Potenzen · Erklären & üben

Potenzen

Eine Potenz schreibt wiederholte Multiplikation kurz. Die Basis ist der wiederholte Faktor, der Exponent beschreibt bei positiven ganzen Exponenten seine Anzahl. Andere Exponenten brauchen eigene Regeln und Bedingungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Basis und Exponent

In a hoch n heißt a Basis und n Exponent. Für positive ganze n wird a genau n-mal als Faktor verwendet. Eine Potenz ist daher etwas anderes als die Multiplikation von Basis und Exponent. Exponent 1 lässt die Basis unverändert. Null als Basis ergibt bei positiven ganzen Exponenten null.

Benenne Basis und Exponent.
Schreibe die entsprechende Faktorenfolge.
Multipliziere schrittweise.

$\mathsf{a^3=a\cdot a\cdot a}$

In 3 hoch 4 ist 3 die Basis und 4 der Exponent. Die zugehörige Faktorenfolge enthält vier Faktoren 3.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{3^4}$ .

Vier gleiche Faktoren: $\mathsf{3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3}$

Erstes Produkt: $\mathsf{3\cdot3=9}$

Nächster Faktor: $\mathsf{9\cdot3=27}$

Letzter Faktor: $\mathsf{27\cdot3=81}$

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{2^3}$ und $\mathsf{2\cdot3}$ .

Die Potenz bedeutet $\mathsf{2^3=2\cdot2\cdot2}$

Erstes Produkt: $\mathsf{2\cdot2=4}$

Dritter Faktor: $\mathsf{4\cdot2=8}$

Das andere Produkt ist $\mathsf{2\cdot3=6}$

Erklärung 02

Negative Basis und Klammern

Eine negative Basis steht in Klammern. Bei einem geraden positiven ganzzahligen Exponenten bilden die Minuszeichen Paare: Der Wert ist positiv. Bei einem ungeraden Exponenten bleibt ein Minus übrig. Ohne Klammern gehört ein vorangestelltes Minus nicht zur Basis: Zuerst wird potenziert, danach negiert.

Prüfe, ob das Minus innerhalb der Basisklammer steht.
Bei negativer Basis: Unterscheide geraden und ungeraden Exponenten.
Bei einem äußeren Minus: Berechne zuerst die Potenz.

$\mathsf{(-a)^2=a^2}$ , aber $\mathsf{-a^2=-(a^2)}$

Links wird die negative Basis minus 2 viermal verwendet und ergibt 16. Rechts wird 2 hoch 4 berechnet und erst danach negiert; das ergibt minus 16.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-2)^4}$ und $\mathsf{-2^4}$ .

Bei der ersten Potenz gehören die Minuszeichen zu allen Faktoren.

Zwei Faktoren ergeben $\mathsf{(-2)\cdot(-2)=4}$

Das zweite Faktorenpaar ergibt ebenfalls $\mathsf{(-2)\cdot(-2)=4}$

Zusammen: $\mathsf{4\cdot4=16}$

Ohne Klammer zuerst $\mathsf{2^4=16}$

Danach das äußere Minus: $\mathsf{-2^4=-16}$

Erklärung 03

Null und negative Exponenten

Für eine Basis ungleich null ergibt Exponent null den Wert 1. Ein negativer ganzzahliger Exponent bezeichnet den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz. Die Basis darf dabei nicht null sein. Im hier behandelten elementaren Rechenkontext ist null hoch null nicht definiert.

Prüfe zuerst, ob die Basis null ist.
Bei Exponent null und nichtnull Basis lautet der Wert 1.
Bei negativem Exponenten bilde den Kehrwert.

$\mathsf{a^0=1}$ für $\mathsf{a\ne0}$ $\mathsf{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$ für $\mathsf{a\ne0}$ und positive ganze n

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{5^{-2}}$ .

Die Basis 5 ist nicht null.

Kehrwertregel: $\mathsf{5^{-2}=\frac{1}{5^2}}$

Der Nenner ist $\mathsf{5^2=25}$

Erklärung 04

Rationale Exponenten als Wurzeln

Für positive Basen lassen sich rationale Exponenten mit Wurzeln deuten. In a hoch m durch n ist n eine positive ganze Zahl und m eine ganze Zahl. Zuerst kannst du die positive n-te Wurzel ziehen und dann mit m potenzieren. Negative Basen werden in dieser allgemeinen Regel nicht zugelassen; ihre Wurzeln benötigen eine gesonderte Betrachtung.

Weiterlernen: „Negative Potenzen“ und „Hoch 0“ vertiefen die Sonderfälle. Die Potenzgesetze behandeln Produkte und Quotienten passender Potenzen.

Prüfe, dass die Basis positiv ist.
Lies den Nenner des Exponenten als Wurzelgrad.
Potenziere das Wurzelergebnis mit dem Zähler.

