Besondere Zahlen · Erklären & üben

Primzahlen

Primzahlen haben genau zwei positive Teiler. Du prüfst einzelne Zahlen, nutzt ein Sieb für ganze Bereiche und untersuchst Primfaktoren und besondere Primzahlgruppen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Genau zwei positive Teiler

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1 mit genau zwei positiven Teilern: 1 und sie selbst. Hier bezeichnet $\mathsf{\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}}$ die natürlichen Zahlen. Zusammengesetzte Zahlen sind natürliche Zahlen größer als 1, die mehr als zwei positive Teiler besitzen.

Liste die positiven Teiler ohne Wiederholung auf.
Prüfe, ob es genau zwei verschiedene Teiler gibt.

0 und 1 sind weder Primzahlen noch zusammengesetzte Zahlen.

Vollständige Faktorenpaare und Teilerlisten unterscheiden eine Primzahl von einer zusammengesetzten Zahl.

So geht es am Beispiel

Ist 13 eine Primzahl?

13 ist größer als 1.

Die einzigen positiven Teiler sind 1 und 13.

Damit hat 13 genau zwei positive Teiler.

So geht es am Beispiel

Warum sind 0 und 1 keine Primzahlen?

Jede positive ganze Zahl teilt 0, denn für jede solche Zahl a gilt $\mathsf{a\cdot0=0}$ .

0 hat daher unendlich viele positive Teiler und liegt außerdem nicht über 1.

1 hat nur den positiven Teiler 1; der Teiler wird nicht doppelt gezählt.

Erklärung 02

Teilerpaare begrenzen die Suche

Für eine natürliche Zahl n größer als 1 genügt es, die Primzahlen bis einschließlich ihrer Quadratwurzel als mögliche Teiler zu testen. Wären bei einem Teilerpaar beide Faktoren größer als die Quadratwurzel, wäre ihr Produkt größer als n. Jeder zusammengesetzte Teiler besitzt wiederum einen Primteiler.

Finde benachbarte Quadratzahlen, zwischen denen n liegt.
Teste alle Primzahlen bis zur Quadratwurzel, einschließlich der Grenze.
Ein Teiler reicht zum Widerlegen; erst alle nötigen erfolglosen Tests beweisen die Primzahleigenschaft.

Bei Quadratzahlen muss die Quadratwurzel selbst getestet werden.

Alle erforderlichen Teilertests für das ausgearbeitete Beispiel, mit Grenze und begründeter Entscheidung.

So geht es am Beispiel

Untersuche 43.

Wegen $\mathsf{6^2=36<43<49=7^2}$ sind nur 2, 3 und 5 zu testen.

43 ist ungerade und daher nicht durch 2 teilbar.

Die Quersumme ist $\mathsf{4+3=7}$ ; sie ist nicht durch 3 teilbar.

Die Endziffer 3 ist weder 0 noch 5; also teilt 5 die Zahl nicht.

So geht es am Beispiel

Untersuche 49.

Es gilt $\mathsf{\sqrt{49}=7}$ ; die Primteilerkandidaten sind 2, 3, 5 und 7.

Die Rechnung $\mathsf{49=7\cdot7}$ liefert einen echten Teiler.

Erklärung 03

Viele Primzahlen auf einmal finden

Beim Sieb des Eratosthenes notierst du alle natürlichen Zahlen von 2 bis zu einer oberen Grenze. Die 1 gehört nicht in die Primzahlliste. Die kleinste noch nicht gestrichene Zahl ist prim. Ihre größeren Vielfachen werden gestrichen. Ab dem Quadrat der jeweiligen Primzahl beginnt der neue Streichschritt; kleinere Vielfache wurden schon erfasst.

Beginne mit 2 und streiche ihre Vielfachen ab 4.
Nimm die nächste ungestrichene Zahl und streiche ab ihrem Quadrat.
Stoppe, sobald das Quadrat der nächsten ungestrichenen Zahl über der Grenze liegt.

Ungestrichene Zahlen ab 2 sind am Ende genau die Primzahlen im gewählten Bereich.

Vollständig durchgeführtes Beispielsieb. Primzahlen tragen das Label prim, andere Zahlen einen Strich; 1 ist ausgeschlossen.

So geht es am Beispiel

Welche Primzahlen liegen höchstens bei 20?

Streiche die Vielfachen von 2 ab 4: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Streiche die Vielfachen von 3 ab 9: 9, 12, 15, 18. Bereits gestrichene Zahlen bleiben gestrichen.

Die nächste ungestrichene Zahl ist 5; wegen $\mathsf{5^2=25>20}$ ist kein weiterer Schritt nötig.

Erklärung 04

Primfaktoren als Bausteine

Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Bis auf die Reihenfolge ist diese Zerlegung eindeutig. Das hilft etwa dabei, gemeinsame Teiler zu erkennen. Eine vollständige Behandlung folgt im Thema Primfaktorzerlegung.

