Weitere Funktionstypen · Erklären & üben

Partialbruchzerlegung

Eine Partialbruchzerlegung schreibt einen rationalen Ausdruck als Summe einfacherer Brüche. Wir betrachten reelle lineare Nennerfaktoren, einschließlich eines doppelten Faktors, und prüfen die Zerlegung durch Zusammenfassen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vorbereiten: Definitionsbereich, Division, Faktoren

Notiere zuerst die ursprünglichen Nennernullstellen. Kürze gemeinsame Faktoren, ohne diese Ausschlüsse zu vergessen. Der zu zerlegende Bruch soll echt gebrochen sein: Zählergrad kleiner als Nennergrad.

Ist der Zählergrad mindestens so groß, führe zuerst eine Polynomdivision durch. Nur der verbleibende echte Bruch wird zerlegt. In diesem Thema zerfällt der Nenner in reelle lineare Faktoren; komplexe Faktoren werden nicht behandelt.

Erklärung 02

Verschiedene lineare Faktoren

Für den Nenner (x−a)(x−b) mit a ≠ b lautet der Ansatz $\mathsf{\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}}$ . Multipliziere mit dem Hauptnenner und vergleiche anschließend Koeffizienten.

Die Bruchgleichung gilt nur außerhalb der Nennernullstellen. Die daraus gewonnene Polynomidentität darf nachher auch an diesen Stellen ausgewertet werden.

Beschrifteter Ansatz für verschiedene lineare Faktoren: ein Summand je Faktor und Koeffizientenvergleich nach Multiplikation mit dem Hauptnenner.

So geht es am Beispiel

Zerlege (3x+1)/((x−1)(x+1)).

\mathsf{\frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}}

\mathsf{3x+1=A(x+1)+B(x-1)}

\mathsf{3x+1=(A+B)x+(A-B)}

\mathsf{A+B=3}

\mathsf{A-B=1}

\mathsf{2A=4}

\mathsf{A=2}

\mathsf{B=1}

$\mathsf{2(x+1)+(x-1)=3x+1}$ — Zählerprobe.

Erklärung 03

Ein doppelter linearer Faktor

Bei einem Nenner (x−a)² müssen beide Potenzen vorkommen: A/(x−a)+B/(x−a)². Bei weiteren einfachen Faktoren kommen entsprechende Summanden hinzu.

Nur den höchsten Nennergrad anzusetzen reicht im Allgemeinen nicht. Ein Koeffizient darf sich später als 0 herausstellen; der Ansatz muss dennoch vollständig sein.

Beschrifteter Ansatz für einen doppelten linearen Faktor: einfacher und quadratischer Nenner werden beide benötigt.

So geht es am Beispiel

Zerlege (2x+3)/(x−1)².

\mathsf{\frac{2x+3}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}}

\mathsf{2x+3=A(x-1)+B}

\mathsf{2x+3=Ax+(B-A)}

\mathsf{A=2}

\mathsf{B-A=3}

\mathsf{B=5}

$\mathsf{2(x-1)+5=2x+3}$ — Probe.

Erklärung 04

Zuerst Polynomdivision bei unechten Brüchen

Der ganzrationale Anteil bleibt vor der Partialbruchsumme stehen. Die Zerlegung verändert den ursprünglichen Definitionsbereich nicht.

So geht es am Beispiel

Zerlege (x²+1)/(x²−x).

\mathsf{x^2+1=(x^2-x)+(x+1)}

\mathsf{\frac{x^2+1}{x^2-x}=1+\frac{x+1}{x(x-1)}}

\mathsf{\frac{x+1}{x(x-1)}=\frac A x+\frac B{x-1}}

\mathsf{x+1=A(x-1)+Bx}

\mathsf{A+B=1}

\mathsf{-A=1}

\mathsf{A=-1}

\mathsf{B=2}

$\mathsf{x(x-1)-(x-1)+2x=x^2+1}$ — Gesamtprobe.

Erklärung 05

Prüfen durch gemeinsamen Nenner

Bringe die gefundenen Summanden auf den ursprünglichen gekürzten Nenner und fasse ihre Zähler zusammen. So prüfst du die ganze Identität statt nur einzelner Zahlenwerte.

