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Koordinatensysteme · Erklären & üben

Zylinderkoordinaten

Zylinderkoordinaten ergänzen Polarkoordinaten um eine Höhe. Wir schreiben (ρ,φ,z)\mathsf{(\rho,\varphi,z)}: Abstand zur z-Achse, Azimutwinkel und Höhe. Der Radius ρ\mathsf{\rho} ist im Allgemeinen nicht der Abstand zum Ursprung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Polarkoordinaten der Grundrissprojektion

Der Grundriss von P(x∣y∣z)\mathsf{P(x|y|z)} liegt bei Q(x∣y∣0)\mathsf{Q(x|y|0)}. Sein Abstand zum Ursprung ist ρ≥0\mathsf{\rho\ge0}. Der Winkel φ∈[0,2π)\mathsf{\varphi\in[0,2\pi)} wird in der xy-Ebene von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen, von oben aus positiver z-Richtung betrachtet. Die Höhe z\mathsf{z} darf negativ sein. Alle Winkel stehen im Bogenmaß.

  1. Lege Koordinatenreihenfolge und Winkelkonvention fest.

  2. Rechne mit den angegebenen Formeln und prüfe Vorzeichen sowie Sonderfälle.

ρ≥0,0≤φ<2π,z∈R\mathsf{\rho\ge0,\quad0\le\varphi<2\pi,\quad z\in\mathbb R}

Radius zur Achse und Höhe

So geht es am Beispiel

Deute (ρ,φ,z)=(2,π/2,−1)\mathsf{(\rho,\varphi,z)=(2,\pi/2,-1)}.

Der Grundriss liegt zwei Einheiten auf der positiven y-Achse.

Die Höhe minus eins führt eine Einheit unter die xy-Ebene.

Ergebnis

P(0∣2∣−1)\mathsf{P(0|2|-1)}

Erklärung 02

Die Höhe bleibt erhalten

Für x und y gelten dieselben Projektionsformeln wie in der Ebene. Die Höhe wird unverändert übernommen. Der Abstand zum Ursprung enthält zusätzlich den vertikalen Anteil.

  1. Lege Koordinatenreihenfolge und Winkelkonvention fest.

  2. Rechne mit den angegebenen Formeln und prüfe Vorzeichen sowie Sonderfälle.

x=ρcos⁡φ,y=ρsin⁡φ,z=z\mathsf{x=\rho\cos\varphi,\quad y=\rho\sin\varphi,\quad z=z}

Achsabstand und Ursprungabstand

So geht es am Beispiel

Wie weit liegt ein Punkt mit ρ=3,z=4\mathsf{\rho=3,z=4} vom Ursprung entfernt?

d=ρ2+z2=9+16=5\mathsf{d=\sqrt{\rho^2+z^2}=\sqrt{9+16}=5}

Der Winkel ist für diesen Abstand ohne Bedeutung.

Ergebnis

d=5\mathsf{d=5}

Erklärung 03

Vom Raumpunkt zum Koordinatentripel

Berechne ρ\mathsf{\rho} aus x und y und bestimme den Quadranten im Grundriss. atan2⁡(y,x)\mathsf{\operatorname{atan2}(y,x)} liefert den Azimut; negative Winkel werden um 2π\mathsf{2\pi} ergänzt. Auf der z-Achse ist ρ=0\mathsf{\rho=0}, daher bleibt der Winkel beliebig. Die Punktmenge ρ=R\mathsf{\rho=R} mit R>0\mathsf{R>0} ist ein unendlich langer Zylindermantel, wenn z frei bleibt.

  1. Lege Koordinatenreihenfolge und Winkelkonvention fest.

  2. Rechne mit den angegebenen Formeln und prüfe Vorzeichen sowie Sonderfälle.

ρ=x2+y2\mathsf{\rho=\sqrt{x^2+y^2}}

So geht es am Beispiel

Bestimme Zylinderkoordinaten von P(−2∣2∣3)\mathsf{P(-2|2|3)}.

ρ=4+4=22\mathsf{\rho=\sqrt{4+4}=2\sqrt2}

Der Grundriss liegt im zweiten Quadranten mit Bezugswinkel π/4.

φ=3π/4,z=3\mathsf{\varphi=3\pi/4,\quad z=3}

Ergebnis

(ρ,φ,z)=(22,3π/4,3)\mathsf{(\rho,\varphi,z)=(2\sqrt2,3\pi/4,3)}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Zylinderkoordinaten · standardRechne (ρ,φ,z)=(4,π,−2)\mathsf{(\rho,\varphi,z)=(4,\pi,-2)} in kartesische Koordinaten um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x=4(−1)=−4,y=4⋅0=0\mathsf{x=4(-1)=-4,\quad y=4\cdot0=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Höhe bleibt minus zwei.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. xx=−4\mathsf{x=-4}
    2. yy=0\mathsf{y=0}
    3. zz=−2\mathsf{z=-2}
  2. Aufgabe 2Zylinderkoordinaten · standardGib Zylinderkoordinaten von P(0∣−3∣2)\mathsf{P(0|-3|2)} an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ρ=3\mathsf{\rho=3}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die negative y-Achse hat im gewählten Bereich den Winkel 3π/2.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Achsabstandρ=3\mathsf{\rho=3}
    2. Winkelφ=3π/2\mathsf{\varphi=3\pi/2}
    3. Höhez=2\mathsf{z=2}
  3. Aufgabe 3Zylinderkoordinaten · standardEin Punkt hat ρ=5,z=12\mathsf{\rho=5,z=12}. Bestimme seinen Abstand zur z-Achse und zum Ursprung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      dO=52+122=169=13\mathsf{d_O=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Abstand zur z-Achse5\mathsf{5}
    2. Abstand zum Ursprung13\mathsf{13}
  4. Aufgabe 4Zylinderkoordinaten · standardDie räumliche Vorlage zeigt Q(2∣0∣0)\mathsf{Q(2|0|0)} und P(2∣0∣3)\mathsf{P(2|0|3)}. Verbinde O mit Q sowie Q mit P. Beschrifte die Strecken mit ρ=2\mathsf{\rho=2} und z=3\mathsf{z=3} und notiere die Zylinderkoordinaten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Zeichnung

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Q liegt auf der positiven x-Achse, daher ist φ=0.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      QP verläuft parallel zur z-Achse.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. ZeichnungOQ als Achsabstand und QP als Höhe ergänzt.
    2. Zylinderkoordinaten(2,0,3)\mathsf{(2,0,3)}
  5. Aufgabe 5Zylinderkoordinaten · standardGib alle möglichen Zylinderkoordinaten des Punktes P(0∣0∣−4)\mathsf{P(0|0|-4)} im vereinbarten Winkelbereich an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      P liegt auf der z-Achse; sein Grundriss ist der Ursprung.

    Ergebnis

    1. Koordinaten(0,φ,−4)\mathsf{(0,\varphi,-4)} mit 0≤φ<2π\mathsf{0\le\varphi<2\pi}.
  6. Aufgabe 6Zylinderkoordinaten · standardBeschreibe die Punktmenge ρ=2, z=3\mathsf{\rho=2,\ z=3}, während φ\mathsf{\varphi} den ganzen Winkelbereich durchläuft.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Höhe ist fest und der Grundriss durchläuft einen Kreis mit Radius2.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. FormKreis mit Radius2 in der Ebene z=3.
    2. MittelpunktM(0∣0∣3)\mathsf{M(0|0|3)}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Achsabstand ρ und Ursprungabstand.
  • Ich lasse die z-Koordinate beim Umrechnen unverändert.
  • Ich beachte die beliebige Winkelwahl auf der z-Achse.

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