Teilbarkeit · Erklären & üben

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Du findest gemeinsame positive Teiler, wählst den größten und wendest ihn auf gleiche Gruppen an.

Erklärung 01

Gemeinsame Teiler sammeln

Wir betrachten nur positive ganze Ausgangszahlen und ihre positiven Teiler. Der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT, ist der größte positive Teiler, der alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilt. Mindestens 1 ist immer gemeinsam. Nullfälle werden hier nicht behandelt.

Liste alle positiven Teiler jeder Zahl auf.
Bilde die gemeinsame Teilermenge.
Wähle deren größtes Element.

Ein Teiler ist höchstens so groß wie die positive Zahl, die er teilt.

Vollständige Teilerlisten mit Schnittmenge und größtem Element.

So geht es am Beispiel

Bestimme den ggT von 18 und 30.

Die Teiler von 18 sind 1, 2, 3, 6, 9 und 18.

Die Teiler von 30 sind 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 und 30.

Gemeinsam sind 1, 2, 3 und 6.

Erklärung 02

Gemeinsame Primfaktoren

Zerlege die Zahlen vollständig. Ein gemeinsamer Teiler darf von keinem Primfaktor mehr enthalten, als in jeder Ausgangszahl vorhanden ist. Deshalb wird für jeden Primfaktor der kleinste Exponent gewählt. Fehlt er in einer Zahl, ist dieser Exponent 0 und der Faktor entfällt.

Schreibe die Primfaktorzerlegungen.
Wähle nur gemeinsame Primfaktoren, jeweils mit kleinstem Exponenten.
Multipliziere; ohne gemeinsamen Primfaktor ist das Ergebnis 1.

Beim ggT werden die kleinsten Exponenten übernommen.

Die kleinsten Primfaktorexponenten bestimmen den größten gemeinsamen Teiler.

So geht es am Beispiel

Bestimme den ggT von 48 und 72.

Zerlege 48: $\mathsf{48=2^{4}\cdot3}$ .

Zerlege 72: $\mathsf{72=2^{3}\cdot3^{2}}$ .

Der Primfaktor 2 hat den kleinsten Exponenten 3; diese Potenz wird übernommen.

Der Primfaktor 3 hat den kleinsten Exponenten 1; diese Potenz wird übernommen.

Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2^{3}\cdot3=24}$ .

So geht es am Beispiel

Bestimme den ggT von 8 und 15.

Zerlege 8: $\mathsf{8=2^{3}}$ .

Zerlege 15: $\mathsf{15=3\cdot5}$ .

Der Primfaktor 2 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.

Der Primfaktor 3 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.

Der Primfaktor 5 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.

Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{1=1}$ .

Erklärung 03

Drei Zahlen und gleiche Gruppen

Für drei Zahlen müssen die gewählten Teiler in allen drei Zahlen vorkommen. Du kannst auch zuerst den ggT zweier Zahlen bestimmen und dann dessen ggT mit der dritten. Beim Aufteilen in möglichst viele gleichartige Gruppen ist die größte mögliche Gruppenzahl der ggT der vorhandenen Stückzahlen.

Bilde die gemeinsame Teilermenge aller drei Zahlen oder arbeite paarweise.
Bei einer Gruppenaufgabe teile jede Stückzahl durch die Gruppenzahl.

$\mathsf{\operatorname{\textsf{ggT}}(a,b,c)=\operatorname{\textsf{ggT}}(\operatorname{\textsf{ggT}}(a,b),c)}$

Die explizite Schnittmenge bleibt beim Hinzunehmen von60 gleich.

So geht es am Beispiel

Bestimme den ggT von 24,36 und 60.

Zerlege 24: $\mathsf{24=2^{3}\cdot3}$ .

Zerlege 36: $\mathsf{36=2^{2}\cdot3^{2}}$ .

Zerlege 60: $\mathsf{60=2^{2}\cdot3\cdot5}$ .

Der Primfaktor 2 hat den kleinsten Exponenten 2; diese Potenz wird übernommen.

