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Ebenen · Erklären & üben

Parameterform in Koordinatenform

Zur Umwandlung der Parameterform brauchst du eine Normale zur Ebene und die rechte Seite der Koordinatengleichung. Zwei unabhängige Spannvektoren sind dafür Voraussetzung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine Normale aus beiden Spannrichtungen

Bestimme einen von null verschiedenen Vektor, dessen Skalarprodukt mit beiden Spannvektoren null ist. Das Kreuzprodukt ist ein möglicher Weg. Die Koeffizienten dieser Normalen werden die Koeffizienten vor x, y und z.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

n⃗⋅u⃗=0,n⃗⋅v⃗=0\mathsf{\vec n\cdot\vec u=0,\qquad\vec n\cdot\vec v=0}

Ebene z = 2

So geht es am Beispiel

Finde eine Normale zu u⃗=(1,0,1)\mathsf{\vec u=(1,0,1)} und v⃗=(0,1,1)\mathsf{\vec v=(0,1,1)}.

n⃗=(−1,−1,1)\mathsf{\vec n=(-1,-1,1)}
−1+1=0fu¨r beide Skalarprodukte\mathsf{-1+1=0\quad\textsf{für beide Skalarprodukte}}

Ergebnis

n⃗=(−1,−1,1)\mathsf{\vec n=(-1,-1,1)}

Erklärung 02

Den Stützpunkt einsetzen

Der Stützpunkt liefert die rechte Seite d\mathsf{d}. Setze seine Koordinaten in die linke Seite mit den gefundenen Normalenkomponenten ein. Zur Kontrolle prüfst du den Stützpunkt und beide Spannrichtungen; dann erfüllt jeder Parameterpunkt die Gleichung.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

d=n⃗⋅p⃗\mathsf{d=\vec n\cdot\vec p}

Ebene z = 2

So geht es am Beispiel

Forme x⃗=(1,0,2)+s(1,0,1)+t(0,1,1)\mathsf{\vec x=(1,0,2)+s(1,0,1)+t(0,1,1)} um.

n⃗=(−1,−1,1)\mathsf{\vec n=(-1,-1,1)}
d=−1+0+2=1\mathsf{d=-1+0+2=1}

Ergebnis

−x−y+z=1\mathsf{-x-y+z=1}

Erklärung 03

Nullkomponenten und andere Ausgangsdaten

Eine Nullkomponente der Normalen ist erlaubt; die betreffende Koordinate fällt weg. Zwei abhängige Spannvektoren beschreiben dagegen keine Ebene. Aus drei nicht kollinearen Punkten bildest du zuerst zwei Differenzvektoren. Bei einer Geraden und einem Punkt außerhalb verwendest du die Geradenrichtung und den Verbindungsvektor zum Punkt.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

u⃗∥v⃗⇒keine aufgespannte Ebene\mathsf{\vec u\parallel\vec v\quad\Rightarrow\quad\textsf{keine aufgespannte Ebene}}

So geht es am Beispiel

Wandle x⃗=(0,0,2)+s(1,0,0)+t(0,1,0)\mathsf{\vec x=(0,0,2)+s(1,0,0)+t(0,1,0)} um.

n⃗=(0,0,1),d=2\mathsf{\vec n=(0,0,1),\quad d=2}

Ergebnis

z=2\mathsf{z=2}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Parameterform in Koordinatenform · standardWandle x⃗=(0,0,3)+s(1,0,0)+t(0,1,0)\mathsf{\vec x=(0,0,3)+s(1,0,0)+t(0,1,0)} in Koordinatenform um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      n⃗=(0,0,1),d=3\mathsf{\vec n=(0,0,1),\quad d=3}

    Ergebnis

    1. Koordinatenformz=3\mathsf{z=3}
  2. Aufgabe 2Parameterform in Koordinatenform · standardWandle x⃗=(1,0,0)+s(1,1,0)+t(0,0,1)\mathsf{\vec x=(1,0,0)+s(1,1,0)+t(0,0,1)} um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      n⃗=(1,−1,0)\mathsf{\vec n=(1,-1,0)}
      d=1\mathsf{d=1}

    Ergebnis

    1. Koordinatenformx−y=1\mathsf{x-y=1}
  3. Aufgabe 3Parameterform in Koordinatenform · standardZeichne das Dreieck ABC mit A(0∣0∣2)\mathsf{A(0|0|2)}, B(2∣0∣2)\mathsf{B(2|0|2)}, C(0∣2∣2)\mathsf{C(0|2|2)} und den Normalenpfeil A→N für N(0∣0∣3)\mathsf{N(0|0|3)}. Gib die daraus folgende Koordinatenform an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Normalenzeichnung

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung
      n⃗=(0,0,1),p⃗=(0,0,2)\mathsf{\vec n=(0,0,1),\quad\vec p=(0,0,2)}
      d=2\mathsf{d=2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. NormalenzeichnungDreieck ABC und Pfeil A→N.
    2. Koordinatenformz=2\mathsf{z=2}
  4. Aufgabe 4Parameterform in Koordinatenform · standardBestimme die Koordinatenform durch A(1∣0∣0)\mathsf{A(1|0|0)}, B(0∣1∣0)\mathsf{B(0|1|0)}, C(0∣0∣1)\mathsf{C(0|0|1)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      u⃗=(−1,1,0),v⃗=(−1,0,1)\mathsf{\vec u=(-1,1,0),\quad\vec v=(-1,0,1)}
      n⃗=(1,1,1),d=1\mathsf{\vec n=(1,1,1),\quad d=1}

    Ergebnis

    1. Koordinatenformx+y+z=1\mathsf{x+y+z=1}
  5. Aufgabe 5Parameterform in Koordinatenform · standardBestimme die Koordinatenform der Ebene durch g:x⃗=(0,0,1)+s(1,0,0)\mathsf{g:\vec x=(0,0,1)+s(1,0,0)} und P(0∣1∣1)\mathsf{P(0|1|1)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Zusätzlicher Spannvektor: (0,1,0)\mathsf{(0,1,0)}.

      n⃗=(0,0,1),d=1\mathsf{\vec n=(0,0,1),\quad d=1}

    Ergebnis

    1. Koordinatenformz=1\mathsf{z=1}
  6. Aufgabe 6Parameterform in Koordinatenform · standardWarum liefert x⃗=(0,0,0)+s(1,2,3)+t(2,4,6)\mathsf{\vec x=(0,0,0)+s(1,2,3)+t(2,4,6)} keine eindeutige Koordinatenform einer Ebene?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (2,4,6)=2(1,2,3)\mathsf{(2,4,6)=2(1,2,3)}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Parametermenge ist eine Gerade; durch sie gehen unendlich viele Ebenen.

    Ergebnis

    1. BegründungDie Spannvektoren sind abhängig und spannen nur eine Gerade auf.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Punkt, Richtungsvektor und Normalenvektor.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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