Koordinatensysteme · Erklären & üben

Polarkoordinaten

Polarkoordinaten geben einen Punkt der Ebene durch Abstand und Richtung an. Wir schreiben $\mathsf{(r,\varphi)}$ : zuerst der Abstand zum Ursprung, dann der Winkel. Alle Winkel stehen hier im Bogenmaß; $\mathsf{\pi}$ entspricht $\mathsf{180^\circ}$ .

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Abstand und orientierter Winkel

Der Radius erfüllt $\mathsf{r\ge0}$ . Der Winkel $\mathsf{\varphi\in[0,2\pi)}$ beginnt an der positiven x-Achse und läuft gegen den Uhrzeigersinn. Für einen Punkt außerhalb des Ursprungs ist diese Wahl eindeutig. Andere Winkel unterscheiden sich um ganze Vielfache von $\mathsf{2\pi}$ ; negative Radien verwenden wir nicht.

Lege Koordinatenreihenfolge und Winkelkonvention fest.
Rechne mit den angegebenen Formeln und prüfe Vorzeichen sowie Sonderfälle.

$\mathsf{r\ge0,\qquad 0\le\varphi<2\pi}$

So geht es am Beispiel

Wo liegt der Punkt $\mathsf{(r,\varphi)=(4,\pi/3)}$ ?

Der Winkel $\mathsf{\pi/3}$ entspricht $\mathsf{60^\circ}$ .

Vom Ursprung gehst du auf diesem Strahl vier Einheiten nach außen.

Erklärung 02

Vom Winkel zu x und y

Die Projektionen des Radius auf die Achsen liefern x und y. Die Formeln gelten in allen Quadranten, weil Sinus und Kosinus die passenden Vorzeichen besitzen. Stelle einen Taschenrechner für diese Winkel auf Bogenmaß.

Lege Koordinatenreihenfolge und Winkelkonvention fest.
Rechne mit den angegebenen Formeln und prüfe Vorzeichen sowie Sonderfälle.

$\mathsf{x=r\cos\varphi,\qquad y=r\sin\varphi}$

So geht es am Beispiel

Rechne $\mathsf{(4,\pi/3)}$ in kartesische Koordinaten um.

\mathsf{x=4\cdot\frac12=2}

\mathsf{y=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3}

Erklärung 03

Radius und Quadrant bestimmen

Der Radius folgt aus dem Satz des Pythagoras. Bestimme den Winkel aus den Vorzeichen und einem passenden Bezugswinkel. Die Funktion $\mathsf{\operatorname{atan2}(y,x)}$ berücksichtigt beide Koordinaten; einen negativen Rückgabewinkel ergänzt du um $\mathsf{2\pi}$ . Bei $\mathsf{r=0}$ ist jeder Winkel möglich. Der Ausdruck $\mathsf{\arctan(y/x)}$ allein verliert die Quadranteninformation und ist für $\mathsf{x=0}$ nicht definiert.

Lege Koordinatenreihenfolge und Winkelkonvention fest.
Rechne mit den angegebenen Formeln und prüfe Vorzeichen sowie Sonderfälle.

$\mathsf{r=\sqrt{x^2+y^2}}$

So geht es am Beispiel

Bestimme Polarkoordinaten von $\mathsf{P(-3|3)}$ .

\mathsf{r=\sqrt{9+9}=3\sqrt2}

Der Punkt liegt im zweiten Quadranten; sein Bezugswinkel ist π/4.

\mathsf{\varphi=\pi-\pi/4=3\pi/4}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Polarkoordinaten · standardRechne $\mathsf{(r,\varphi)=(5,\pi/2)}$ um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x
y
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\cos(\pi/2)=0,\quad\sin(\pi/2)=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. x $\mathsf{x=0}$
2. y $\mathsf{y=5}$
02
Aufgabe 2Polarkoordinaten · standardBestimme Polarkoordinaten von $\mathsf{P(-2|-2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Radius
Winkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=\sqrt{4+4}=2\sqrt2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Koordinaten sind negativ: dritter Quadrant.
  $\mathsf{\varphi=\pi+\pi/4=5\pi/4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Radius $\mathsf{r=2\sqrt2}$
2. Winkel $\mathsf{\varphi=5\pi/4}$
03
Aufgabe 3Polarkoordinaten · standardGeben $\mathsf{(2,\pi/6)}$ und $\mathsf{(2,13\pi/6)}$ denselben Punkt an? Welche Darstellung erfüllt unseren Winkelbereich?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gleicher Punkt
Darstellung im vereinbarten Bereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{13\pi/6-\pi/6=2\pi}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine volle Umdrehung ändert die Richtung nicht.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gleicher PunktJa.
2. Darstellung im vereinbarten Bereich $\mathsf{(2,\pi/6)}$
04
Aufgabe 4Polarkoordinaten · standardDie Vorlage besitzt Kreise mit Radien1,2,3 und Strahlen im Abstand $\mathsf{\pi/6}$ . Markiere $\mathsf{P}$ mit $\mathsf{(r,\varphi)=(3,\pi/3)}$ . Zeichne den Radius OP und markiere den Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\pi/3}$ entspricht dem zweiten Strahl gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse.
2. Schritt 2 · Erklärung
  P liegt auf diesem Strahl am dritten Kreis.
Ergebnis
1. ZeichnungP am Schnitt des Kreises r=3 mit dem Strahl φ=π/3; Radius und Winkelmarkierung.
05
Aufgabe 5Polarkoordinaten · standardWelche Polarkoordinaten hat der Ursprung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Radius
Winkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Sein Radius ist null. Jede Richtung führt bei Abstand null zum selben Punkt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Radius $\mathsf{r=0}$
2. WinkelBeliebiges $\mathsf{\varphi\in[0,2\pi)}$ .
06
Aufgabe 6Polarkoordinaten · standardFür $\mathsf{P(-1|\sqrt3)}$ liefert $\mathsf{\arctan(y/x)=-\pi/3}$ . Warum ist das nicht der richtige Polarwinkel? Gib ihn an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Polarwinkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  P liegt im zweiten Quadranten. Der negative Winkel würde in den vierten Quadranten zeigen.
  $\mathsf{\varphi=\pi-\pi/3=2\pi/3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. BegründungDer Quotient allein unterscheidet gegenüberliegende Quadranten nicht.
2. Polarwinkel $\mathsf{\varphi=2\pi/3}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich messe den Winkel von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn.
Ich bestimme beim Rückweg den richtigen Quadranten.
Ich kenne die Mehrdeutigkeit am Ursprung.

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