Teilbarkeit · Erklären & üben

Primfaktorzerlegung

Du zerlegst ganze Zahlen größer als 1 in Primzahlen und hältst die vollständige Zerlegung in Potenzform fest.

Erklärung 01

Nur Primzahlen als Faktoren

Eine Primfaktorzerlegung schreibt eine ganze Zahl größer als 1 als Produkt von Primzahlen. Eine Primzahl ist größer als 1 und besitzt genau zwei positive Teiler. Die Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. 1 hat keine Primfaktoren; man kann ihr das leere Produkt zuordnen. 0 und negative Zahlen werden hier nicht behandelt.

Prüfe jeden Faktor auf Primzahleigenschaft.
Zerlege zusammengesetzte Faktoren weiter.

Die Zerlegung ist erst fertig, wenn alle Faktoren prim sind.

Jeder Elternwert ist das Produkt seiner Kinder. Die Blätter2,2,3,7 sind sämtlich prim.

So geht es am Beispiel

Ist $\mathsf{42=6\cdot7}$ schon eine Primfaktorzerlegung?

7 ist prim, aber 6 ist zusammengesetzt.

Zerlege $\mathsf{6=2\cdot3}$ .

Damit gilt $\mathsf{42=2\cdot3\cdot7}$ .

Erklärung 02

Systematisch durch Primzahlen teilen

Beginne mit der kleinsten Primzahl, die den aktuellen Wert ohne Rest teilt. Verwende denselben Primfaktor so oft wie möglich und gehe dann zur nächsten Primzahl weiter. Die abgeteilten Primzahlen ergeben gemeinsam die Ausgangszahl.

Teile wiederholt durch 2, solange der Wert gerade ist.
Teste anschließend 3, 5, 7 und weitere Primzahlen nach Bedarf.
Stoppe beim Quotienten 1 und multipliziere die notierten Primfaktoren zur Probe.

Jeder Divisionsschritt muss ohne Rest aufgehen.

Jede Division geht ohne Rest auf. Die notierten Divisoren sind die vollständigen Primfaktoren.

So geht es am Beispiel

Zerlege 84 vollständig.

Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{84:2=42}$ .

Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{42:2=21}$ .

Teile durch den Primfaktor 3: $\mathsf{21:3=7}$ .

Teile durch den Primfaktor 7: $\mathsf{7:7=1}$ .

Der Quotient ist 1; die Zerlegung ist abgeschlossen.

Die Primfaktoren ergeben $\mathsf{84=2^{2}\cdot3\cdot7}$ .

So geht es am Beispiel

Zerlege 90 vollständig.

Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{90:2=45}$ .

Teile durch den Primfaktor 3: $\mathsf{45:3=15}$ .

Teile durch den Primfaktor 3: $\mathsf{15:3=5}$ .

Teile durch den Primfaktor 5: $\mathsf{5:5=1}$ .

Der Quotient ist 1; die Zerlegung ist abgeschlossen.

Die Primfaktoren ergeben $\mathsf{90=2\cdot3^{2}\cdot5}$ .

Erklärung 03

Gleiche Faktoren bündeln

Der Exponent gibt an, wie oft ein Primfaktor vorkommt. Er ist keine Multiplikation der Basis mit dem Exponenten. Ein Faktorbaum zeigt dieselbe Zerlegung als Verzweigungen; das Produkt der beiden Kinder ist jeweils der Elternwert. Nur die primen Blätter gehören ins Endprodukt.

Zähle jeden Primfaktor in der vollständigen Liste.
Schreibe Wiederholungen als Potenz.
Prüfe durch Ausmultiplizieren.

$\mathsf{p^k}$ bedeutet k gleiche Faktoren p.

Die Potenzen zählen Wiederholungen; die Rückmultiplikation kontrolliert72.

So geht es am Beispiel

Schreibe 72 in Potenzform.

Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{72:2=36}$ .

Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{36:2=18}$ .

Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{18:2=9}$ .

Teile durch den Primfaktor 3: $\mathsf{9:3=3}$ .

Teile durch den Primfaktor 3: $\mathsf{3:3=1}$ .

Der Quotient ist 1; die Zerlegung ist abgeschlossen.

Die Primfaktoren ergeben $\mathsf{72=2^{3}\cdot3^{2}}$ .

Der Faktor 2 kommt dreimal, der Faktor 3 zweimal vor.

Erklärung 04

Mit Primfaktoren weiterrechnen

Aus Primfaktorzerlegungen lassen sich gemeinsame Teiler und Vielfache bestimmen. Beim kgV werden für alle vorkommenden Primzahlen die größten Exponenten gewählt. Das eigene Thema Kleinstes gemeinsames Vielfaches behandelt diese Anwendung vollständig.

Halte die vollständigen Primfaktorzerlegungen als Ausgangspunkt fest.
Unterscheide die Zerlegung selbst von einer späteren Anwendung.

Primfaktorzerlegung ist die Grundlage, das kgV eine Anwendung.

So geht es am Beispiel

Wie helfen die Zerlegungen von 12 und 20 beim kgV?

Zerlege die erste Zahl: $\mathsf{12=2^{2}\cdot3}$ .

Zerlege die zweite Zahl: $\mathsf{20=2^{2}\cdot5}$ .

Für den Primfaktor 2 wird der größere Exponent 2 gewählt.

Für den Primfaktor 3 wird der größere Exponent 1 gewählt.

Für den Primfaktor 5 wird der größere Exponent 1 gewählt.

Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2^{2}\cdot3\cdot5=60}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Primfaktorzerlegung · 1Zerlege 30 vollständig in Primfaktoren. Gib das Produkt und die Potenzform an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt der Primfaktoren
Potenzform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{30:2=15}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 3: $\mathsf{15:3=5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 5: $\mathsf{5:5=1}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Quotient ist 1; die Zerlegung ist abgeschlossen.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Die Primfaktoren ergeben $\mathsf{30=2\cdot3\cdot5}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt der Primfaktoren $\mathsf{2\cdot3\cdot5}$
2. Potenzform $\mathsf{2\cdot3\cdot5}$
02
Aufgabe 2Primfaktorzerlegung · 1Zerlege 44 vollständig in Primfaktoren. Gib das Produkt und die Potenzform an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt der Primfaktoren
Potenzform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{44:2=22}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{22:2=11}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 11: $\mathsf{11:11=1}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Quotient ist 1; die Zerlegung ist abgeschlossen.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Die Primfaktoren ergeben $\mathsf{44=2^{2}\cdot11}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt der Primfaktoren $\mathsf{2\cdot2\cdot11}$
2. Potenzform $\mathsf{2^{2}\cdot11}$
03
Aufgabe 3Primfaktorzerlegung · 2Zerlege 63 vollständig in Primfaktoren. Gib das Produkt und die Potenzform an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt der Primfaktoren
Potenzform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 3: $\mathsf{63:3=21}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 3: $\mathsf{21:3=7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 7: $\mathsf{7:7=1}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Quotient ist 1; die Zerlegung ist abgeschlossen.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Die Primfaktoren ergeben $\mathsf{63=3^{2}\cdot7}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt der Primfaktoren $\mathsf{3\cdot3\cdot7}$
2. Potenzform $\mathsf{3^{2}\cdot7}$
04
Aufgabe 4Primfaktorzerlegung · 2Zerlege 96 vollständig in Primfaktoren. Gib das Produkt und die Potenzform an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt der Primfaktoren
Potenzform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{96:2=48}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{48:2=24}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{24:2=12}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{12:2=6}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 2: $\mathsf{6:2=3}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 3: $\mathsf{3:3=1}$ .
7. Schritt 7 · Erklärung
  Der Quotient ist 1; die Zerlegung ist abgeschlossen.
8. Schritt 8 · Erklärung
  Die Primfaktoren ergeben $\mathsf{96=2^{5}\cdot3}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt der Primfaktoren $\mathsf{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3}$
2. Potenzform $\mathsf{2^{5}\cdot3}$
05
Aufgabe 5Primfaktorzerlegung · 2Zerlege 125 vollständig in Primfaktoren. Gib das Produkt und die Potenzform an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt der Primfaktoren
Potenzform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 5: $\mathsf{125:5=25}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 5: $\mathsf{25:5=5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Teile durch den Primfaktor 5: $\mathsf{5:5=1}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Quotient ist 1; die Zerlegung ist abgeschlossen.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Die Primfaktoren ergeben $\mathsf{125=5^{3}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt der Primfaktoren $\mathsf{5\cdot5\cdot5}$
2. Potenzform $\mathsf{5^{3}}$
06
Aufgabe 6Primfaktorzerlegung · 2Jemand nennt $\mathsf{8\cdot9}$ eine fertige Primfaktorzerlegung von 72. Korrigiere und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vollständige Zerlegung
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  8 und 9 sind keine Primzahlen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege $\mathsf{8=2^3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zerlege $\mathsf{9=3^2}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vollständige Zerlegung $\mathsf{72=2^3\cdot3^2}$
2. BegründungAlle Endfaktoren müssen prim sein; 8 und 9 sind zusammengesetzt.
07
Aufgabe 7Primfaktorzerlegung · 2Bestimme die Zahl mit der Primfaktorzerlegung $\mathsf{2^3\cdot5^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gesuchte Zahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zuerst ist $\mathsf{2^3=8}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Außerdem ist $\mathsf{5^2=25}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{8\cdot25=200}$ .
Ergebnis
1. Gesuchte Zahl200.
08
Aufgabe 8Primfaktorzerlegung · 3Warum hat die Primzahl 29 nur einen Faktor in ihrer Primfaktorzerlegung? Was gilt für 1?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
29
1
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  29 ist selbst prim und kann nicht in kleinere positive Faktoren größer als 1 zerlegt werden.
2. Schritt 2 · Erklärung
  1 hat keinen Primteiler.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das leere Produkt kann der Zahl 1 zugeordnet werden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. 29Ihre Primfaktorzerlegung besteht nur aus 29.
2. 11 besitzt keine Primfaktoren; sie entspricht dem leeren Produkt.
09
Aufgabe 9Primfaktorzerlegung · 3Berechne aus den Primfaktorzerlegungen von 18 und 40 ihr kgV.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zerlegung von 18
Zerlegung von 40
kgV
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege die erste Zahl: $\mathsf{18=2\cdot3^{2}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege die zweite Zahl: $\mathsf{40=2^{3}\cdot5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für den Primfaktor 2 wird der größere Exponent 3 gewählt.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Für den Primfaktor 3 wird der größere Exponent 2 gewählt.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Für den Primfaktor 5 wird der größere Exponent 1 gewählt.
6. Schritt 6 · Erklärung
  Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2^{3}\cdot3^{2}\cdot5=360}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zerlegung von 18 $\mathsf{18=2\cdot3^2}$
2. Zerlegung von 40 $\mathsf{40=2^3\cdot5}$
3. kgV360.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich zerlege jeden zusammengesetzten Faktor weiter.
Ich stoppe die Division bei 1.
Ich zähle gleiche Primfaktoren für die Potenzform.

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