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Potenzen · Erklären & üben

Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen beschreiben große und kleine Größen übersichtlich. Die Basis ist immer 10. Der Exponent bestimmt, wie oft mit 10 multipliziert oder durch 10 geteilt wird.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Von Tausendern zu Tausendsteln

Für positive ganze Exponenten ist eine Zehnerpotenz eine 1 mit entsprechend vielen Nullen. Exponent null ergibt 1. Bei negativen Exponenten steht die 1 rechts vom Komma: 10 hoch minus 3 ist ein Tausendstel. Beim Schritt zum nächsten größeren Exponenten wird der Wert jeweils verzehnfacht.

  1. Ordne dem Exponenten den Stellenwert zu.

  2. Bei positivem Exponenten: Multipliziere mit 10.

  3. Bei negativem Exponenten: Verwende den passenden Kehrwert.

10−3=0,001\mathsf{10^{-3}=0{,}001}, 100=1\mathsf{10^0=1}, 103=1000\mathsf{10^3=1000}

Die Potenzen 10 hoch 3 bis 10 hoch minus 3 entsprechen 1000, 100, 10, 1, 0,1, 0,01 und 0,001. Nach rechts wird jeweils durch 10 geteilt.

So geht es am Beispiel

Schreibe 104\mathsf{10^4} und 10−4\mathsf{10^{-4}} als Dezimalzahlen.

Vier Zehnerfaktoren ergeben 104=10000\mathsf{10^4=10000}

Der negative Exponent ergibt 10−4=110000\mathsf{10^{-4}=\frac{1}{10000}}

Als Dezimalzahl: 110000=0,0001\mathsf{\frac{1}{10000}=0{,}0001}

Ergebnis

Die Zahlen sind 10000 und 0,0001.

Erklärung 02

Wissenschaftliche Schreibweise

Eine von null verschiedene Zahl wird als Mantisse mal Zehnerpotenz geschrieben. Der Betrag der Mantisse liegt mindestens bei 1 und unter 10. Dadurch steht genau eine von null verschiedene Ziffer vor dem Komma. Negative Zahlen behalten ihr Minus. Null hat keine solche normalisierte Darstellung; wir schreiben sie gesondert als 0.

  1. Bestimme die erste von null verschiedene Ziffer.

  2. Setze das Komma direkt hinter diese Ziffer.

  3. Wähle den Exponenten so, dass der ursprüngliche Zahlenwert erhalten bleibt.

c⋅10n\mathsf{c\cdot10^n} mit 1≤∣c∣<10\mathsf{1\le|c|<10} und ganzzahligem n

0,00072 ist gleich 7,2 mal 10 hoch minus 4. Die Mantisse 7,2 ist mindestens 1 und kleiner als 10.

So geht es am Beispiel

Schreibe 0,00072 in wissenschaftlicher Schreibweise.

Die Mantisse lautet 7,2\mathsf{7{,}2}

Für den ursprünglichen Wert muss mit 10−4\mathsf{10^{-4}} multipliziert werden.

Damit gilt 0,00072=7,2⋅10−4\mathsf{0{,}00072=7{,}2\cdot10^{-4}}

Ergebnis

7,2⋅10−4\mathsf{7{,}2\cdot10^{-4}}

Erklärung 03

Addieren und subtrahieren

Bei einer Summe oder Differenz werden die Exponenten nicht addiert. Schreibe die Zahlen zuerst mit derselben Zehnerpotenz. Dann kannst du die Mantissen addieren oder subtrahieren. Normalisiere das Ergebnis bei Bedarf.

  1. Bringe beide Zahlen auf denselben Exponenten.

  2. Rechne mit ihren Mantissen.

  3. Stelle das Ergebnis bei Bedarf wieder normalisiert dar.

Exponentenaddition gehört zur Multiplikation gleicher Basen, nicht zur Addition.

10 hoch 2 plus 10 hoch 3 ergibt 1100. Das Produkt derselben Potenzen ist 10 hoch 5. Nur beim Produkt werden die Exponenten addiert.

