Potenzgesetze · Erklären & üben

Potenzgesetze Wurzel

Wurzeln lassen sich unter passenden Bedingungen als Potenzen schreiben. Die Wurzelordnung und der Definitionsbereich entscheiden, welche Umformung zulässig ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Wurzelordnung und reelle Werte

Eine gerade Wurzel ist im Reellen nur bei nichtnegativem Radikanden definiert und bezeichnet den nichtnegativen Wurzelwert. Deshalb gilt $\mathsf{\sqrt{x^2}=|x|}$ für jedes reelle x. Eine ungerade Wurzel ist auch für negative Radikanden definiert, etwa $\mathsf{\sqrt[3]{-8}=-2}$ . Für positive a kann allgemein $\mathsf{\sqrt[n]{a}=a^{1/n}}$ geschrieben werden, wobei n eine ganze Zahl ab zwei ist.

Prüfe gerade oder ungerade Wurzelordnung
Halte bei gerader Ordnung den nichtnegativen Wurzelwert fest.

Eine Quadratwurzel aus einem Quadrat ergibt den Betrag.

Zahlengerade mit minus fünf, null und fünf. Die Zahl x gleich minus fünf hat den Betrag fünf. Die Quadratwurzel aus minus fünf in Klammern zum Quadrat ergibt daher positiv fünf.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt{(-5)^2}}$ .

$\mathsf{(-5)^2=25}$

$\mathsf{\sqrt{25}=5}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt[3]{-27}}$ .

$\mathsf{(-3)^3=-27}$

$\mathsf{\sqrt[3]{-27}=-3}$

Erklärung 02

Wurzeln multiplizieren und dividieren

Für gleiche gerade Wurzelordnung n gilt $\mathsf{\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}}$ bei a und b nichtnegativ. Beim Quotienten $\mathsf{\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}$ gilt zusätzlich b positiv. Für gleiche ungerade Ordnung sind reelle Radikanden erlaubt; der Nenner muss auch dann ungleich null sein. Verschiedene Wurzelordnungen dürfen nicht unverändert zusammengezogen werden.

Prüfe gleiche Wurzelordnung und die Radikanden
Multipliziere oder dividiere erst danach unter der gemeinsamen Wurzel.

Bei geraden Wurzelquotienten ist der Nenner-Radikand strikt positiv.

Bei gleicher gerader Wurzelordnung sind für ein Produkt beide Radikanden nichtnegativ. Für einen Quotienten ist der Zählerradikand nichtnegativ und der Nennerradikand strikt positiv.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt{8}\sqrt{2}}$ .

$\mathsf{\sqrt{8}\sqrt{2}=\sqrt{16}}$

$\mathsf{\sqrt{16}=4}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}}$ .

$\mathsf{\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{25}}$

$\mathsf{\sqrt{25}=5}$

Erklärung 03

Eine Wurzel in einer Wurzel

Für positive a und ganze m und n ab zwei gilt $\mathsf{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=a^{1/(mn)}=\sqrt[mn]{a}}$ . Die Wurzelordnungen werden multipliziert, nicht addiert. Auch a gleich null ist in dieser reinen Wurzeldarstellung erlaubt. Negative Radikanden dürfen nicht pauschal in den positiven Bruchpotenzbereich übernommen werden; wenn beide Wurzelordnungen ungerade sind, können sie gesondert als reelle Wurzeln behandelt werden.

Schreibe im positiven Bereich beide Wurzeln als Potenzen
Multipliziere die Exponenten.

Verschachtelte Wurzeln: die Ordnungen multiplizieren.

Die Quadratwurzel der Kubikwurzel von vierundsechzig entspricht im positiven Bereich einer Potenz mit Exponent ein Drittel mal ein Halb gleich ein Sechstel. Die sechste Wurzel aus vierundsechzig ist zwei.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt{\sqrt[3]{64}}}$ .

