Rechnen mit Potenzen · Erklären & üben

Potenzregeln

Potenzregeln vereinfachen passende Produkte und Quotienten. Entscheidend sind das Rechenzeichen sowie gleiche Basen oder gleiche Exponenten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Geltungsbereich und Grundidee

Für einen positiven ganzzahligen Exponenten zählt $\mathsf{a^n}$ die Anzahl gleicher Faktoren a. Potenzregeln fassen solche Faktoren zusammen. In den Regeln mit beliebigen ganzen Exponenten verwenden wir von null verschiedene reelle Basen. Bei positiven ganzzahligen Exponenten ist die Basis null erlaubt, solange kein Nenner null entsteht. Für allgemeine rationale Exponenten beschränken wir die Basis auf positive reelle Zahlen.

Lies Basis und Exponent.
Prüfe den Definitionsbereich.
Bestimme das Rechenzeichen zwischen den Potenzen.

Prüfe zuerst, ob alle vorkommenden Potenzen definiert sind.

So geht es am Beispiel

Erkläre $\mathsf{2^3}$ als Produkt.

Die Basis 2 kommt dreimal als Faktor vor: $\mathsf{2\cdot2\cdot2}$ .

Zuerst ergibt $\mathsf{2\cdot2=4}$ .

Danach ergibt $\mathsf{4\cdot2=8}$ .

Erklärung 02

Gleiche Basis: Exponenten addieren oder subtrahieren

Beim Multiplizieren gleicher Basen werden die Faktoren aneinandergereiht. Daher addierst du die Exponenten. Beim Dividieren gleicher von null verschiedener Basen subtrahierst du die Exponenten. Eine Summe hat diese Regel nicht.

Prüfe gleiche Basis und Produkt oder Quotient.
Addiere bei Mal, subtrahiere bei Geteilt die Exponenten.
Erhalte die Nennerbedingung.

$\mathsf{a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$ und $\mathsf{\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$ für $\mathsf{a\ne0}$ und ganze m,n.

Gleiche Basis: das Rechenzeichen entscheidet. x⁴ · x³ = x⁷. Im Produkt werden die Exponenten addiert.. y³ : y⁵ = y⁻². Im Quotienten werden sie subtrahiert; y ≠ 0.. Ein Pluszeichen erlaubt diese Exponentenaddition nicht.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{x^4\cdot x^3}$ für $\mathsf{x\ne0}$ .

Die Basis x ist gleich.

Addiere die Exponenten: $\mathsf{4+3=7}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{y^3:y^5}$ .

Der Divisor verlangt $\mathsf{y e0}$ .

Subtrahiere die Exponenten: $\mathsf{3-5=-2}$ .

Der Kehrwert lautet $\mathsf{y^{-2}=\frac1{y^2}}$ .

Erklärung 03

Gleicher Exponent: Basen multiplizieren oder dividieren

Bei gleichem Exponenten kannst du die Basen innerhalb einer gemeinsamen Potenz multiplizieren oder dividieren. Für positive ganzzahlige n sind reelle Basen erlaubt, beim Quotienten ist der Nenner ungleich null. Bei negativem ganzzahligem n müssen zusätzlich alle Basen ungleich null sein. Für rationale n verwenden wir positive Basen.

Vergleiche die Exponenten.
Multipliziere oder dividiere die Basen.
Behalte den gemeinsamen Exponenten.

$\mathsf{a^n b^n=(ab)^n}$ und $\mathsf{\frac{a^n}{b^n}=(\frac ab)^n}$ unter den genannten Bedingungen.

Gleiche Exponenten: Basen zusammenfassen. 2⁴ · 5⁴ = (2 · 5)⁴ = 10⁴. Die Exponenten bleiben jeweils 4.. 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³. Der Divisor ist ungleich null.. Produktwert: 10000. Quotientenwert: 27.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^4\cdot5^4}$ .

Die Exponenten sind gleich.

Fasse die Basen zusammen: $\mathsf{(2\cdot5)^4}$ .

Berechne die Basis: $\mathsf{2\cdot5=10}$ .

Berechne $\mathsf{10^4=10000}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{12^3:4^3}$ .

Der Divisor ist ungleich null.

Fasse zusammen: $\mathsf{(12:4)^3}$ .

Die Basis ergibt $\mathsf{12:4=3}$ .

Berechne $\mathsf{3^3=27}$ .