So geht es am Beispiel

Berechne 3⋅104+2⋅103\mathsf{3\cdot10^4+2\cdot10^3}.

Gleiche Größenordnung: 2⋅103=0,2⋅104\mathsf{2\cdot10^3=0{,}2\cdot10^4}

Mantissen addieren: 3+0,2=3,2\mathsf{3+0{,}2=3{,}2}

Ergebnis

Die Summe lautet 3,2⋅104\mathsf{3{,}2\cdot10^4}.

So geht es am Beispiel

Berechne 5⋅10−2−2⋅10−3\mathsf{5\cdot10^{-2}-2\cdot10^{-3}}.

Gleiche Größenordnung: 2⋅10−3=0,2⋅10−2\mathsf{2\cdot10^{-3}=0{,}2\cdot10^{-2}}

Mantissen subtrahieren: 5−0,2=4,8\mathsf{5-0{,}2=4{,}8}

Ergebnis

Die Differenz lautet 4,8⋅10−2\mathsf{4{,}8\cdot10^{-2}}.

Erklärung 04

Multiplizieren und dividieren

Bei Produkten von Zehnerpotenzen werden die Exponenten addiert, bei Quotienten voneinander subtrahiert. Bei wissenschaftlicher Schreibweise werden zusätzlich die Mantissen multipliziert oder dividiert. Ein Divisor darf nicht null sein.

Weiterlernen: Die Potenzgesetze erklären diese Regeln für andere geeignete Basen.

  1. Rechne zuerst mit den Mantissen.

  2. Addiere oder subtrahiere die Exponenten passend zur Rechenart.

  3. Normalisiere die Mantisse bei Bedarf.

10m⋅10n=10m+n\mathsf{10^m\cdot10^n=10^{m+n}} 10m:10n=10m−n\mathsf{10^m:10^n=10^{m-n}}

So geht es am Beispiel

Berechne (2⋅103)(4⋅10−2)\mathsf{(2\cdot10^3)(4\cdot10^{-2})}.

Mantissen multiplizieren: 2⋅4=8\mathsf{2\cdot4=8}

Exponenten addieren: 3+(−2)=1\mathsf{3+(-2)=1}

Ergebnis

Das Produkt ist 8⋅101=80\mathsf{8\cdot10^1=80}.

So geht es am Beispiel

Berechne (6⋅105):(3⋅102)\mathsf{(6\cdot10^5):(3\cdot10^2)}.

Mantissen dividieren: 6:3=2\mathsf{6:3=2}

Exponenten subtrahieren: 5−2=3\mathsf{5-2=3}

Ergebnis

Der Quotient lautet 2⋅103\mathsf{2\cdot10^3}.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Zehnerpotenzen · BasisSchreibe 105\mathsf{10^5} und 10−3\mathsf{10^{-3}} als Dezimalzahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Fünf Zehnerfaktoren ergeben 105=100000\mathsf{10^5=100000}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Ein Tausendstel ist 10−3=0,001\mathsf{10^{-3}=0{,}001}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Wert von 10 hoch 5100000
    2. Wert von 10 hoch minus 30,001
  2. Aufgabe 2Zehnerpotenzen · BasisSchreibe 4200000 und 0,00056 jeweils in wissenschaftlicher Schreibweise.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      4200000=4,2⋅106\mathsf{4200000=4{,}2\cdot10^6}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      0,00056=5,6⋅10−4\mathsf{0{,}00056=5{,}6\cdot10^{-4}}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Beide Mantissen liegen zwischen 1 einschließlich und 10 ausschließlich.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Schreibweise für 42000004,2⋅106\mathsf{4{,}2\cdot10^6}
    2. Schreibweise für 0,000565,6⋅10−4\mathsf{5{,}6\cdot10^{-4}}
  3. Aufgabe 3Zehnerpotenzen · BasisBerechne 2⋅103+7⋅102\mathsf{2\cdot10^3+7\cdot10^2}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Umformen: 7⋅102=0,7⋅103\mathsf{7\cdot10^2=0{,}7\cdot10^3}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Mantissen: 2+0,7=2,7\mathsf{2+0{,}7=2{,}7}