$\mathsf{\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}}$

$\mathsf{\sqrt[6]{64}=2}$

Erklärung 04

Kehrwerte und Grenzen

Für a positiv gilt $\mathsf{a^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{a}}}$ . Die positive Bedingung sichert zugleich den Nenner ungleich null. Negative Potenzen vertieft diese Kehrwertschreibweise. Für Summen gibt es kein allgemeines Wurzelgesetz: $\mathsf{\sqrt{a+b}}$ ist im Allgemeinen nicht gleich $\mathsf{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ .

Prüfe einen möglichen Nullnenner
Unterscheide Produkt und Summe unter der Wurzel.

Kehrwerte verschärfen eine nichtnegative Bedingung oft zu einer positiven.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Potenzgesetze Wurzel · 1Berechne $\mathsf{\sqrt{18}\sqrt{2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{18}\sqrt{2}=\sqrt{36}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{36}=6}$
Ergebnis
1. Wert6
02
Aufgabe 2Potenzgesetze Wurzel · 1Berechne $\mathsf{\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{49}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{49}=7}$
Ergebnis
1. Wert7
03
Aufgabe 3Potenzgesetze Wurzel · 1Berechne $\mathsf{\sqrt{\sqrt{81}}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt[4]{81}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt[4]{81}=3}$
Ergebnis
1. Wert3
04
Aufgabe 4Potenzgesetze Wurzel · 2Vereinfache $\mathsf{\sqrt{x^2}}$ für alle reellen x. Berechne den Ausdruck außerdem für x gleich minus sieben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Allgemeiner Ausdruck
Wert bei x gleich minus sieben
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Allgemein gilt $\mathsf{\sqrt{x^2}=|x|}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{49}=7}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Allgemeiner Ausdruck $\mathsf{|x|}$
2. Wert bei x gleich minus sieben7
05
Aufgabe 5Potenzgesetze Wurzel · 2Berechne $\mathsf{\sqrt[3]{-8}\sqrt[3]{27}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt[3]{-8}=-2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt[3]{27}=3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{(-2)\cdot3=-6}$
Ergebnis
1. Wert−6
06
Aufgabe 6Potenzgesetze Wurzel · 2Für welche reellen a und b darf $\mathsf{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$ als $\mathsf{\sqrt{a/b}}$ geschrieben werden? Nenne beide Bedingungen getrennt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingung für a
Bedingung für b
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Zähler erfordert $\mathsf{a\ge0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner muss definiert und von null verschieden sein: $\mathsf{b>0}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bedingung für a $\mathsf{a\ge0}$
2. Bedingung für b $\mathsf{b>0}$
07
Aufgabe 7Potenzgesetze Wurzel · 2Berechne $\mathsf{16^{-1/2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{16^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{16}}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}}$
Ergebnis
1. Wert $\mathsf{\frac{1}{4}}$
08
Aufgabe 8Potenzgesetze Wurzel · 3Ist $\mathsf{\sqrt{9+16}=\sqrt9+\sqrt{16}}$ richtig? Berechne beide Seiten und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Linke Seite
Rechte Seite
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{9+16=25}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{25}=5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt9=3}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{16}=4}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{3+4=7}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Linke Seite5
3. Rechte Seite7
4. BegründungDas Wurzelproduktgesetz gilt nicht für Summen. Fünf und sieben sind verschieden.
09
Aufgabe 9Potenzgesetze Wurzel · 3Ist $\mathsf{\sqrt{-4}\sqrt{-9}}$ ein reeller Ausdruck? Darfst du ihn im Reellen zu $\mathsf{\sqrt{36}}$ zusammenziehen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Reell definiert?
Zusammenziehen im Reellen zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Beide einzelnen Quadratwurzeln haben negative Radikanden.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Sie sind im Reellen nicht definiert; die Voraussetzungen des Produktgesetzes sind verletzt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Reell definiert?Nein
2. Zusammenziehen im Reellen zulässig?Nein
3. BegründungEin nichtnegatives Produkt der Radikanden genügt nicht. Beide einzelnen Quadratwurzeln müssen bereits reell definiert sein.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide gleiche Basis und gleichen Exponenten.
Ich nenne den zulässigen Definitionsbereich.
Ich übertrage Produktgesetze nicht auf Summen.

AT Academy · Version 2026-10-21