Erklärung 04

Eine Potenz potenzieren

Bei einer Potenz als Basis werden die Exponenten multipliziert. Für ganze Exponenten und von null verschiedene reelle Basis gilt die Regel ohne weitere Einschränkung. Für allgemeine rationale Exponenten verwenden wir eine positive Basis. Eine Potenz einer Summe lässt sich nicht auf die Summanden verteilen.

Unterscheide eine Potenz als Basis von einer Summe als Basis.
Multipliziere die Exponenten nur bei einer Potenz von einer Potenz.

$\mathsf{(a^m)^n=a^{mn}}$ unter den genannten Bedingungen.

Zwei Gruppen enthalten jeweils drei Faktoren zwei. Zusammen sind es sechs Faktoren zwei; die Potenz ergibt vierundsechzig.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(2^3)^2}$ .

Multipliziere die Exponenten: $\mathsf{3\cdot2=6}$ .

Die Potenz ist $\mathsf{2^6=64}$ .

So geht es am Beispiel

Warum ist $\mathsf{(2+3)^2}$ nicht $\mathsf{2^2+3^2}$ ?

Die Klammer ergibt $\mathsf{2+3=5}$ .

Ihr Quadrat ist $\mathsf{5^2=25}$ .

Der erste einzelne Summand ist $\mathsf{2^2=4}$ .

Der zweite ist $\mathsf{3^2=9}$ .

Die Summe der Quadrate ist $\mathsf{4+9=13}$ .

Erklärung 05

Eins, null, negative und rationale Exponenten

Für reelle a gilt $\mathsf{a^1=a}$ . Für $\mathsf{a\ne0}$ gilt $\mathsf{a^0=1}$ und für positive ganze n gilt $\mathsf{a^{-n}=\frac1{a^n}}$ . Null hoch null wird hier nicht definiert. Für $\mathsf{a>0}$ , ganzzahliges m und positives ganzzahliges n gilt $\mathsf{a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m}$ . Negative Exponenten bedeuten Kehrwerte, keine negativen Vorzeichen des Ergebnisses.

Lies das Vorzeichen und die Art des Exponenten.
Prüfe die Basisbedingung.
Bilde gegebenenfalls Kehrwert oder Wurzel.

Basis ungleich null bei negativen Exponenten; positive Basis für die hier verwendeten allgemeinen Bruchpotenzregeln.

Siebenundzwanzig hoch zwei Drittel. Die dritte Wurzel aus siebenundzwanzig ergibt drei. Das anschließende Quadrieren ergibt neun.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{4^{-2}}$ und $\mathsf{(-4)^0}$ .

Der erste Wert ist $\mathsf{4^{-2}=\frac1{4^2}}$ .

Der Nenner ergibt $\mathsf{4^2=16}$ .

Die Basis minus vier ist ungleich null, daher ergibt ihre Nullpotenz 1.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{27^{2/3}}$ .

Die Basis ist positiv.

Die dritte Wurzel ist $\mathsf{\sqrt[3]{27}=3}$ .

Quadriere den Wurzelwert: $\mathsf{3^2=9}$ .

Erklärung 06

Regel wählen statt Zeichen vermischen

Gleiche Basis in einer Summe erlaubt kein Addieren der Exponenten. Gleiche Exponenten in einer Summe erlauben kein Zusammenziehen der Basen. Du kannst definierte Potenzwerte trotzdem immer gewöhnlich addieren oder multiplizieren. Fehlt eine passende vereinfachende Regel, berechne die Werte einzeln.

Prüfe erst die Operation.
Suche danach gleiche Basen oder Exponenten.
Berechne andernfalls die einzelnen Potenzwerte.

Eine Regel zum Produkt ist keine Regel zur Summe.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^3\cdot3^2}$ ohne passende direkte Zusammenfassung.

Die erste Potenz ist $\mathsf{2^3=8}$ .

Die zweite ist $\mathsf{3^2=9}$ .

Multipliziere die definierten Werte: $\mathsf{8\cdot9=72}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^3+2^4}$ .

Die erste Potenz ist $\mathsf{2^3=8}$ .

Die zweite ist $\mathsf{2^4=16}$ .

