Besondere Zahlen · Erklären & üben

Primzahlen einfach erklärt

Du lernst, Primzahlen an ihren Teilern zu erkennen und begründet zu prüfen. Beispiele und Aufgaben führen von kleinen Zahlen zu einem vollständigen Teilertest.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was bedeutet prim?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die genau zwei verschiedene positive Teiler hat: 1 und sich selbst. Teilen bedeutet hier: ohne Rest teilen. Wir verwenden $\mathsf{\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}}$ . Zahlen größer als 1, die nicht prim sind, heißen zusammengesetzt.

Suche Multiplikationen aus zwei positiven ganzen Zahlen, die deine Zahl ergeben.
Sammle daraus alle verschiedenen positiven Teiler.

Genau zwei verschiedene positive Teiler machen eine Zahl zur Primzahl.

Vollständige Faktorenpaare und Teilerlisten unterscheiden eine Primzahl von einer zusammengesetzten Zahl.

So geht es am Beispiel

Ist 7 prim?

Für 7 gibt es nur das Faktorenpaar $\mathsf{1\cdot7=7}$ .

Damit sind 1 und 7 die einzigen positiven Teiler.

So geht es am Beispiel

Ist 12 prim?

Das äußere Faktorenpaar ist $\mathsf{1\cdot12=12}$ .

Weil 12 gerade ist, gibt es das Faktorenpaar $\mathsf{2\cdot6=12}$ .

Weil 12 durch 3 teilbar ist, gibt es außerdem $\mathsf{3\cdot4=12}$ .

Die positiven Teiler sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12.

Erklärung 02

0, 1 und die gerade Ausnahme

1 hat nur einen positiven Teiler und ist deshalb nicht prim. 0 ist nicht größer als 1 und ist ebenfalls nicht prim. Beide sind auch nicht zusammengesetzt. 2 ist die einzige gerade Primzahl. Jede größere gerade Zahl lässt sich durch 2 teilen und besitzt damit einen zusätzlichen Teiler.

Zähle 1 und die Zahl selbst nicht doppelt, wenn die Zahl 1 ist.
Unterscheide „ungerade“ von „prim“: Ungerade Zahlen können zusammengesetzt sein.

Nicht jede ungerade Zahl ist eine Primzahl.

So geht es am Beispiel

Vergleiche 2 und 9.

2 hat genau die positiven Teiler 1 und 2.

Die ungerade Zahl 9 hat wegen $\mathsf{9=3\cdot3}$ die Teiler 1, 3 und 9.

Erklärung 03

Schnell einen zusätzlichen Teiler finden

Für den Nachweis „nicht prim“ reicht ein Teiler zwischen 1 und der Zahl. Die Teilbarkeitsregeln helfen: Gerade Endziffer bedeutet durch 2 teilbar; eine durch 3 teilbare Quersumme bedeutet durch 3 teilbar; Endziffer 0 oder 5 bedeutet durch 5 teilbar. Bei 2, 3 und 5 selbst sind diese Tests kein Ausschluss: Diese Zahlen sind prim.

Prüfe die Endziffer für 2 und 5.
Addiere die Ziffern für den Test auf Teilbarkeit durch 3.
Wenn kein Teiler gefunden wurde, prüfe weitere nötige Kandidaten. Für n größer als 1 reichen Primzahlen bis einschließlich der Quadratwurzel.

Kein Treffer bei 2, 3 und 5 allein beweist bei großen Zahlen noch nicht „prim“.

Alle erforderlichen Teilertests für das ausgearbeitete Beispiel, mit Grenze und begründeter Entscheidung.

So geht es am Beispiel

Ist 46 prim?

46 endet auf 6 und ist daher gerade.

Die Zerlegung ist $\mathsf{46=2\cdot23}$ .

So geht es am Beispiel

Ist 111 prim?

Die Quersumme ist $\mathsf{1+1+1=3}$ .

Damit ist 111 durch 3 teilbar: $\mathsf{111=3\cdot37}$ .

So geht es am Beispiel

Ist 19 prim?

Da $\mathsf{4^2<19<5^2}$ , müssen nur 2 und 3 getestet werden.

19 ist ungerade.

Die Quersumme $\mathsf{1+9=10}$ ist nicht durch 3 teilbar.

Erklärung 04

Eine kleine Primzahlliste

Das Sieb des Eratosthenes findet viele Primzahlen gemeinsam. Schreibe 2 bis 15 auf. Streiche Vielfache der kleinsten noch nicht gestrichenen Zahl, aber nie die Primzahl selbst. Beginne jeweils bei ihrem Quadrat. Die verbleibenden Zahlen sind prim, sobald die nächste ungestrichene Zahl zum Quadrat über der Grenze liegt.

Bei 2 werden 4, 6, 8, 10, 12 und 14 gestrichen.
Bei 3 werden 9, 12 und 15 gestrichen.
Die nächste ungestrichene Zahl ist 5. Ihr Quadrat 25 liegt über 15: fertig.

1 wird nie als Primzahl in die Liste aufgenommen.

Vollständig durchgeführtes Beispielsieb. Primzahlen tragen das Label prim, andere Zahlen einen Strich; 1 ist ausgeschlossen.

So geht es am Beispiel

Lies die Primzahlen bis 15 aus dem fertigen Sieb ab.

Die Zahl 2 bleibt erhalten.

Von den übrigen Zahlen bleiben 3, 5, 7, 11 und 13 ungestrichen.

Erklärung 05

Weiterlernen: Primfaktorzerlegung

Primzahlen lassen sich wie Bausteine zusammengesetzter Zahlen verwenden. Das Thema Primfaktorzerlegung erklärt die vollständige Methode. Hier genügt ein erster Blick.

