Ebenen · Erklären & üben

Koordinatenform in Parameterform

Aus einer Koordinatenform kannst du eine Parameterform gewinnen, indem du drei geeignete Punkte bestimmst oder zwei Koordinaten frei wählst. Beide Wege müssen zwei unabhängige Spannrichtungen ergeben.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Drei passende Punkte auswählen

Wähle nicht kollineare Punkte, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. Achsenschnittpunkte sind praktisch, wenn sie existieren und verschieden sind. Bei fehlenden oder zusammenfallenden Spurpunkten wählst du andere Koordinatenwerte.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{ax+by+cz=d}$

So geht es am Beispiel

Finde drei geeignete Punkte auf $\mathsf{x+y+z=3}$ .

\mathsf{A(3|0|0),\quad B(0|3|0),\quad C(0|0|3)}

Jeder Punkt erfüllt die Gleichung, und die Punkte liegen nicht auf einer Geraden.

Erklärung 02

Differenzen bilden und einsetzen

Ein Punkt liefert den Stützvektor. Die Verbindungen zu den beiden anderen liefern die Spannvektoren. Prüfe, dass sie nicht parallel sind. Andere passende Punkte oder skalierte unabhängige Richtungen können andere, aber gleichwertige Parameterformen ergeben.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{\vec x=\vec a+s(\vec b-\vec a)+t(\vec c-\vec a)}$

So geht es am Beispiel

Parametrisiere die Ebene durch $\mathsf{A(3|0|0)}$ , $\mathsf{B(0|3|0)}$ und $\mathsf{C(0|0|3)}$ .

\mathsf{\vec u=(-3,3,0),\quad\vec v=(-3,0,3)}

Erklärung 03

Zwei freie Koordinaten wählen

Löse nach einer Koordinate mit von null verschiedenem Koeffizienten auf. Setze die beiden anderen Koordinaten als Parameter. Sortiere dann die konstante Komponente sowie die Koeffizienten der Parameter zu drei Vektoren. Durch Einsetzen kontrollierst du alle erzeugten Punkte gleichzeitig.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{2x-y+z=4\quad\Rightarrow\quad x=2+\tfrac12y-\tfrac12z}$

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{2x-y+z=4}$ mit $\mathsf{y=s,z=t}$ um.

\mathsf{x=2+s/2-t/2}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Koordinatenform in Parameterform · standardWandle $\mathsf{z=2}$ in eine Parameterform um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameterform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=s,\quad y=t,\quad z=2}$
Ergebnis
1. Parameterform $\mathsf{\vec x=(0,0,2)+s(1,0,0)+t(0,1,0)}$
02
Aufgabe 2Koordinatenform in Parameterform · standardWandle $\mathsf{x+y=4}$ in eine Parameterform einer Ebene im Raum um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameterform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=s,\quad z=t,\quad x=4-s}$
Ergebnis
1. Parameterform $\mathsf{\vec x=(4,0,0)+s(-1,1,0)+t(0,0,1)}$
03
Aufgabe 3Koordinatenform in Parameterform · standardVerbinde die drei vorgegebenen Achsenpunkte der Ebene $\mathsf{x+y+z=6}$ zu einem Dreieck. Verwende $\mathsf{S_x}$ als Stützpunkt und notiere eine Parameterform mit den Verbindungen zu den beiden anderen Punkten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ebenendreieck
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Ebenendreieck
Parameterform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\vec u=(-6,6,0),\quad\vec v=(-6,0,6)}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. EbenendreieckDreieck durch die drei angegebenen Achsenpunkte.
2. Parameterform $\mathsf{\vec x=(6,0,0)+s(-6,6,0)+t(-6,0,6)}$
04
Aufgabe 4Koordinatenform in Parameterform · standardParametrisiere $\mathsf{2x-y+z=4}$ mit $\mathsf{y=s,z=t}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameterform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2+s/2-t/2}$
Ergebnis
1. Parameterform $\mathsf{\vec x=(2,0,0)+s(1/2,1,0)+t(-1/2,0,1)}$
05
Aufgabe 5Koordinatenform in Parameterform · standardPrüfe die Parameterform $\mathsf{\vec x=(4,0,0)+s(-1,1,0)+t(0,0,1)}$ in $\mathsf{x+y=4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+y=(4-s)+s=4}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Parameter t verändert nur z; diese Koordinate kommt nicht in der Gleichung vor.
Ergebnis
1. ErgebnisDie Gleichung gilt für alle s und t.
06
Aufgabe 6Koordinatenform in Parameterform · standardFür $\mathsf{z=2}$ werden $\mathsf{A(0|0|2)}$ , $\mathsf{B(1|0|2)}$ und $\mathsf{C(2|0|2)}$ gewählt. Warum reichen sie nicht zum Aufspannen der ganzen Ebene?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die drei Punkte liegen auf einer Geraden.
Ergebnis
1. FehlerDie Spannvektoren sind abhängig; wähle einen dritten Punkt außerhalb der Geraden AB.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Punkt, Richtungsvektor und Normalenvektor.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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