Rechnen mit Potenzen · Erklären & üben

Potenzen berechnen

Eine Potenz schreibt ein Produkt gleicher Faktoren kurz. Du liest Basis und Exponent, berechnest den Wert und beachtest Klammern und Vorzeichen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Basis und Exponent lesen

Bei einem positiven ganzzahligen Exponenten n bedeutet $\mathsf{a^n}$ , dass die Basis a insgesamt n-mal als Faktor vorkommt. Der Exponent zählt Faktoren, nicht Pluszeichen. Basis und Exponent können nicht beliebig vertauscht werden. Wir rechnen hier mit reellen Zahlen in den jeweils angegebenen Definitionsbereichen.

Lies die gesamte Basis.
Zähle die Faktoren mithilfe des Exponenten.
Multipliziere schrittweise.

$\mathsf{a^3=a\cdot a\cdot a}$ .

Vier gleich große Karten mit je Faktor drei. Der Exponent vier zählt die Faktoren; das Produkt ergibt einundachtzig.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{3^4}$ .

Basis ist 3 und Exponent ist 4.

Schreibe vier Faktoren: $\mathsf{3\cdot3\cdot3\cdot3}$ .

Erstes Teilprodukt: $\mathsf{3\cdot3=9}$ .

Nächster Schritt: $\mathsf{9\cdot3=27}$ .

Letzter Schritt: $\mathsf{27\cdot3=81}$ .

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{2^5}$ und $\mathsf{5^2}$ .

Fünf Faktoren 2 ergeben $\mathsf{2^5=32}$ .

Zwei Faktoren 5 ergeben $\mathsf{5^2=25}$ .

Erklärung 02

Negative Basis und äußeres Minus

Steht die negative Zahl in Klammern, gehört ihr Vorzeichen zur Basis. Bei einer geraden Anzahl negativer Faktoren wird das Ergebnis positiv, bei einer ungeraden negativ. Ein Minus außerhalb der Potenz wird erst nach dem Potenzieren angewendet.

Prüfe, ob das Minus innerhalb der Basis steht.
Bei ganzzahligen Exponenten zählt die Anzahl negativer Faktoren.
Wende ein äußeres Minus zuletzt an.

$\mathsf{(-3)^2=9}$ , aber $\mathsf{-3^2=-(3^2)=-9}$ .

Die Klammer entscheidet über die Basis. (−4)² = (−4) · (−4) = 16. Das Minus gehört zur Basis.. −4² = −(4 · 4) = −16. Das Minus wirkt erst nach dem Potenzieren.. Ein äußeres Minus ist kein Teil der ungeklammerten Basis 4.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-2)^3}$ .

Schreibe $\mathsf{(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)}$ .

Die ersten beiden Faktoren ergeben $\mathsf{(-2)\cdot(-2)=4}$ .

Der dritte Faktor liefert $\mathsf{4\cdot(-2)=-8}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-4)^2}$ und $\mathsf{-4^2}$ .

Bei der ersten Potenz gehört das Minus zur Basis: $\mathsf{(-4)\cdot(-4)=16}$ .

Bei der zweiten wird zuerst $\mathsf{4^2=16}$ berechnet.

Das äußere Minus liefert danach −16.

Erklärung 03

Null, negative und Bruch-Exponenten

Für jede reelle Basis gilt $\mathsf{a^1=a}$ . Für $\mathsf{a\ne0}$ ist $\mathsf{a^0=1}$ . Mit positivem ganzzahligem n gilt $\mathsf{a^{-n}=\frac1{a^n}}$ nur für $\mathsf{a\ne0}$ . Ein negativer Exponent macht den Wert also zum Kehrwert, nicht automatisch negativ. Für positive Basis a interpretieren wir $\mathsf{a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}}$ mit ganzzahligem m und positivem ganzzahligem n. In diesem Material wird $\mathsf{0^0}$ nicht definiert.

Bestimme, welche Art Exponent vorliegt.
Prüfe die Basisbedingung.
Nutze die entsprechende Definition.

Negative Exponenten verlangen eine von null verschiedene Basis. Allgemeine Bruchpotenzregeln verwenden hier positive Basen.

Fünf hoch minus zwei bedeutet eins durch fünf Quadrat und ergibt ein Fünfundzwanzigstel. Der negative Exponent macht das Ergebnis nicht negativ.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{5^{-2}}$ .

