Potenzgesetze · Erklären & üben

Potenzgesetze Aufgaben

Diese Aufgaben verbinden die Potenzgesetze. Benenne zuerst das passende Gesetz und beachte die ursprünglichen Bedingungen, auch wenn sie im vereinfachten Term nicht mehr sichtbar sind.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Erinnerung: erst die Struktur lesen

Bei gleicher Basis werden Exponenten im Produkt addiert und im Quotienten subtrahiert. Beim Potenzieren einer Potenz werden sie multipliziert. Für ganze Exponenten sind von null verschiedene reelle Basen ein sicherer Bereich. Bei ausschließlich positiven ganzen Exponenten können Zählerbasen auch null sein.

Suche gleiche Basen oder eine Potenzklammer
Halte ursprüngliche Nennerausschlüsse fest.

Die Regel wird aus der Struktur gewählt, nicht aus den Zahlen allein.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{b^3\cdot b^5}$ für b ungleich null.

$\mathsf{b^3\cdot b^5=b^{3+5}}$

$\mathsf{b^{3+5}=b^8}$

Erklärung 02

Produkte und Quotienten potenzieren

Bei gleichem Exponenten dürfen die Basen multipliziert oder dividiert werden. Beim Potenzieren eines Produktes wird jeder Faktor potenziert. Ein Zahlenfaktor vor einer Variable gehört ebenfalls zur Basis. Für Quotienten bleiben alle ursprünglichen Nenner ungleich null.

Verteile die Potenz auf jeden Faktor
Vereinfache anschließend Zahlen und Variablen getrennt.

Auch ein Zahlenfaktor wird potenziert.

Drei x Quadrat in Klammern zum Quadrat wird als drei Quadrat mal x Quadrat in Klammern zum Quadrat geschrieben. Der Zahlenfaktor ergibt neun, der Variablexponent vier.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{(3x^2)^2}$ .

$\mathsf{(3x^2)^2=3^2(x^2)^2}$

$\mathsf{3^2=9}$

$\mathsf{(x^2)^2=x^4}$

$\mathsf{3^2(x^2)^2=9x^4}$

Erklärung 03

Negative und gebrochene Exponenten

Ein negativer Exponent steht für einen Kehrwert, deshalb darf die Basis nicht null sein. Für allgemeine rationale Exponenten beschränken wir die Basis auf positive Werte. In diesem Bereich können Wurzel- und Potenzschreibweise ineinander überführt werden.

Schreibe einen negativen Exponenten als Kehrwert
Nutze bei Bruchpotenzen zuerst die passende Wurzel.

Ein negativer Exponent verändert nicht automatisch das Vorzeichen.

a hoch minus fünf entspricht eins geteilt durch a hoch fünf. Die Basis a muss von null verschieden sein.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{25^{-1/2}}$ .

$\mathsf{25^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{25}}}$

$\mathsf{\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}}$

Erklärung 04

Bedingungen und Fehler aufdecken

Eine Vereinfachung ist nur auf der ursprünglichen Definitionsmenge gültig. Kürzen erlaubt keine vorher ausgeschlossenen Werte. Bei Summen gelten die Produktgesetze nicht. Wurzelgesetze vertieft zusätzlich die reellen Bedingungen und den Betrag in $\mathsf{\sqrt{x^2}=|x|}$ .

Vergleiche Ausgangsterm und Ergebnis samt Bedingungen
Widerlege falsche Regeln mit einem konkreten Wert.

Wertgleichheit gilt nur für ursprünglich zulässige Werte.

x Quadrat geteilt durch x Quadrat vereinfacht sich zu eins, jedoch weiterhin nur für x ungleich null. Der ursprünglich ausgeschlossene Wert wird durch Kürzen nicht erlaubt.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\frac{x^2}{x^2}}$ und behalte die Bedingung.

Der ursprüngliche Nenner verlangt $\mathsf{x\ne0}$ .

Für diese Werte gilt $\mathsf{\frac{x^2}{x^2}=1}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Potenzgesetze Aufgaben · 1Vereinfache $\mathsf{a^4\cdot a^7}$ für a ungleich null.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{a^4\cdot a^7=a^{4+7}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{a^{4+7}=a^{11}}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{a^{11}}$
02
Aufgabe 2Potenzgesetze Aufgaben · 1Vereinfache $\mathsf{\frac{x^8}{x^3}}$ und nenne die ursprüngliche Bedingung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Bedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner verlangt $\mathsf{x\ne0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{x^8}{x^3}=x^{8-3}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{x^{8-3}=x^5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{x^5}$
2. Bedingung $\mathsf{x e0}$
03
Aufgabe 3Potenzgesetze Aufgaben · 1Vereinfache $\mathsf{(y^3)^5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(y^3)^5=y^{3\cdot5}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{y^{3\cdot5}=y^{15}}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{y^{15}}$
04
Aufgabe 4Potenzgesetze Aufgaben · 2Vereinfache $\mathsf{(2a^2b)^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(2a^2b)^3=2^3(a^2)^3b^3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{2^3=8}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{(a^2)^3=a^6}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{2^3(a^2)^3b^3=8a^6b^3}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{8a^6b^3}$
05
Aufgabe 5Potenzgesetze Aufgaben · 2Berechne $\mathsf{\frac{15^3}{5^3}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{15^3}{5^3}=(\frac{15}{5})^3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(\frac{15}{5})^3=3^3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{3^3=27}$
Ergebnis
1. Wert27
06
Aufgabe 6Potenzgesetze Aufgaben · 2Vereinfache $\mathsf{\frac{a^{-2}}{a^3}}$ für a ungleich null. Gib zuerst eine Potenz und danach einen Ausdruck ohne negativen Exponenten an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eine Potenz
Ohne negativen Exponenten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{a^{-2}}{a^3}=a^{-2-3}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{a^{-2-3}=a^{-5}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{a^{-5}=\frac{1}{a^5}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eine Potenz $\mathsf{a^{-5}}$
2. Ohne negativen Exponenten $\mathsf{\frac{1}{a^5}}$
07
Aufgabe 7Potenzgesetze Aufgaben · 2Berechne $\mathsf{81^{3/4}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{81^{3/4}=(\sqrt[4]{81})^3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(\sqrt[4]{81})^3=3^3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{3^3=27}$
Ergebnis
1. Wert27
08
Aufgabe 8Potenzgesetze Aufgaben · 3Vereinfache $\mathsf{\frac{(2x^3)^2}{4x^2}}$ und nenne den ursprünglich ausgeschlossenen Wert für x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Ausgeschlossener Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner verlangt $\mathsf{x\ne0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(2x^3)^2=4x^6}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{4x^6}{4x^2}=x^{6-2}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{x^{6-2}=x^4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{x^4}$
2. Ausgeschlossener Wert0
09
Aufgabe 9Potenzgesetze Aufgaben · 3Ist $\mathsf{x^2+x^3=x^5}$ für alle reellen x richtig? Berechne beide Seiten für x gleich zwei und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Linke Seite für x gleich zwei
Rechte Seite für x gleich zwei
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2^2=4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{2^3=8}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{4+8=12}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{2^5=32}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Linke Seite für x gleich zwei12
3. Rechte Seite für x gleich zwei32
4. BegründungExponenten werden beim Multiplizieren gleicher Basen addiert. Hier werden die Potenzen addiert; das Gegenbeispiel liefert verschiedene Werte.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide gleiche Basis und gleichen Exponenten.
Ich nenne den zulässigen Definitionsbereich.
Ich übertrage Produktgesetze nicht auf Summen.

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