Potenzgesetze · Erklären & üben

Potenzgesetze

Potenzgesetze verkürzen Produkte und Quotienten. Entscheidend ist, ob die Basen oder die Exponenten übereinstimmen und ob alle vorkommenden Potenzen definiert sind.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleiche Basis

Für eine Basis a ungleich null und ganze Exponenten m und n gilt $\mathsf{a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$ sowie $\mathsf{\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$ . Beim Multiplizieren zählst du die gleichen Faktoren zusammen; beim Dividieren kürzt du sie. Bei positiven Exponenten ist das Produktgesetz auch für die Basis null erlaubt. Der Quotient benötigt weiterhin einen von null verschiedenen Nenner.

Prüfe die gleiche Basis
Addiere beim Produkt und subtrahiere beim Quotienten die Exponenten.

Die Basis bleibt bei diesen Gesetzen unverändert.

Links werden bei zwei hoch drei mal zwei hoch vier die Exponenten addiert. Rechts werden bei drei Quadrat mal vier Quadrat die Basen multipliziert und der gemeinsame Exponent zwei beibehalten.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{2^3\cdot2^4}$ .

$\mathsf{2^3\cdot2^4=2^{3+4}}$

$\mathsf{2^{3+4}=2^7}$

$\mathsf{2^7=128}$

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\frac{x^7}{x^3}}$ für x ungleich null.

$\mathsf{\frac{x^7}{x^3}=x^{7-3}}$

$\mathsf{x^{7-3}=x^4}$

Erklärung 02

Gleicher Exponent und Potenz einer Potenz

Für von null verschiedene reelle Basen a und b und ganze Exponenten gelten $\mathsf{(a^m)^n=a^{mn}}$ , $\mathsf{(ab)^n=a^nb^n}$ und $\mathsf{(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}}$ . Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert. Bei Produkten und Quotienten mit gleichem Exponenten dürfen die Basen entsprechend zusammengefasst werden. Bei ausschließlich positiven ganzen Exponenten darf eine Zählerbasis auch null sein; ein Quotientnenner nie.

Unterscheide gleiche Basis von gleichem Exponenten
Beachte bei Klammern die gesamte Basis.

Ein Produkt in der Basis wird faktorweise potenziert.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{(x^2)^3}$ .

$\mathsf{(x^2)^3=x^{2\cdot3}}$

$\mathsf{x^{2\cdot3}=x^6}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{3^2\cdot4^2}$ .

$\mathsf{3^2\cdot4^2=(3\cdot4)^2}$

$\mathsf{(3\cdot4)^2=12^2}$

$\mathsf{12^2=144}$

Erklärung 03

Null, negative und gebrochene Exponenten

Für a ungleich null gilt $\mathsf{a^0=1}$ und $\mathsf{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$ bei positivem ganzzahligem n. Außerdem ist $\mathsf{a^1=a}$ . Null hoch null wird hier nicht definiert. Eine negative Basis ist bei ganzzahligen Exponenten erlaubt; ihre Klammern sind wichtig. Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert, nicht negatives Ergebnis. Für allgemeine gebrochene Exponenten verwenden wir den sicheren reellen Bereich a positiv. Für ganze p und positive ganze q gilt dort $\mathsf{a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}}$ . Potenzgesetze gelten in diesem positiven Basisbereich auch für rationale Exponenten. Sonderfälle negativer Radikanden mit ungerader Wurzel werden im Wurzelthema getrennt behandelt.

Prüfe die Basis und den Exponentenbereich
Schreibe negative Exponenten als Kehrwerte.

Gebrochene Exponenten werden hier allgemein nur für positive Basen verwendet.

Minus zwei in Klammern hoch drei ergibt minus acht. Zwei hoch minus drei hat dagegen die positive Basis zwei und entspricht dem Kehrwert von acht, also einem Achtel.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^{-3}}$ .

$\mathsf{2^{-3}=\frac{1}{2^3}}$

$\mathsf{\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{16^{3/4}}$ .