Ein Beispiel für einen vollständigen Ansatz mit doppeltem und einfachem Faktor ist A/x+B/x²+C/(x−1). Nach Multiplikation mit x²(x−1) entsteht ein kleines lineares Gleichungssystem.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Partialbruchzerlegung · EinstiegZerlege 1/(x(x+1)) und nenne den Definitionsbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac1{x(x+1)}=\frac A x+\frac B{x+1}}$
  $\mathsf{1=A(x+1)+Bx}$
  $\mathsf{A+B=0}$
  $\mathsf{A=1}$
  $\mathsf{B=-1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x+1)-x=1}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{1/x-1/(x+1)}$ ; x ≠ 0, −1.
02
Aufgabe 2Partialbruchzerlegung · EinstiegZerlege (5x−1)/((x−1)(x+1)).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5x-1=A(x+1)+B(x-1)}$
  $\mathsf{A+B=5}$
  $\mathsf{A-B=-1}$
  $\mathsf{2A=4}$
  $\mathsf{A=2}$
  $\mathsf{B=3}$
  $\mathsf{2(x+1)+3(x-1)=5x-1}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{2/(x-1)+3/(x+1)}$ ; x ≠ ±1.
03
Aufgabe 3Partialbruchzerlegung · StandardZerlege (3x+2)/x².Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{3x+2}{x^2}=\frac A x+\frac B{x^2}}$
  $\mathsf{3x+2=Ax+B}$
  $\mathsf{A=3,\quad B=2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+2=3x+2}$ — gemeinsamer Zähler.
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{3/x+2/x^2}$ ; x ≠ 0.
04
Aufgabe 4Partialbruchzerlegung · StandardZerlege (x+4)/(x−2)².Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+4=A(x-2)+B}$
  $\mathsf{A=1}$
  $\mathsf{B-2A=4}$
  $\mathsf{B=6}$
  $\mathsf{(x-2)+6=x+4}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{1/(x-2)+6/(x-2)^2}$ ; x ≠ 2.
05
Aufgabe 5Partialbruchzerlegung · StandardZerlege (x²+3x+1)/(x(x+1)); beginne mit der Division.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+3x+1=(x^2+x)+(2x+1)}$
  $\mathsf{\frac{x^2+3x+1}{x(x+1)}=1+\frac{2x+1}{x(x+1)}}$
  $\mathsf{2x+1=A(x+1)+Bx}$
  $\mathsf{A=1}$
  $\mathsf{A+B=2}$
  $\mathsf{B=1}$
  $\mathsf{x(x+1)+(x+1)+x=x^2+3x+1}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{1+1/x+1/(x+1)}$ ; x ≠ 0, −1.
06
Aufgabe 6Partialbruchzerlegung · StandardZerlege 1/(x²(x−1)) mit vollständigem Ansatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac1{x^2(x-1)}=\frac A x+\frac B{x^2}+\frac C{x-1}}$
  $\mathsf{1=Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2}$
  $\mathsf{1=(A+C)x^2+(B-A)x-B}$
  $\mathsf{A+C=0}$
  $\mathsf{B-A=0}$
  $\mathsf{-B=1}$
  $\mathsf{B=-1,\quad A=-1,\quad C=1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-x(x-1)-(x-1)+x^2=1}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{-1/x-1/x^2+1/(x-1)}$ ; x ≠ 0, 1.
07
Aufgabe 7Partialbruchzerlegung · StandardJemand setzt für (x+2)/(x−1)² nur B/(x−1)² an. Warum reicht das nicht? Ergänze die Zerlegung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Zähleridentität x+2 = B wäre für konstantes B unmöglich.
  $\mathsf{x+2=A(x-1)+B}$
  $\mathsf{A=1}$
  $\mathsf{B=3}$
  $\mathsf{(x-1)+3=x+2}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{1/(x-1)+3/(x-1)^2}$ ; x ≠ 1.
08
Aufgabe 8Partialbruchzerlegung · VertiefungPrüfe die behauptete Zerlegung 2/(x²−1) = 1/(x−1)−1/(x+1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac1{x-1}-\frac1{x+1}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}}$
  $\mathsf{=\frac2{x^2-1}}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisRichtig für x ≠ −1 und x ≠ 1.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe zuerst Grad und Definitionsbereich.
Ich setze bei doppelten Faktoren alle nötigen Potenzen an.
Ich vergleiche die Koeffizienten der Polynomidentität.
Ich prüfe die Zerlegung mit einem gemeinsamen Nenner.

AT Academy · Version 2026-10-21