Die Basis 5 ist ungleich null.

Schreibe den Kehrwert: $\mathsf{5^{-2}=\frac1{5^2}}$ .

Berechne $\mathsf{5^2=25}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{16^{1/2}}$ .

Für die positive Basis gilt $\mathsf{16^{1/2}=\sqrt{16}}$ .

Die nichtnegative Quadratwurzel ist 4, denn $\mathsf{4^2=16}$ .

Erklärung 04

Passende Potenzregeln nutzen

Bei Produkten gleicher Basis kannst du die Exponenten addieren. Bei der Division gleicher von null verschiedener Basis werden die Exponenten subtrahiert. Bei Summen gilt diese Regel nicht. Sind die Bedingungen einer vereinfachenden Potenzregel nicht erfüllt, kannst du definierte Potenzwerte trotzdem berechnen und normal multiplizieren oder addieren.

Prüfe das Rechenzeichen zwischen den Potenzen.
Wähle eine passende Regel oder werte die Potenzen getrennt aus.
Verrechne die Potenzwerte.

$\mathsf{a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$ und $\mathsf{a^m:a^n=a^{m-n}}$ für $\mathsf{a\ne0}$ und ganze m,n.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^3\cdot2^2}$ .

Gleiche Basis im Produkt erlaubt $\mathsf{2^{3+2}=2^5}$ .

Berechne $\mathsf{2^5=32}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{3^4:3^2}$ .

Die Basis 3 ist ungleich null.

Subtrahiere die Exponenten: $\mathsf{3^{4-2}=3^2}$ .

Berechne $\mathsf{3^2=9}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^3+2^2}$ .

Erste Potenz: $\mathsf{2^3=8}$ .

Zweite Potenz: $\mathsf{2^2=4}$ .

Addiere $\mathsf{8+4=12}$ .

Erklärung 05

Zehnerpotenzen und gemischte Rechnungen

Eine positive ganzzahlige Zehnerpotenz ist eine Eins mit entsprechend vielen Nullen. Eine negative Zehnerpotenz ist ihr Kehrwert. In wissenschaftlicher Schreibweise steht eine Zahl als $\mathsf{c\cdot10^n}$ mit $\mathsf{1\le |c|<10}$ für von null verschiedene Werte. Klammern und Potenzen werden vor den folgenden Punkt- und Strichoperationen berechnet.

Bestimme die Zehnerpotenz anhand des Stellenwerts.
Beachte die Reihenfolge Klammern, Potenzen, Punkt- und Strichoperationen.

$\mathsf{10^3=1000}$ und $\mathsf{10^{-3}=0{,}001}$ .

Tabelle: zehn hoch drei gleich tausend, hoch eins gleich zehn, hoch null gleich eins, hoch minus eins gleich ein Zehntel, hoch minus drei gleich ein Tausendstel.

So geht es am Beispiel

Schreibe 42000 und 0,007 als Zahl mal Zehnerpotenz.

Für 42000 ergibt die Zerlegung $\mathsf{4{,}2\cdot10000}$ .

Weil $\mathsf{10000=10^4}$ gilt, lautet die Schreibweise $\mathsf{4{,}2\cdot10^4}$ .

Für 0,007 gilt $\mathsf{7\cdot0{,}001}$ .

Weil $\mathsf{0{,}001=10^{-3}}$ gilt, lautet die Schreibweise $\mathsf{7\cdot10^{-3}}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2+3\cdot2^3}$ .

Berechne zuerst $\mathsf{2^3=8}$ .

Multipliziere danach $\mathsf{3\cdot8=24}$ .