Zerlege einen zusammengesetzten Faktor in kleinere Faktoren.
Wiederhole, bis alle Faktoren prim sind.
Prüfe das Ergebnis durch Ausmultiplizieren.

Eine Primfaktorzerlegung enthält ausschließlich Primzahlen als Faktoren.

So geht es am Beispiel

Zerlege 66 in Primfaktoren.

Weil 66 gerade ist, gilt $\mathsf{66=2\cdot33}$ .

Die Quersumme von 33 ist 6, daher gilt $\mathsf{33=3\cdot11}$ .

2, 3 und 11 sind Primzahlen.

Erklärung 05

Primzahlzwillinge und Primzahldrillinge

Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen mit Abstand 2. Primzahldrillinge werden üblicherweise als drei Primzahlen der Form $\mathsf{(p,p+2,p+6)}$ oder $\mathsf{(p,p+4,p+6)}$ beschrieben. Beispiele sind 5, 7, 11 und 7, 11, 13. Der besonders enge Block 3, 5, 7 ist ein Ausnahmefall mit zweimal Abstand 2. Ein weiterer solcher enger Block ist unmöglich, denn von drei ungeraden Zahlen in Zweierschritten ist eine durch 3 teilbar. Eine Aussage über unendlich viele Primzahldrillinge wird daraus nicht abgeleitet.

Prüfe, dass jede beteiligte Zahl prim ist.
Berechne die beiden Abstände: bei den üblichen Drillingsmustern sind sie 2 und 4 oder 4 und 2.
Unterscheide den besonderen engen Ausnahmefall 3, 5, 7 von den üblichen Mustern.

Ein passendes Abstandsmuster reicht nicht: Jede beteiligte Zahl muss prim sein.

So geht es am Beispiel

Sind 11 und 13 Primzahlzwillinge?

11 und 13 haben jeweils nur 1 und sich selbst als positive Teiler.

Ihr Abstand ist $\mathsf{13-11=2}$ .

So geht es am Beispiel

Vergleiche den Primzahldrilling 5,7,11 mit dem engen Ausnahmefall 3,5,7.

5, 7 und 11 sind prim.

Der erste Abstand ist $\mathsf{7-5=2}$ .

Der zweite Abstand ist $\mathsf{11-7=4}$ .

Damit hat 5, 7, 11 das Muster $\mathsf{(p,p+2,p+6)}$ .

Auch 3, 5 und 7 sind prim; hier sind beide Abstände 2.