$\mathsf{a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m}$ für $\mathsf{a>0}$

27 hoch zwei Drittel: Zuerst die dritte Wurzel 3 bestimmen, dann quadrieren und 9 erhalten. Die Basis ist positiv.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{16^{1/2}}$ .

Die Basis 16 ist positiv.

Der Exponent ein Halb bezeichnet die Quadratwurzel: $\mathsf{16^{1/2}=\sqrt{16}}$

Weil $\mathsf{4^2=16}$ , ist die positive Quadratwurzel 4.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{27^{2/3}}$ .

Die Basis 27 ist positiv.

Zuerst die dritte Wurzel: $\mathsf{\sqrt[3]{27}=3}$

Danach quadrieren: $\mathsf{3^2=9}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Potenzen · BasisBenenne Basis und Exponent von $\mathsf{7^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Basis
Exponent
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  In $\mathsf{7^3}$ ist der wiederholte Faktor 7; er kommt dreimal vor.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Basis7
2. Exponent3
02
Aufgabe 2Potenzen · BasisBerechne $\mathsf{4^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Potenzwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{4^3=4\cdot4\cdot4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erstes Produkt: $\mathsf{4\cdot4=16}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Letzter Faktor: $\mathsf{16\cdot4=64}$
Ergebnis
1. Potenzwert64
03
Aufgabe 3Potenzen · BasisBerechne $\mathsf{6^1}$ und $\mathsf{0^5}$ jeweils einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert von 6 hoch 1
Wert von 0 hoch 5
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ein Faktor bleibt unverändert: $\mathsf{6^1=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ein Produkt aus fünf Nullfaktoren ist $\mathsf{0^5=0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert von 6 hoch 16
2. Wert von 0 hoch 50
04
Aufgabe 4Potenzen · ÜbungBerechne $\mathsf{(-3)^2}$ und $\mathsf{-3^2}$ jeweils einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert mit geklammerter Basis
Wert mit äußerem Minus
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Mit negativer Basis: $\mathsf{(-3)\cdot(-3)=9}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ohne Klammer zuerst $\mathsf{3^2=9}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Danach negieren: $\mathsf{-3^2=-9}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert mit geklammerter Basis9
2. Wert mit äußerem Minus−9
05
Aufgabe 5Potenzen · ÜbungBerechne $\mathsf{(-2)^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Potenzwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erstes Produkt: $\mathsf{(-2)\cdot(-2)=4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dritter Faktor: $\mathsf{4\cdot(-2)=-8}$
Ergebnis
1. Potenzwert−8
06
Aufgabe 6Potenzen · ÜbungBerechne $\mathsf{4^{-2}}$ als Bruch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Kehrwertregel: $\mathsf{4^{-2}=\frac{1}{4^2}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nenner: $\mathsf{4^2=16}$
Ergebnis
1. Bruch $\mathsf{\frac{1}{16}}$
07
Aufgabe 7Potenzen · TransferBerechne $\mathsf{9^{1/2}}$ und $\mathsf{8^{2/3}}$ jeweils einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert von 9 hoch ein Halb
Wert von 8 hoch zwei Drittel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Positive Quadratwurzel: $\mathsf{\sqrt{9}=3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dritte Wurzel: $\mathsf{\sqrt[3]{8}=2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Anschließend quadrieren: $\mathsf{2^2=4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert von 9 hoch ein Halb3
2. Wert von 8 hoch zwei Drittel4
08
Aufgabe 8Potenzen · TransferJemand behauptet $\mathsf{3^4=3\cdot4}$ . Ist das richtig? Berechne beide Seiten und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Linker Wert
Rechter Wert
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Potenz schrittweise: $\mathsf{3\cdot3=9}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nächster Faktor: $\mathsf{9\cdot3=27}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Letzter Faktor: $\mathsf{27\cdot3=81}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Das einfache Produkt ist $\mathsf{3\cdot4=12}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Der Exponent gibt die Anzahl gleicher Faktoren an.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Linker Wert81
3. Rechter Wert12
4. Begründung3 hoch 4 verwendet vier Faktoren 3. Es multipliziert nicht die Basis mit dem Exponenten.
09
Aufgabe 9Potenzen · TransferIst $\mathsf{0^{-2}}$ definiert? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Kehrwertschreibweise würde $\mathsf{\frac{1}{0^2}}$ verlangen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner wäre $\mathsf{0^2=0}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Eine Division durch null ist nicht definiert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungDer negative Exponent würde einen Kehrwert mit Nenner null verlangen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich benenne Basis und Exponent.
Ich unterscheide Potenz und einfaches Produkt.
Ich beachte Klammern bei negativen Basen.
Ich beachte Bedingungen bei null, negativen und rationalen Exponenten.

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