    Ergebnis

    1. Summe2,7⋅103\mathsf{2{,}7\cdot10^3}
  4. Aufgabe 4Zehnerpotenzen · ÜbungBerechne 8⋅10−2−3⋅10−3\mathsf{8\cdot10^{-2}-3\cdot10^{-3}}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Umformen: 3⋅10−3=0,3⋅10−2\mathsf{3\cdot10^{-3}=0{,}3\cdot10^{-2}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Mantissen: 8−0,3=7,7\mathsf{8-0{,}3=7{,}7}

    Ergebnis

    1. Differenz7,7⋅10−2\mathsf{7{,}7\cdot10^{-2}}
  5. Aufgabe 5Zehnerpotenzen · ÜbungBerechne (3⋅104)(4⋅10−2)\mathsf{(3\cdot10^4)(4\cdot10^{-2})} und normalisiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Mantissen: 3⋅4=12\mathsf{3\cdot4=12}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Exponenten: 4+(−2)=2\mathsf{4+(-2)=2}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Normalisieren: 12⋅102=1,2⋅103\mathsf{12\cdot10^2=1{,}2\cdot10^3}

    Ergebnis

    1. Normalisiertes Produkt1,2⋅103\mathsf{1{,}2\cdot10^3}
  6. Aufgabe 6Zehnerpotenzen · ÜbungBerechne (8⋅10−3):(2⋅102)\mathsf{(8\cdot10^{-3}):(2\cdot10^2)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Mantissen: 8:2=4\mathsf{8:2=4}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Exponenten: −3−2=−5\mathsf{-3-2=-5}

    Ergebnis

    1. Quotient4⋅10−5\mathsf{4\cdot10^{-5}}
  7. Aufgabe 7Zehnerpotenzen · TransferIst 35⋅102\mathsf{35\cdot10^2} normalisierte wissenschaftliche Schreibweise? Gib die normalisierte Form an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      35 ist als Mantisse zu groß.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Verschieben: 35⋅102=3,5⋅103\mathsf{35\cdot10^2=3{,}5\cdot10^3}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. UrteilNein.
    2. Normalisierte Form3,5⋅103\mathsf{3{,}5\cdot10^3}
    3. BegründungDer Betrag der Mantisse muss mindestens 1 und kleiner als 10 sein. 35 erfüllt das nicht.
  8. Aufgabe 8Zehnerpotenzen · TransferGilt 102+103=105\mathsf{10^2+10^3=10^5}? Berechne die Summe und begründe dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Erster Summand: 102=100\mathsf{10^2=100}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zweiter Summand: 103=1000\mathsf{10^3=1000}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Addition: 100+1000=1100\mathsf{100+1000=1100}

    4. Schritt 4 · Erklärung

      Die Exponenten werden nur beim Multiplizieren gleicher Basen addiert.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. UrteilNein.
    2. Summe1100
    3. BegründungHier wird addiert. Die Regel zur Addition der Exponenten gilt für ein Produkt, nicht für diese Summe.
  9. Aufgabe 9Zehnerpotenzen · TransferSchreibe −0,0032 normalisiert und erkläre, warum 0 keine normalisierte Darstellung mit einer Mantisse vom Betrag mindestens 1 hat.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die negative Zahl lautet −0,0032=−3,2⋅10−3\mathsf{-0{,}0032=-3{,}2\cdot10^{-3}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Eine zulässige Mantisse ist nicht null; auch jede Zehnerpotenz ist nicht null. Ihr Produkt kann daher nicht null sein.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Normalisierte negative Zahl−3,2⋅10−3\mathsf{-3{,}2\cdot10^{-3}}
    2. Erklärung für nullDas Produkt einer von null verschiedenen Mantisse mit einer Zehnerpotenz ist nicht null. Null wird gesondert als 0 geschrieben.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich ordne positiven und negativen Exponenten die richtigen Stellenwerte zu.
  • Ich normalisiere wissenschaftliche Schreibweisen.
  • Ich unterscheide Addition von Multiplikation.
  • Ich rechne mit Mantissen und Exponenten getrennt.

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