Rechnen mit Potenzen · Erklären & üben

Potenzen addieren

Beim Addieren von Potenzen berechnest du entweder die einzelnen Werte oder fasst gleichartige Potenzterme über ihre Koeffizienten zusammen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Potenzwerte zuerst berechnen

Sind die einzelnen Potenzen definiert, kannst du ihre Werte addieren. Dabei müssen weder die Basen noch die Exponenten gleich sein. Eine Summe lässt sich aber nicht immer zu einer einzigen Potenz vereinfachen. Berechne zuerst die Potenzen und addiere danach.

Prüfe, ob die Potenzen definiert sind.
Berechne jeden Potenzwert.
Addiere die Ergebnisse.

$\mathsf{a^m+a^n}$ ist im Allgemeinen nicht $\mathsf{a^{m+n}}$ .

2³ + 3²: erst Potenzen, dann Summe. 2³ = 8. Ersten Potenzwert berechnen.. 3² = 9. Zweiten Potenzwert berechnen.. 8 + 9 = 17. Die definierten Werte addieren.. Unterschiedliche Basen und Exponenten verhindern die Addition nicht.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^3+3^2}$ .

Die erste Potenz ist $\mathsf{2^3=8}$ .

Die zweite Potenz ist $\mathsf{3^2=9}$ .

Addiere die Werte: $\mathsf{8+9=17}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{4^2+4^3}$ .

Die erste Potenz ist $\mathsf{4^2=16}$ .

Die zweite Potenz ist $\mathsf{4^3=64}$ .

Addiere $\mathsf{16+64=80}$ .

Erklärung 02

Gleichartige Potenzterme zusammenfassen

Haben Summanden denselben Potenzteil, kannst du ihre Koeffizienten addieren. Basis und Exponent des gemeinsamen Potenzteils bleiben unverändert. Für variable Ausdrücke muss der Variablenteil einschließlich Exponent übereinstimmen. Ein nicht ausgeschriebener Koeffizient ist 1, ein vorangestelltes Minus bedeutet minus eins.

Vergleiche Basis und Exponent des Potenzteils.
Verrechne die Koeffizienten.
Behalte den gesamten Potenzteil.

$\mathsf{ca^n+da^n=(c+d)a^n}$ , sofern die Potenz definiert ist.

Drei x Quadrat plus fünf x Quadrat. Die Koeffizienten drei und fünf ergeben acht; der gemeinsame Potenzteil x Quadrat bleibt unverändert.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{3x^2+5x^2}$ .

Beide Summanden haben den Potenzteil $\mathsf{x^2}$ .

Addiere die Koeffizienten: $\mathsf{3+5=8}$ .

Der Potenzteil bleibt $\mathsf{x^2}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{y^3+4y^3-2y^3}$ .

Der erste Koeffizient ist 1.

Addiere zunächst $\mathsf{1+4=5}$ .

Subtrahiere dann $\mathsf{5-2=3}$ .

Die gemeinsame Potenz bleibt $\mathsf{y^3}$ .

Erklärung 03

Nicht gleichartig bedeutet nicht unberechenbar

Ohne eingesetzte Werte bleiben verschiedenartige variable Potenzterme im Allgemeinen getrennt. $\mathsf{x^2}$ und $\mathsf{x^3}$ haben verschiedene Exponenten. $\mathsf{x^2}$ und $\mathsf{y^2}$ haben verschiedene Basen. Ausklammern kann dennoch eine andere wertgleiche Form liefern. Bei konkreten Zahlen kannst du die Summe stets berechnen, wenn beide Werte definiert sind.

Ordne Summanden nach identischem Potenzteil.
Lasse andere Teile stehen oder klammere einen gemeinsamen Faktor aus.
Setze Werte erst ein, wenn sie vorgegeben sind.

Nicht zusammenfassbar zu gleichartigen Summanden heißt nicht: nicht addierbar.