Der Primfaktor 3 hat den kleinsten Exponenten 1; diese Potenz wird übernommen.

Der Primfaktor 5 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.

Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2^{2}\cdot3=12}$ .

So geht es am Beispiel

18 rote und 30 blaue Karten sollen restlos in möglichst viele gleiche Pakete. Wie sehen die Pakete aus?

Die größte Paketzahl ist $\mathsf{\operatorname{\textsf{ggT}}(18,30)=6}$ .

Pro Paket sind $\mathsf{18:6=3}$ rote Karten nötig.

Pro Paket sind $\mathsf{30:6=5}$ blaue Karten nötig.

Erklärung 04

Abgrenzung zum kgV

Das kgV ist ein gemeinsames Vielfaches, der ggT ein gemeinsamer Teiler. Für genau zwei positive ganze Zahlen ist ihr Produkt gleich dem Produkt der Ausgangszahlen. Der eigene Kurs Kleinstes gemeinsames Vielfaches erklärt die Vielfachenmethode.

Bei Aufteilen in gleiche Gruppen denke an gemeinsame Teiler.
Bei wiederkehrenden gemeinsamen Zeitpunkten denke an gemeinsame Vielfache.

$\mathsf{\operatorname{\textsf{ggT}}(a,b)\cdot\operatorname{\textsf{kgV}}(a,b)=a\cdot b}$

So geht es am Beispiel

Vergleiche ggT und kgV von 9 und 12.

Gemeinsame Teiler sind 1 und 3; der ggT ist 3.

Das erste positive gemeinsame Vielfache ist 36.

Die Probe ergibt $\mathsf{3\cdot36=108}$ .

