P eine Senkrechte k zu g und danach durch P eine Senkrechte h zu k.

  1. P liegt außerhalb von g; dadurch ist h von g verschieden.

  2. Prüfe nach dem Zeichnen die Richtung und den Punkt P.

Zweimal senkrecht führt zu einer parallelen Richtung.

g und h sind beide senkrecht zur Hilfsgeraden k; h verläuft durch P.

Erklärung 03

Woran erkennst du Parallelen?

Ein kurzer Bildausschnitt kann täuschen: Geraden reichen unbegrenzt weiter. Vergleiche ihre Richtung, statt nur im sichtbaren Ausschnitt nach einem Schnittpunkt zu suchen. Gleiche Stufenwinkel an einer schneidenden Geraden sind ein weiteres Kennzeichen.

  1. Nutze bei Gitterbildern gleiche Steigungsdreiecke.

  2. Miss den Abstand senkrecht zu den Geraden, nicht beliebig schräg.

Gleiche Richtung allein unterscheidet echte Parallelen noch nicht von identischen Geraden.

Erklärung 04

Steigung und Achsenabschnitt

Bei y=mx+b\mathsf{y=mx+b} bestimmt m die Steigung und b den y-Achsenabschnitt. Zwei solche Geraden sind echt parallel, wenn ihre Steigungen gleich und ihre Achsenabschnitte verschieden sind. Vertikale Geraden haben die Form x=k\mathsf{x=k} und keine endliche Steigung.

  1. Vergleiche m.

  2. Bei gleichem m: Vergleiche b.

m1=m2\mathsf{m_1=m_2} und b1≠b2\mathsf{b_1\ne b_2} kennzeichnen echte Parallelen.

So geht es am Beispiel

Vergleiche g:y=2x+1\mathsf{g:y=2x+1} und h:y=2x−3\mathsf{h:y=2x-3}.

Beide Steigungen sind 2.

Die Achsenabschnitte 1 und −3 sind verschieden.

Ergebnis

g und h sind echt parallel.

So geht es am Beispiel

Suche die Parallele zu y=2x−3\mathsf{y=2x-3} durch P(2∣5)\mathsf{P(2|5)}.

5=2⋅2+b\mathsf{5=2\cdot2+b}
b=1\mathsf{b=1}

Ergebnis

y=2x+1\mathsf{y=2x+1}

Erklärung 05

Fehlende Angaben bestimmen

Die Steigung ist das Verhältnis aus Höhenänderung und waagerechter Änderung. Die waagerechte Änderung darf nicht null sein. Achte auf Vorzeichen: Beim Fallen ist die Höhenänderung negativ.

  1. m=ΔyΔx\mathsf{m=\frac{\Delta y}{\Delta x}}
    Δy=m⋅Δx\mathsf{\Delta y=m\cdot\Delta x}

Verwende auf beiden Achsen die angegebenen Einheiten.

So geht es am Beispiel

m=34\mathsf{m=\frac34} und Δx=4\mathsf{\Delta x=4}: Bestimme die Höhenänderung.

Δy=34⋅4=3\mathsf{\Delta y=\frac34\cdot4=3}

Ergebnis

Die Höhenänderung beträgt 3 Einheiten.

Erklärung 06

Wenn die Steigungen verschieden sind

Zwei Geraden mit verschiedenen endlichen Steigungen haben genau einen Schnittpunkt. Du findest ihn, indem du ihre Funktionsgleichungen gleichsetzt. Bei gleicher Steigung entsteht entweder ein Widerspruch oder eine für alle x wahre Gleichung.

  1. Unterscheide: kein, ein oder unendlich viele gemeinsame Punkte.

Weiterlernen: Beim Schnittpunkt zweier Geraden löst du die entstehende Gleichung nach x und setzt dann ein.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Parallele Geraden · AnwendenSind g:y=3x+2\mathsf{g:y=3x+2} und h:y=3x−4\mathsf{h:y=3x-4} echt parallel?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Steigungen sind beide 3.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Achsenabschnitte 2 und −4 sind verschieden.

    Ergebnis

    1. Begründete EntscheidungJa, gleiche Steigung und verschiedene Achsenabschnitte.
  2. Aufgabe 2Parallele Geraden · AnwendenEine Parallele hat die Steigung 23\mathsf{\frac23}. Bestimme die Höhenänderung bei einer waagerechten Änderung von 6 Einheiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Δy=23⋅6=4\mathsf{\Delta y=\frac23\cdot6=4}

    Ergebnis

    1. Höhenänderung4 Einheiten nach oben
  3. Aufgabe 3Parallele Geraden · AnwendenZeichne durch P eine Parallele h zu g. Beschrifte h und lass P erkennbar.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Parallele h

    Leere Zeichenvorlage mit g und einem Punkt P außerhalb von g.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      g steigt bei zwei Kästchen nach rechts um ein Kästchen.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Übertrage diese Richtung von P aus.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Verbinde etwa P(2|4) mit (4|5) und verlängere die Gerade.

    Ergebnis

    1. Parallele hh geht durch P und hat dieselbe Steigung wie g.
  4. Aufgabe 4Parallele Geraden · AnwendenBestimme die Parallele zu g:y=−3x+2\mathsf{g:y=-3x+2} durch P(2∣1)\mathsf{P(2|1)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y=−3x+b\mathsf{y=-3x+b}
      1=−3⋅2+b\mathsf{1=-3\cdot2+b}
      b=7\mathsf{b=7}

    Ergebnis

    1. Geradengleichungy=−3x+7\mathsf{y=-3x+7}
  5. Aufgabe 5Parallele Geraden · AnwendenBestimme die Parallele zur vertikalen Geraden x=−2\mathsf{x=-2} durch P(5∣3)\mathsf{P(5|3)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Auch die gesuchte Gerade ist vertikal.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Alle ihre Punkte haben dieselbe x-Koordinate wie P.

    Ergebnis

    1. Geradengleichungx=5\mathsf{x=5}
  6. Aufgabe 6Parallele Geraden · AnwendenVergleiche g:y=2x+1\mathsf{g:y=2x+1} und h:4x−2y=−2\mathsf{h:4x-2y=-2}. Sind sie echt parallel, identisch oder schneiden sie sich in genau einem Punkt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      4x−2y=−2\mathsf{4x-2y=-2}
      −2y=−4x−2\mathsf{-2y=-4x-2}
      y=2x+1\mathsf{y=2x+1}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.

    Ergebnis

    1. LagebeziehungIdentisch; unendlich viele gemeinsame Punkte.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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