Polynome · Erklären & üben

Polynom

Ein Polynom in x ist eine endliche Summe von Potenzen mit nichtnegativen ganzen Exponenten und festen Koeffizienten. Vor dem Bestimmen des Grades fasst du gleiche Potenzen zusammen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bausteine eines Polynoms

Ein Polynom hat die Form aₙx hoch n+…+a₁x+a₀. Die Koeffizienten sind hier reelle Zahlen. Ein Bruch als Koeffizient ist erlaubt, ein x im Nenner im vereinfachten Polynomterm nicht.

Beispiele sind 3x²−2x+1, −x⁵ und 7. Ausdrücke wie 1/x, √x oder 2 hoch x sind keine Polynome in x.

Polynomfunktionen sind auf ganz R definiert. Ein ursprünglich eingeschränkter Term wird durch Kürzen nicht automatisch zu derselben Funktion auf ganz R.

Erklärung 02

Grad, Leitkoeffizient und fehlende Potenzen

Der Grad eines von null verschiedenen Polynoms ist der höchste Exponent mit einem von null verschiedenen Koeffizienten. Der zugehörige Faktor heißt Leitkoeffizient.

Fehlende Potenzen haben den Koeffizienten 0. Eine nichtnull konstante Funktion hat Grad 0.

Das Nullpolynom hat alle Koeffizienten 0. Sein Grad wird hier nicht definiert; es darf nicht mit einem konstanten Polynom ungleich null verwechselt werden.

Beschrifteter Polynomterm mit Grad, Nullkoeffizienten, Leitkoeffizient und konstantem Glied.

So geht es am Beispiel

Bestimme Grad und Koeffizienten von p(x)=−2x⁴+3x−5.

$\mathsf{p(x)=-2x^4+0x^3+0x^2+3x-5}$ — fehlende Terme.

$\mathsf{a_4=-2,\ a_3=0,\ a_2=0,\ a_1=3,\ a_0=-5}$ — ablesen.

Erklärung 03

Gleichartige Terme zuerst zusammenfassen

Beim Addieren und Subtrahieren werden nur gleiche Potenzen zusammengefasst. Beim Multiplizieren wird jeder Summand des einen Faktors mit jedem Summanden des anderen multipliziert.

Durch Aufheben der höchsten Potenzen kann der Grad einer Summe kleiner werden. Für Produkte zweier von null verschiedener Polynome addieren sich die Grade.

So geht es am Beispiel

Vereinfache (2x³+x²)−(2x³−4x+1).

$\mathsf{2x^3+x^2-2x^3+4x-1}$ — Minusklammer.

$\mathsf{x^2+4x-1}$ — gleichartige Terme.

Erklärung 04

Polynomwert und Nullstelle

Den Wert p(a) erhältst du durch Einsetzen. Negative Eingaben gehören in Klammern. Eine Nullstelle erfüllt p(a)=0.

Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n verschiedene reelle Nullstellen. Es muss nicht n reelle Nullstellen besitzen: x²+1 hat keine.

Das Nullpolynom ist ein Sonderfall: Jede reelle Zahl ist eine Nullstelle.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Polynom · GrundlagenBestimme Grad, Leitkoeffizient und konstantes Glied von 4x³−x+7.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Höchster Exponent mit Faktor ungleich 0: 3.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Faktor von x³: 4; term ohne x: 7.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGrad 3, Leitkoeffizient 4, konstantes Glied 7.
02
Aufgabe 2Polynom · GrundlagenSchreibe die Koeffizienten von x⁴−2x² in absteigender Reihenfolge auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^4+0x^3-2x^2+0x+0}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis1,0,−2,0,0.
03
Aufgabe 3Polynom · GrundlagenWelche Ausdrücke sind Polynome in x: x²/3,1/x,√x,−5?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  x²/3 hat den festen Koeffizienten 1/3.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  1/x besitzt Exponent −1; √x Exponent 1/2.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  −5 ist ein konstantes Polynom.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisx²/3 und −5.
04
Aufgabe 4Polynom · AnwendenVereinfache 3x²+2x−3x²+5 und bestimme den Grad.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x^2-3x^2=0}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(x)=2x+5}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGrad 1.
05
Aufgabe 5Polynom · AnwendenMultipliziere (x+2)(x−3) aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-3x+2x-6}$ — alle Produkte.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-x-6}$ — zusammenfassen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisx²−x−6, Grad 2.
06
Aufgabe 6Polynom · AnwendenBerechne p(−2) für p(x)=x³−2x+1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(-2)=(-2)^3-2(-2)+1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(-2)=-8+4+1=-3}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis−3.
07
Aufgabe 7Polynom · AnwendenPrüfe, ob 2 eine Nullstelle von p(x)=x²−3x+2 ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(2)=4-6+2=0}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisJa, p(2)=0.
08
Aufgabe 8Polynom · VertiefenUnterscheide die Grade von p(x)=0 und q(x)=6.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  p ist das Nullpolynom; sein Grad ist hier nicht definiert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  q ist konstant und ungleich null.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisp: kein definierter Grad; q: Grad 0.
09
Aufgabe 9Polynom · VertiefenEin Polynom dritten Grades hat angeblich vier verschiedene reelle Nullstellen. Ist das möglich?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein von null verschiedenes Polynom vom Grad 3 hat höchstens drei verschiedene reelle Nullstellen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Das Nullpolynom hat keinen Grad 3.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich fasse gleiche Potenzen zusammen.
Ich erhalte Leitfaktor, Vorzeichen und Vielfachheiten.
Ich kontrolliere Produkte durch Ausmultiplizieren.

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