Nicht alle variablen Potenzteile sind gleichartig. 2x² + 4x² = 6x². Die quadratischen Summanden passen zusammen.. 3x³ bleibt als eigener Summand stehen.. Der Exponent 3 unterscheidet sich vom Exponenten 2.. Gesamtergebnis: 6x² + 3x³

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{2x^2+3x^3+4x^2}$ .

Die gleichartigen quadratischen Summanden ergeben $\mathsf{2x^2+4x^2=6x^2}$ .

Der kubische Summand bleibt getrennt.

So geht es am Beispiel

Schreibe $\mathsf{x^2+x^3}$ als Produkt.

Beide Summanden enthalten den Faktor $\mathsf{x^2}$ .

Der erste Restfaktor ist 1.

Der zweite Restfaktor ist x.

Klammere aus: $\mathsf{x^2(1+x)}$ .

So geht es am Beispiel

Warum ist $\mathsf{x^2+y^2}$ nicht allgemein $\mathsf{(x+y)^2}$ ?

Wähle als Gegenbeispiel $\mathsf{x=1}$ und $\mathsf{y=2}$ .

Die erste Summe ist $\mathsf{1^2+2^2=5}$ .

Die Klammer im zweiten Ausdruck ist $\mathsf{1+2=3}$ .

Das Quadrat ist $\mathsf{3^2=9}$ .

Erklärung 04

Negative Vorzeichen und Definitionsbedingungen

Auch bei Summen gilt: Eine negative Basis gehört in Klammern, während ein äußeres Minus nach der Potenz wirkt. Negative ganzzahlige Exponenten verlangen eine Basis ungleich null. Für allgemeine rationale Exponenten verwenden wir hier positive Basen. Eine Summe kann nur berechnet werden, wenn jeder Summand definiert ist.

Beachte die ganze Potenzbasis.
Prüfe alle Basis- und Nennerbedingungen.
Addiere erst die definierten Werte.

$\mathsf{x^{-2}+2x^{-2}=3x^{-2}=\frac3{x^2}}$ für $\mathsf{x\ne0}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-2)^2+(-2)^3}$ .

Die gerade Potenz ist $\mathsf{(-2)^2=4}$ .

Die ungerade Potenz ist $\mathsf{(-2)^3=-8}$ .

Addiere $\mathsf{4+(-8)=-4}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^{-2}+2^{-3}}$ .

Erster Summand: $\mathsf{2^{-2}=\frac14}$ .

Zweiter Summand: $\mathsf{2^{-3}=\frac18}$ .

Erweitere $\mathsf{\frac14=\frac28}$ .

Addiere $\mathsf{\frac28+\frac18=\frac38}$ .

Erklärung 05

Addition und Multiplikation direkt vergleichen

Bei einem Produkt gleicher Basis werden Exponenten addiert. Bei einer Summe gleicher Potenzteile werden Koeffizienten addiert. Das Pluszeichen darf nicht still in ein Malzeichen geändert werden. Potenzen multiplizieren behandelt die Produktregeln ausführlicher.

Lies das Zeichen zwischen den Potenzen.
Bei Plus: Werte oder Koeffizienten addieren.
Bei Mal mit gleicher Basis: Exponenten addieren.

Das Rechenzeichen bestimmt die passende Regel.

Gleiche Potenzen, unterschiedliche Operationen. 3² + 3² = 9 + 9 = 18. Summe: zweimal der Wert 9.. 3² · 3² = 3⁴ = 81. Produkt: Exponentenaddition ist erlaubt.. Plus und Mal dürfen nicht verwechselt werden.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{3^2+3^2}$ und $\mathsf{3^2\cdot3^2}$ .

Die gemeinsame Potenz hat den Wert $\mathsf{3^2=9}$ .

Die Summe ergibt $\mathsf{9+9=18}$ .