Auch $\mathsf{9\cdot12=108}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Größter gemeinsamer Teiler (ggT) · 1Bestimme den ggT von 12 und 20 durch Teilerlisten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teiler von 12
Teiler von 20
ggT
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teiler von 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Gemeinsam sind 1, 2 und 4.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Teiler von 121, 2, 3, 4, 6, 12.
2. Teiler von 201, 2, 4, 5, 10, 20.
3. ggT4.
02
Aufgabe 2Größter gemeinsamer Teiler (ggT) · 1Bestimme den ggT von 14 und 21.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gemeinsame Teiler
ggT
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teiler von 14: 1, 2, 7, 14.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teiler von 21: 1, 3, 7, 21.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der größte gemeinsame Teiler ist 7.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gemeinsame Teiler1 und 7.
2. ggT7.
03
Aufgabe 3Größter gemeinsamer Teiler (ggT) · 2Bestimme den ggT von 40 und 56 mit Primfaktoren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zerlegung von 40
Zerlegung von 56
ggT
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege 40: $\mathsf{40=2^{3}\cdot5}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege 56: $\mathsf{56=2^{3}\cdot7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Primfaktor 2 hat den kleinsten Exponenten 3; diese Potenz wird übernommen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Primfaktor 5 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Der Primfaktor 7 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.
6. Schritt 6 · Erklärung
  Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2^{3}=8}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zerlegung von 40 $\mathsf{40=2^3\cdot5}$
2. Zerlegung von 56 $\mathsf{56=2^3\cdot7}$
3. ggT8.
04
Aufgabe 4Größter gemeinsamer Teiler (ggT) · 2Bestimme den ggT von 25 und 36 mit Primfaktoren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zerlegung von 25
Zerlegung von 36
ggT
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege 25: $\mathsf{25=5^{2}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege 36: $\mathsf{36=2^{2}\cdot3^{2}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Primfaktor 2 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Primfaktor 3 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Der Primfaktor 5 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.
6. Schritt 6 · Erklärung
  Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{1=1}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zerlegung von 25 $\mathsf{25=5^2}$
2. Zerlegung von 36 $\mathsf{36=2^2\cdot3^2}$
3. ggT1.
05
Aufgabe 5Größter gemeinsamer Teiler (ggT) · 3Bestimme den ggT von 18,42 und 66.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gemeinsame Primfaktoren
ggT
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege 18: $\mathsf{18=2\cdot3^{2}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege 42: $\mathsf{42=2\cdot3\cdot7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zerlege 66: $\mathsf{66=2\cdot3\cdot11}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Primfaktor 2 hat den kleinsten Exponenten 1; diese Potenz wird übernommen.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Der Primfaktor 3 hat den kleinsten Exponenten 1; diese Potenz wird übernommen.
6. Schritt 6 · Erklärung
  Der Primfaktor 7 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.
7. Schritt 7 · Erklärung
  Der Primfaktor 11 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.
8. Schritt 8 · Erklärung
  Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2\cdot3=6}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gemeinsame Primfaktoren2 und 3 jeweils einfach.
2. ggT6.
06
Aufgabe 6Größter gemeinsamer Teiler (ggT) · 224 grüne und 40 gelbe Perlen werden restlos in möglichst viele gleiche Beutel verteilt. Bestimme Beutelzahl und Inhalt je Beutel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beutelzahl
Grüne Perlen je Beutel
Gelbe Perlen je Beutel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege 24: $\mathsf{24=2^{3}\cdot3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege 40: $\mathsf{40=2^{3}\cdot5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Primfaktor 2 hat den kleinsten Exponenten 3; diese Potenz wird übernommen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Primfaktor 3 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Der Primfaktor 5 hat den kleinsten Exponenten 0; er entfällt.
6. Schritt 6 · Erklärung
  Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2^{3}=8}$ .
7. Schritt 7 · Erklärung
  Pro Beutel sind $\mathsf{24:8=3}$ grüne Perlen nötig.
8. Schritt 8 · Erklärung
  Pro Beutel sind $\mathsf{40:8=5}$ gelbe Perlen nötig.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Beutelzahl8.
2. Grüne Perlen je Beutel3.
3. Gelbe Perlen je Beutel5.
07
Aufgabe 7Größter gemeinsamer Teiler (ggT) · 2Bestimme den ggT von 11 und 44. Begründe mit einer Teilbarkeitsbeziehung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
ggT
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  11 teilt 44, denn $\mathsf{44=4\cdot11}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kein positiver Teiler von 11 kann größer als 11 sein.
Ergebnisse & Teilantworten
1. ggT11.
2. Begründung11 teilt beide Zahlen und ist der größtmögliche Teiler der kleineren Zahl.
08
Aufgabe 8Größter gemeinsamer Teiler (ggT) · 3Jemand verwendet beim ggT von 12 und 18 die jeweils höchsten Primfaktorexponenten und erhält 36. Erkläre den Fehler und korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Richtiger ggT
Fehler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege 12: $\mathsf{12=2^{2}\cdot3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege 18: $\mathsf{18=2\cdot3^{2}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Primfaktor 2 hat den kleinsten Exponenten 1; diese Potenz wird übernommen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Primfaktor 3 hat den kleinsten Exponenten 1; diese Potenz wird übernommen.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2\cdot3=6}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Die höchsten Exponenten bestimmen das kgV, nicht den ggT.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Richtiger ggT6.
2. FehlerFür den ggT sind die kleinsten gemeinsamen Exponenten nötig. 36 ist das kgV.
09
Aufgabe 9Größter gemeinsamer Teiler (ggT) · 3Berechne den ggT von 16,24 und 36 paarweise.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zwischenergebnis
ggT aller drei Zahlen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zuerst ist $\mathsf{\operatorname{\textsf{ggT}}(16,24)=8}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dann ist $\mathsf{\operatorname{\textsf{ggT}}(8,36)=4}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  4 teilt alle drei Zahlen; ein größerer gemeinsamer Teiler würde auch 8 und 36 teilen müssen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zwischenergebnis8.
2. ggT aller drei Zahlen4.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich liste positive Teiler vollständig auf.
Ich verwende gemeinsame Primfaktoren mit kleinsten Exponenten.
Ich kann den ggT dreier Zahlen bestimmen.

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