$\mathsf{16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3}$

$\mathsf{(\sqrt[4]{16})^3=2^3}$

$\mathsf{2^3=8}$

Erklärung 04

Regelkarte und Grenzen

Die Regelkarte fasst die Bedingungen zusammen. Für eine Summe gibt es kein entsprechendes Gesetz: Im Allgemeinen ist $\mathsf{(a+b)^n}$ nicht gleich $\mathsf{a^n+b^n}$ . Die positive Zahl e ist ebenfalls eine zulässige Basis; beispielsweise gilt $\mathsf{e^m e^n=e^{m+n}}$ . Die e-Funktion ist ein eigenes weiterführendes Thema. Potenzgesetze Aufgaben bietet weitere gemischte Anwendungen; Potenzgesetze Wurzel erklärt die Wurzelschreibweise.

Wähle erst das passende Muster
Prüfe dann die Bedingungen, bevor du vereinfachst.

Addition darf nicht wie Multiplikation behandelt werden.

Eigene Regelkarte. Für ganze Exponenten und von null verschiedene reelle Basen: Produkt gleicher Basis addiert Exponenten, Quotient subtrahiert sie, Potenz einer Potenz multipliziert sie, Produkte und Quotienten werden faktorweise potenziert. Für rationale Exponenten werden positive Basen vorausgesetzt. Null- und negative Exponenten erfordern von null verschiedene Basen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Potenzgesetze · 1Vereinfache $\mathsf{5^2\cdot5^3}$ zu einer Potenz und berechne ihren Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eine Potenz
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{5^2\cdot5^3=5^{2+3}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{5^{2+3}=5^5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{5^5=3125}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eine Potenz $\mathsf{5^5}$
2. Wert3125
02
Aufgabe 2Potenzgesetze · 1Vereinfache $\mathsf{\frac{a^9}{a^4}}$ und nenne die ursprüngliche Bedingung für a.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Bedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner verlangt $\mathsf{a\ne0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{a^9}{a^4}=a^{9-4}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{a^{9-4}=a^5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{a^5}$
2. Bedingung $\mathsf{a e0}$
03
Aufgabe 3Potenzgesetze · 1Vereinfache $\mathsf{(x^3)^4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eine Potenz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(x^3)^4=x^{3\cdot4}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{x^{3\cdot4}=x^{12}}$
Ergebnis
1. Eine Potenz $\mathsf{x^{12}}$
04
Aufgabe 4Potenzgesetze · 1Vereinfache $\mathsf{(2x)^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(2x)^3=2^3x^3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{2^3=8}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{2^3x^3=8x^3}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{8x^3}$
05
Aufgabe 5Potenzgesetze · 2Berechne $\mathsf{\frac{12^2}{3^2}}$ über eine gemeinsame Potenz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{12^2}{3^2}=(\frac{12}{3})^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(\frac{12}{3})^2=4^2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{4^2=16}$
Ergebnis
1. Wert16
06
Aufgabe 6Potenzgesetze · 2Berechne $\mathsf{(-2)^4}$ und $\mathsf{(-2)^{-3}}$ getrennt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vierter Exponent
Exponent minus drei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(-2)^4=16}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{1}{(-2)^3}=-\frac{1}{8}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vierter Exponent16
2. Exponent minus drei $\mathsf{-\frac{1}{8}}$
07
Aufgabe 7Potenzgesetze · 2Berechne $\mathsf{7^0}$ und $\mathsf{7^1}$ . Ist $\mathsf{0^0}$ in dieser Darstellung definiert?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sieben hoch null
Sieben hoch eins
Null hoch null hier definiert?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{7^0=1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{7^1=7}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für den Exponenten null wurde eine von null verschiedene Basis vorausgesetzt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Sieben hoch null1
2. Sieben hoch eins7
3. Null hoch null hier definiert?Nein
08
Aufgabe 8Potenzgesetze · 2Berechne $\mathsf{27^{2/3}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(\sqrt[3]{27})^2=3^2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{3^2=9}$
Ergebnis
1. Wert9
09
Aufgabe 9Potenzgesetze · 3Ist $\mathsf{(2+3)^2=2^2+3^2}$ richtig? Berechne beide Seiten und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Linke Seite
Rechte Seite
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(2+3)^2=5^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{5^2=25}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{2^2=4}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{3^2=9}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{4+9=13}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Linke Seite25
3. Rechte Seite13
4. BegründungDas Potenzgesetz verteilt sich über Produkte, nicht über Summen. Das Quadrat einer Summe enthält außerdem ein Mittelglied.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide gleiche Basis und gleichen Exponenten.
Ich nenne den zulässigen Definitionsbereich.
Ich übertrage Produktgesetze nicht auf Summen.

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