Im Produkt dürfen die Exponenten addiert werden: $\mathsf{3^{2+2}=3^4}$ .

Der Produktwert ist $\mathsf{3^4=81}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Potenzen addieren · 1Berechne $\mathsf{2^4+3^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Potenz: $\mathsf{2^4=16}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweite Potenz: $\mathsf{3^2=9}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{16+9=25}$ .
Ergebnis
1. Summe25
02
Aufgabe 2Potenzen addieren · 1Berechne $\mathsf{5^2+5^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Potenz: $\mathsf{5^2=25}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweite Potenz: $\mathsf{5^3=125}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{25+125=150}$ .
Ergebnis
1. Summe150
03
Aufgabe 3Potenzen addieren · 1Vereinfache $\mathsf{4x^3+7x^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Potenzteile stimmen überein.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere die Koeffizienten: $\mathsf{4+7=11}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Behalte den Potenzteil $\mathsf{x^3}$ .
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{11x^3}$
04
Aufgabe 4Potenzen addieren · 2Vereinfache $\mathsf{a^2+6a^2-3a^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der erste Koeffizient ist 1.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{1+6=7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Subtrahiere $\mathsf{7-3=4}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Behalte den gemeinsamen Potenzteil $\mathsf{a^2}$ .
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{4a^2}$
05
Aufgabe 5Potenzen addieren · 2Vereinfache $\mathsf{3y^2+2y^3+5y^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Fasse die quadratischen Summanden zusammen: $\mathsf{3y^2+5y^2=8y^2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der kubische Summand bleibt getrennt.
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{8y^2+2y^3}$
06
Aufgabe 6Potenzen addieren · 2Klammere in $\mathsf{z^3+z^4}$ den Faktor $\mathsf{z^3}$ aus. Berechne den Wert für $\mathsf{z=2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausgeklammerter Term
Wert bei z gleich zwei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Restfaktoren sind 1 und z.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Produktterm ist $\mathsf{z^3(1+z)}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei zwei ist die erste Potenz $\mathsf{2^3=8}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Klammer ist $\mathsf{1+2=3}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{8\cdot3=24}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ausgeklammerter Term $\mathsf{z^3(1+z)}$
2. Wert bei z gleich zwei24
07
Aufgabe 7Potenzen addieren · 2Berechne $\mathsf{(-3)^2+(-3)^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die erste Potenz ist $\mathsf{(-3)^2=9}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die zweite Potenz ist $\mathsf{(-3)^3=-27}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{9+(-27)=-18}$ .
Ergebnis
1. Summe−18
08
Aufgabe 8Potenzen addieren · 3Vereinfache $\mathsf{2x^{-2}+5x^{-2}}$ und gib die reelle Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Negative Exponenten verlangen $\mathsf{x e0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die gemeinsamen Potenzteile bleiben erhalten.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{2+5=7}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Schreibe den Kehrwert: $\mathsf{7x^{-2}=\frac7{x^2}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{\frac7{x^2}}$
2. Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{0\}}$
09
Aufgabe 9Potenzen addieren · 3Jemand behauptet $\mathsf{4^2+4^2=4^4}$ . Berechne beide Seiten, entscheide und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linker Wert
Rechter Wert
Behauptung richtig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links ist jede Potenz $\mathsf{4^2=16}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die linke Summe ist $\mathsf{16+16=32}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Rechts ergibt $\mathsf{4^4=256}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linker Wert32
2. Rechter Wert256
3. Behauptung richtig?Nein
4. BegründungBei der Summe werden die beiden Potenzwerte addiert. Exponentenaddition gilt für ein Produkt gleicher Basis.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich berechne Potenzen vor dem Addieren.
Ich fasse nur identische Potenzteile über ihre Koeffizienten zusammen.
Ich verwechsle fehlende Zusammenfassbarkeit nicht mit fehlender Berechenbarkeit.
Ich beachte Definitionsbedingungen auch in Summen.

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