Addiere zuletzt $\mathsf{2+24=26}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Potenzen berechnen · 1Benenne Basis und Exponent von $\mathsf{4^3}$ und berechne den Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Basis
Exponent
Potenzwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Basis ist 4, Exponent ist 3.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Schreibe $\mathsf{4\cdot4\cdot4}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{4\cdot4=16}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{16\cdot4=64}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Basis4
2. Exponent3
3. Potenzwert64
02
Aufgabe 2Potenzen berechnen · 1Berechne $\mathsf{(-3)^3}$ und $\mathsf{(-3)^4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dritte Potenz
Vierte Potenz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Drei negative Faktoren ergeben $\mathsf{(-3)^3=-27}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ein weiterer Faktor minus drei ergibt $\mathsf{(-27)\cdot(-3)=81}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dritte Potenz−27
2. Vierte Potenz81
03
Aufgabe 3Potenzen berechnen · 2Berechne $\mathsf{(-5)^2}$ und $\mathsf{-5^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert mit geklammerter Basis
Wert mit äußerem Minus
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die geklammerte Basis ergibt $\mathsf{(-5)\cdot(-5)=25}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei der zweiten Schreibweise zuerst $\mathsf{5^2=25}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das äußere Minus ergibt −25.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert mit geklammerter Basis25
2. Wert mit äußerem Minus−25
04
Aufgabe 4Potenzen berechnen · 1Berechne $\mathsf{7^0}$ , $\mathsf{7^1}$ und $\mathsf{0^4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sieben hoch null
Sieben hoch eins
Null hoch vier
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  7 ist ungleich null, daher gilt $\mathsf{7^0=1}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Exponent eins ergibt $\mathsf{7^1=7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Vier Faktoren null ergeben $\mathsf{0^4=0}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Sieben hoch null1
2. Sieben hoch eins7
3. Null hoch vier0
05
Aufgabe 5Potenzen berechnen · 2Berechne $\mathsf{2^{-3}}$ . Ist $\mathsf{0^{-3}}$ definiert? Begründe die zweite Antwort.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert von zwei hoch minus drei
Null hoch minus drei definiert?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bilde $\mathsf{2^{-3}=\frac1{2^3}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{2^3=8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei Basis null würde im Kehrwert ein Nenner null entstehen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert von zwei hoch minus drei $\mathsf{\frac18}$
2. Null hoch minus drei definiert?Nein
3. BegründungEin negativer Exponent verlangt den Kehrwert. Bei Basis null hätte dieser den Nenner null.
06
Aufgabe 6Potenzen berechnen · 2Berechne $\mathsf{25^{1/2}}$ und $\mathsf{8^{2/3}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Wert
Zweiter Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Wert: $\mathsf{25^{1/2}=\sqrt{25}=5}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die dritte Wurzel aus 8 ist 2, also gilt $\mathsf{8^{1/3}=2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Quadriere diesen Wert: $\mathsf{2^2=4}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Wert5
2. Zweiter Wert4
07
Aufgabe 7Potenzen berechnen · 2Berechne $\mathsf{3^2\cdot3^3}$ und $\mathsf{3^5:3^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Quotient
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Im Produkt addiere die Exponenten: $\mathsf{3^{2+3}=3^5}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{3^5=243}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Im Quotienten subtrahiere die Exponenten: $\mathsf{3^{5-2}=3^3}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{3^3=27}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt243
2. Quotient27
08
Aufgabe 8Potenzen berechnen · 2Schreibe 630000 und 0,0004 in wissenschaftlicher Schreibweise.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schreibweise für 630000
Schreibweise für 0,0004
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die erste Zahl ist $\mathsf{6{,}3\cdot100000}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Mit $\mathsf{100000=10^5}$ wird daraus $\mathsf{6{,}3\cdot10^5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die zweite Zahl ist $\mathsf{4\cdot0{,}0001}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Mit $\mathsf{0{,}0001=10^{-4}}$ wird daraus $\mathsf{4\cdot10^{-4}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Schreibweise für 630000 $\mathsf{6{,}3\cdot10^5}$
2. Schreibweise für 0,0004 $\mathsf{4\cdot10^{-4}}$
09
Aufgabe 9Potenzen berechnen · 3Berechne $\mathsf{5+2\cdot3^2}$ . Jemand erhält 41 durch falsche Reihenfolge. Ist 41 richtig? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Richtiges Ergebnis
Ist 41 richtig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{3^2=9}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{2\cdot9=18}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{5+18=23}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Richtiges Ergebnis23
2. Ist 41 richtig?Nein
3. BegründungZuerst wird die Potenz berechnet, dann multipliziert und zuletzt addiert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese die gesamte Basis und den Exponenten.
Ich unterscheide negative Basis und äußeres Minus.
Ich prüfe die Bedingungen bei null, negativen und gebrochenen Exponenten.
Ich verwechsle Summen und Produkte von Potenzen nicht.

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