Bei jedem ungeraden Start größer als 3 ist eine der drei Zahlen in Zweierschritten ein Vielfaches von 3 und größer als 3. Daher ist kein weiterer solcher enger Block prim.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Primzahlen · 1Gib alle positiven Teiler von 17 und von 21 an. Entscheide jeweils: prim oder zusammengesetzt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teiler von 17
Einordnung von 17
Teiler von 21
Einordnung von 21
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  17 hat die positiven Teiler 1 und 17.
2. Schritt 2 · Erklärung
  21 hat die positiven Teiler 1, 3, 7 und 21, denn $\mathsf{21=3\cdot7}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Teiler von 171, 17.
2. Einordnung von 17Prim.
3. Teiler von 211, 3, 7, 21.
4. Einordnung von 21Zusammengesetzt.
02
Aufgabe 2Primzahlen · 1Eine Schülerin sagt: „1 ist prim, denn 1 und die Zahl selbst sind Teiler.“ Erkläre den Fehler. Ordne auch 0 ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler bei 1
Einordnung von 0
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei 1 sind „1“ und „die Zahl selbst“ derselbe Teiler.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es gibt damit nur einen verschiedenen positiven Teiler.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Jede positive ganze Zahl teilt 0. Außerdem fordert die Definition eine Zahl größer als 1.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fehler bei 1Bei 1 sind „1“ und „die Zahl selbst“ derselbe Teiler. 1 hat nur einen verschiedenen positiven Teiler.
2. Einordnung von 0Weder prim noch zusammengesetzt.
03
Aufgabe 3Primzahlen · 2Prüfe 37 mit dem Teilertest bis zur Quadratwurzel. Nenne alle nötigen Primteilerkandidaten. Begründe deine Entscheidung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kandidaten
Entscheidung
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{6^2<37<7^2}$ ; zu testen sind 2, 3 und 5.
2. Schritt 2 · Erklärung
  37 ist ungerade.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Quersumme $\mathsf{3+7=10}$ ist nicht durch 3 teilbar.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Endziffer 7 schließt Teilbarkeit durch 5 aus.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kandidaten2, 3, 5.
2. Entscheidung37 ist prim.
3. BegründungKeiner der nötigen Primteilerkandidaten teilt 37.
04
Aufgabe 4Primzahlen · 2Jemand prüft 121 nur auf Teilbarkeit durch 2, 3, 5 und 7 und erklärt die Zahl für prim. Korrigiere den Test.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlender Test
Einordnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Quadratwurzel ist $\mathsf{\sqrt{121}=11}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Grenze wird mitgetestet; der Kandidat 11 fehlt.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{121=11\cdot11}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fehlender TestTeilbarkeit durch 11.
2. Einordnung121 ist zusammengesetzt.
05
Aufgabe 5Primzahlen · 2Bestimme mit dem Sieb alle Primzahlen bis einschließlich 30. Notiere die nötigen Siebprimzahlen und die Ergebnisliste.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Siebprimzahlen
Primzahlen bis 30
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für 2 werden die Vielfachen ab 4 gestrichen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für 3 werden die Vielfachen ab 9 gestrichen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für 5 wird ab 25 gestrichen; 30 war bereits gestrichen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die nächste Siebprimzahl wäre 7; $\mathsf{7^2=49>30}$ , also endet das Sieb.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Siebprimzahlen2, 3, 5.
2. Primzahlen bis 302, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
06
Aufgabe 6Primzahlen · 2Zerlege 78 vollständig in Primfaktoren und kontrolliere durch Multiplikation.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Primfaktorzerlegung
Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  78 ist gerade: $\mathsf{78=2\cdot39}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  39 ist durch 3 teilbar: $\mathsf{39=3\cdot13}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  2, 3 und 13 sind prim.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Probe ist $\mathsf{2\cdot3\cdot13=6\cdot13=78}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Primfaktorzerlegung $\mathsf{78=2\cdot3\cdot13}$
2. Probe $\mathsf{6\cdot13=78}$
07
Aufgabe 7Primzahlen · 2Welche Paare sind Primzahlzwillinge: (17,19), (23,25), (29,31)? Begründe jede Entscheidung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
(17,19): Urteil
(17,19): Begründung
(23,25): Urteil
(23,25): Begründung
(29,31): Urteil
(29,31): Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  17 und 19 sind prim; ihr Abstand ist 2.
2. Schritt 2 · Erklärung
  25 ist wegen $\mathsf{25=5\cdot5}$ nicht prim.
3. Schritt 3 · Erklärung
  29 und 31 sind prim: Keine der Zahlen ist durch 2, 3 oder 5 teilbar; weitere Kandidaten sind nicht nötig. Ihr Abstand ist 2.
Ergebnisse & Teilantworten
1. (17,19): UrteilJa.
2. (17,19): BegründungBeide Zahlen sind prim und haben Abstand 2.
3. (23,25): UrteilNein.
4. (23,25): Begründung25 ist nicht prim.
5. (29,31): UrteilJa.
6. (29,31): BegründungBeide Zahlen sind prim und haben Abstand 2.
08
Aufgabe 8Primzahlen · 3Prüfe, ob 11,13,15 einen Primzahldrilling bilden. Prüfe anschließend 11,13,17 und nenne das passende Muster.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Einordnung von 11,13,15
Einordnung von 11,13,17
Passendes Muster
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  15 ist wegen $\mathsf{15=3\cdot5}$ nicht prim. Deshalb bildet 11, 13, 15 keinen Primzahldrilling.
2. Schritt 2 · Erklärung
  11, 13 und 17 sind prim.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der erste Abstand ist $\mathsf{13-11=2}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der zweite Abstand ist $\mathsf{17-13=4}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Mit p gleich 11 ergibt sich das Muster $\mathsf{(p,p+2,p+6)}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Einordnung von 11,13,15Kein Primzahldrilling.
2. Einordnung von 11,13,17Primzahldrilling.
3. Passendes Muster $\mathsf{(p,p+2,p+6)}$ mit $\mathsf{p=11}$
09
Aufgabe 9Primzahlen · 3Beurteile: „Jede ungerade Zahl größer als 2 ist prim.“ Gib ein Gegenbeispiel. Erkläre außerdem, warum 2 die einzige gerade Primzahl ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil zur Aussage
Gegenbeispiel
Begründung zur einzigen geraden Primzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  9 ist ungerade, aber $\mathsf{9=3\cdot3}$ ; die Aussage ist damit falsch.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jede gerade Zahl größer als 2 hat neben 1 und sich selbst den zusätzlichen Teiler 2.
3. Schritt 3 · Erklärung
  2 besitzt genau die beiden positiven Teiler 1 und 2.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Urteil zur AussageFalsch.
2. Gegenbeispiel9 ist ungerade und zusammengesetzt.
3. Begründung zur einzigen geraden PrimzahlJede größere gerade Zahl hat zusätzlich den Teiler 2. Die Zahl 2 besitzt genau die beiden positiven Teiler 1 und 2.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann erklären, warum 0 und 1 nicht prim sind.
Ich unterscheide einen gefundenen Teiler von einem vollständigen Primzahltest.
Ich kann die Streich- und Stopregel eines kleinen Siebs erklären.

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