Addiere $\mathsf{8+16=24}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Potenzregeln · 1Vereinfache $\mathsf{a^2\cdot a^5}$ für reelles $\mathsf{a\ne0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zusammengefasste Potenz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gleiche Basis im Produkt: Addiere $\mathsf{2+5=7}$ .
Ergebnis
1. Zusammengefasste Potenz $\mathsf{a^7}$
02
Aufgabe 2Potenzregeln · 2Vereinfache $\mathsf{b^4:b^7}$ und gib die ausgeschlossenen reellen Werte an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Ausgeschlossener Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Divisor $\mathsf{b^7}$ darf nicht null sein.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Subtrahiere $\mathsf{4-7=-3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Kehrwert ist $\mathsf{b^{-3}=\frac1{b^3}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{\frac1{b^3}}$
2. Ausgeschlossener Wert $\mathsf{b=0}$
03
Aufgabe 3Potenzregeln · 1Berechne $\mathsf{4^3\cdot5^3}$ mit einer Potenzregel. Gib die zusammengefasste Potenz und ihren Wert an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zusammengefasste Potenz
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gleiche Exponenten erlauben $\mathsf{(4\cdot5)^3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Basis ist $\mathsf{4\cdot5=20}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{20^3=8000}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zusammengefasste Potenz $\mathsf{20^3}$
2. Wert8000
04
Aufgabe 4Potenzregeln · 1Berechne $\mathsf{15^2:3^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Fasse zusammen: $\mathsf{(15:3)^2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Basis ist $\mathsf{15:3=5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Quadriere $\mathsf{5^2=25}$ .
Ergebnis
1. Wert25
05
Aufgabe 5Potenzregeln · 2Vereinfache $\mathsf{(x^2)^4}$ für $\mathsf{x\ne0}$ und berechne den Wert für $\mathsf{x=2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachte Potenz
Wert bei x gleich zwei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Multipliziere die Exponenten: $\mathsf{2\cdot4=8}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Term ist $\mathsf{x^8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Setze zwei ein: $\mathsf{2^8=256}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachte Potenz $\mathsf{x^8}$
2. Wert bei x gleich zwei256
06
Aufgabe 6Potenzregeln · 2Berechne $\mathsf{3^{-2}}$ , $\mathsf{(-3)^1}$ und $\mathsf{(-3)^0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Wert
Zweiter Wert
Dritter Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Wert: $\mathsf{3^{-2}=\frac1{3^2}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner ist $\mathsf{3^2=9}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Exponent eins lässt die Basis unverändert: $\mathsf{(-3)^1=-3}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Nullpotenz der von null verschiedenen Basis ergibt 1.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Wert $\mathsf{\frac19}$
2. Zweiter Wert−3
3. Dritter Wert1
07
Aufgabe 7Potenzregeln · 2Berechne $\mathsf{16^{3/4}}$ und nenne die in diesem Material verwendete Basisbedingung für allgemeine Bruchpotenzregeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Basisbedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die vierte Wurzel ist $\mathsf{\sqrt[4]{16}=2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Potentiere den Wurzelwert: $\mathsf{2^3=8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die hier verwendeten allgemeinen Regeln setzen eine positive Basis voraus.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert8
2. BasisbedingungDie Basis ist positiv.
08
Aufgabe 8Potenzregeln · 3Jemand schreibt $\mathsf{2^2+2^3=2^5}$ . Berechne beide Seiten, entscheide und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linker Wert
Rechter Wert
Gleichung richtig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links zuerst $\mathsf{2^2=4}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der zweite Summand ist $\mathsf{2^3=8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die linke Summe ist $\mathsf{4+8=12}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Rechts ergibt $\mathsf{2^5=32}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linker Wert12
2. Rechter Wert32
3. Gleichung richtig?Nein
4. BegründungExponenten gleicher Basis werden bei Produkten addiert, nicht bei Summen.
09
Aufgabe 9Potenzregeln · 3Berechne $\mathsf{2^4\cdot3^2}$ . Kann das Produkt trotz verschiedener Basen und Exponenten berechnet werden? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produktwert
Berechnung möglich?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{2^4=16}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{3^2=9}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{16\cdot9=144}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produktwert144
2. Berechnung möglich?Ja
3. BegründungBeide Potenzwerte sind definiert und können gewöhnlich multipliziert werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe Basisbedingungen und Rechenzeichen.
Ich addiere Exponenten nur bei Produkten gleicher Basis.
Ich multipliziere Exponenten beim Potenzieren einer Potenz.
Ich verwechsle einen negativen Exponenten nicht mit einem äußeren Minus.

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