Prüfe, ob die Faktoren bereits prim sind.

Ein Produkt aus Primzahlen heißt Primfaktorzerlegung der Zahl.

So geht es am Beispiel

Welche Primzahlen stecken in 10?

Es gilt $\mathsf{10=2\cdot5}$ .

2 und 5 sind beide prim.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Primzahlen einfach erklärt · 1Nenne alle positiven Teiler von 5. Ist 5 prim?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teiler
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die einzige Faktorenpaarung ist $\mathsf{1\cdot5=5}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die verschiedenen positiven Teiler sind 1 und 5.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Teiler1 und 5.
2. Entscheidung5 ist prim.
02
Aufgabe 2Primzahlen einfach erklärt · 1Nenne alle positiven Teiler von 8. Ist 8 prim?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teiler
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das äußere Faktorenpaar ist $\mathsf{1\cdot8=8}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Weil 8 gerade ist, gibt es außerdem das Faktorenpaar $\mathsf{2\cdot4=8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Daraus folgen die Teiler 1, 2, 4 und 8.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Teiler1, 2, 4 und 8.
2. Entscheidung8 ist zusammengesetzt.
03
Aufgabe 3Primzahlen einfach erklärt · 1Ordne 0,1,2 und 4 ein: prim, zusammengesetzt oder keines von beidem.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Einordnung von 0
Einordnung von 1
Einordnung von 2
Einordnung von 4
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  0 und 1 sind nicht größer als 1 und erfüllen keine der beiden Definitionen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  2 hat genau zwei positive Teiler: 1 und 2.
3. Schritt 3 · Erklärung
  4 hat die drei positiven Teiler 1, 2 und 4.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Einordnung von 0Weder prim noch zusammengesetzt.
2. Einordnung von 1Weder prim noch zusammengesetzt.
3. Einordnung von 2Prim.
4. Einordnung von 4Zusammengesetzt.
04
Aufgabe 4Primzahlen einfach erklärt · 2Ist 34 eine Primzahl? Nutze die Endziffer und gib ein Faktorenpaar an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktorenpaar
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  34 endet auf 4 und ist daher durch 2 teilbar.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{34=2\cdot17}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktorenpaar $\mathsf{34=2\cdot17}$
2. Entscheidung34 ist zusammengesetzt.
05
Aufgabe 5Primzahlen einfach erklärt · 2Prüfe 51 mit der Quersumme. Gib eine passende Multiplikation an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quersumme
Multiplikation
Einordnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Quersumme ist $\mathsf{5+1=6}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  6 ist durch 3 teilbar, daher auch 51.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{51=3\cdot17}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quersumme6.
2. Multiplikation $\mathsf{51=3\cdot17}$
3. EinordnungZusammengesetzt.
06
Aufgabe 6Primzahlen einfach erklärt · 2Prüfe 35 mit einer Teilbarkeitsregel. Warum macht dieselbe Regel die Zahl 5 nicht zusammengesetzt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktorrechnung für 35
Einordnung von 35
Positive Teiler von 5
Einordnung von 5
Warum die Regel 5 nicht ausschließt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  35 endet auf 5 und ist durch 5 teilbar.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{35=5\cdot7}$ ; 5 ist ein zusätzlicher Teiler.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei 5 selbst ist 5 kein zusätzlicher Teiler neben 1 und der Zahl selbst.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktorrechnung für 35 $\mathsf{35=5\cdot7}$
2. Einordnung von 35Zusammengesetzt.
3. Positive Teiler von 51 und 5.
4. Einordnung von 5Prim.
5. Warum die Regel 5 nicht ausschließtBei 5 selbst ist 5 kein zusätzlicher Teiler neben 1 und der Zahl selbst.
07
Aufgabe 7Primzahlen einfach erklärt · 2Prüfe 23. Welche Primzahlen musst du als mögliche Teiler testen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kandidaten
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{4^2<23<5^2}$ ; nur 2 und 3 kommen als nötige Kandidaten infrage.
2. Schritt 2 · Erklärung
  23 ist ungerade.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Quersumme $\mathsf{2+3=5}$ ist nicht durch 3 teilbar.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kandidaten2 und 3.
2. Entscheidung23 ist prim.
08
Aufgabe 8Primzahlen einfach erklärt · 2Führe das Sieb für 2 bis 10 durch. Notiere die Vielfachen, die bei 2 und bei 3 gestrichen werden, und die verbleibenden Primzahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bei 2 gestrichen
Bei 3 gestrichen
Verbleibende Primzahlen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei 2 streichst du 4, 6, 8 und 10.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei 3 beginnst du mit $\mathsf{3^2=9}$ und streichst 9.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die nächste Primzahl 5 hat ein Quadrat größer als 10; das Sieb endet.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bei 2 gestrichen4, 6, 8, 10.
2. Bei 3 gestrichen9.
3. Verbleibende Primzahlen2, 3, 5, 7.
09
Aufgabe 9Primzahlen einfach erklärt · 3Mika sagt: „27 ist ungerade, also prim.“ Prüfe die Aussage mit einer Rechnung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung
Korrektur
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Quersumme ist $\mathsf{2+7=9}$ und damit durch 3 teilbar.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{27=3\cdot9}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der zusätzliche Teiler 3 widerlegt die Behauptung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rechnung $\mathsf{27=3\cdot9}$
2. Korrektur27 ist zusammengesetzt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann erklären, warum 0 und 1 nicht prim sind.
Ich unterscheide einen gefundenen Teiler von einem vollständigen Primzahltest.
Ich kann die Streich- und Stopregel eines kleinen Siebs erklären.

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